改变计算习题，发展推理意识——以《除数是两位数的除法》单元习题设计为例

文|孔忠伟

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《2022 版新课标》）对核心素养的主要表现及其内涵进行了多方面的解读与补充，其中对运算能力的内涵解读，在原有的基础上补充了“能够通过运算促进数学推理能力的发展”，强化了借助运算来培养学生推理能力的功能。《2022 版新课标》也理清了中小学推理培养的方向，小学阶段重推理意识，初中阶段重推理能力，因此在小学阶段重视与挖掘数与运算的推理，通过改编运算习题来促进学生更多的观察、分析、归纳和运用，其过程不仅可以帮助学生强化算理的理解、提升运算能力，同时也促进了学生推理意识的发展。

《2022 版新课标》指出，推理能力主要是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力。虽然小学阶段较少需要学生去进行推导证明，但如果将学习素材进行合理设计，引导学生感受推理的过程，可以发展学生的推理意识。本文以四年级上册的《除数是两位数的除法》习题设计为例，不断挖掘计算练习中的推理元素，改变习题形式，经历推理过程，发展推理意识。在习题设计过程中，主要借助“堵”“融”“放”“说”等具体的习题设计策略，通过呈现合理的计算习题，引导学生在不同计算任务下经历更多推理过程，培养学生的推理能力，为后续的学习打下基础。

一、“堵”住数字，弱化运算，经历多层次推理

“堵”住数字就是把算式中部分数字用方框挡住，只留出推理的线索。学生无法通过计算得到答案，就需要根据剩余的数字来进行推理。在具体的习题设计中教师可以设计一道题或一组计算题，堵住其中关键数字，引导学生通过观察、分析、归纳和运用，从特殊结果推断出一般结论，从关键信息推断出合理结论等，促进学生进行合理推理，提升推理能力。

例1：《除数是两位数的除法》单元第82 页第4 题改编。

根据被除数和除数的特点（如图1），快速判断下面三道除法竖式的商是（ ）。并根据特点，编出一道类似的除法算式。

图1 习题一

★小伟也想编一道类似的算式，他已经编了一部分2□5÷4□。符合他这个思路的算式，一共有（ ）个。

该习题改编于教材习题（如图2），其目的是帮助学生发现规律，熟练算法，但这样的纯运算并不利于学生感悟巧算的本质。因此笔者弱化计算，改成寻找规律填数，模仿习题出题，填写符合个数来培养学生的推理能力。主要体现有三方面，一是挡住数字，让学生观察除数与被除数之间关系，从特殊的数字间发现计算的规律，培养学生观察、分析和归纳的能力，为合理推理打下基础。二是模仿编题，是让学生从特殊结果推断出一般的结论，因为学生要编出类似的习题，就需要在建立已有规律的基础上，进行合理的迁移，这个过程有助于学生推理能力的发展。三是推理结论，要求学生根据数字的特点，进行更严密的思考，从而感受推理的价值。最后★题目的思维层次较高，可以作为加分题。

图2 人教版教材第82 页第4 题

二、“融”入情境，辨析数字，借助生活化推理

“融”入情境是指把运算过程与真实生活情境结合起来，借助情境的需要来展开推理。在这个过程中，学生需要联系生活实际来解决问题，进而培养学生的推理能力。在习题设计时，教师要更关注推理的元素，让学生联系生活来思考过程，从而使学生能够结合情境理解算理，同时培养学生的推理能力。

例2：2021 年浙江省教育质量监测数学习题第3 题。

有172 本故事书，每个班分12 本，可以分给多少个班？下面是聪聪计算的竖式（如图3），竖式中箭头所指的数表示的意思是（ ）。

图3 除法竖式

A.先分掉12 本

B.先分掉120 本

C.每班分到12 本

D.每班分成120 本

通过省测数据统计，该题选项B 的正确率是67.6%。其中典型错误A 为12.1%，C 为12.8%，D 为7.2%。笔者认为选择A 和C 的学生是没有理解其中的算理，因为这里的12 表示就是12 个十，而A 和C 选项，则表示的是12 个一。其中有一部分人选择了D，笔者认为学生并没有进行合理的推理。主要体现有两点：一是学生没有读懂竖式的逻辑，它是讲一个分书本的故事，因此这里的12 是先分了120 本，不是每班分几本。二是也没有理清问题与条件的关系，如果每班分到120 本，那么分得14 个班，就需要分1720 本，明显不对。因此也反映出推理能力不足的现状。因此，在具体的算式中，把算式与真实情境结合，来辨析数字，也可以有效培养学生的推理能力。

三、“说”出理由，逆向讨论，反思结论性推理

“说”出理由是指教师呈现学生推理结果，引导学生讨论结果，使学生反思推理过程，并思考推理的合理性。这里的“说”更多指向学生表达推理的过程，借助结论来引导学生开展合理的推理，从而学会更严谨的思考问题。

例3：《除数是两位数的笔算除法》习题逆向设计。

东东在计算540÷45 时，不小心把“45”抄成了“15”，并算出了商。她检查时，发现了错误，但又不想重算，所以就把540÷45 的商乘以了3。同学们，你们认为东东的方法对吗？请说明理由。

在上面的问题中，有近40%的学生认为这样的结论正确，他们是这样思考的：因为把45 缩小到它的，那么答案也应该缩小到商的，所以用结论去乘3，这样的推理过程就是正确的。而事实上，这样的思考存在的问题就是学生没有考虑到45 是除数，当除数变小时，商反而要扩大的现象。因此当除数缩小到它的，商就要扩大3 倍，要得到正确的答案就需要把商除以3，所以东东的方法是错误的。

通过这样的习题，引导学生表征自己的推理过程，从不同角度反思问题，同时呈现结论，让学生来证明结论，这也是一种演绎推理的培养，为学生今后的推理问题打下基础。

四、“放”开要求，隐藏策略，激发自主性推理

“放”开要求是指在运算能力的考查过程中，强调让学生选择合理简洁的运算策略解决问题。通过把一些不同的运算策略整合在一起，让学生面对更综合、更开放的计算过程，这样不仅可以培养学生的运算能力，同时在这个过程中也渗透了更多推理意识和方法，促进了学生推理能力的发展。

例4：2021 年度滨江区四年级上册计算考查题改编。

用你喜欢的方法计算下面各题，其中每列中只有两题需要列竖式或递等式进行计算，并记录在下面方框内。

在上面的计算习题（如图4）中，笔者把四年级上册口算、竖式计算、递等式计算等内容整合在一起，引导学生仔细观察算式、灵活选择方法来解决问题，在这一过程中，需要学生自主进行算式的推理。比如，上述题目要求学生每列只有两题需要列竖式或递等式，这就需要学生自主分析不同算式，寻找算式之间的联系，进而选择合理的计算策略。其中的推理体现有两点：一是依据算式推理答案。比如第一列中，⑨号算式和13○号算式之间就有商的变化规律；第三列中，1○号算式和15○号算式则有积的变化规律，都只要求得其中一题答案就可以推理出另一题。二是依据算式选择方法。比如第一列的⑤号算式与第三列的⑦号算式，它们既可以用竖式，也可以用更简便的方法，这个过程也需要学生更多分析算式，并选择合理的方法来解决问题。

图4 习题四

在小学阶段，我们要发挥好运算这个载体，借助合理的习题设计，弱化计算功能，强化推理运用，促进学生思维的发展，培养学生推理能力。当然本文所提炼的几点策略，并不成熟，其中的一些观点也可能有逻辑重复，但也是一种大胆尝试，希望能更好地发挥运算推理的价值，真正促进学生推理意识和能力的发展。