操作·概括·应用：图形概念教学三部曲——以《平行四边形的认识》教学为

文|兰衍局（特级教师）

根据心理学的研究和学校教学的经验，学生主要通过两种形式学习概念，这两种形式是概念形成和概念同化。概念形成是指学习者对同类事物的大量例子进行分析，对比其与其他事物的区别，从而发现这类事物的共同关键特征的学习方式。例如，要学习“平行四边形”这个概念，先给学生提供平行四边形的样态，再让学生总结平行四边形的关键特征，这个过程就是概念形成。概念同化是由奥苏伯尔提出的一种学习方式，它是指先把概念以定义的方式直接呈现给学习者，学习者利用自己认知结构中现有的概念和知识经验进行理解，从而明确一类事物的共同关键特征的学习方式。例如，要学习平行四边形的概念，直接以定义的形式给出它的关键属性，“平行四边形是对边平行且相等的四边形”，学生利用已经学习过的四边形、平行等概念来理解和掌握“平行四边形”这个定义的过程，就是概念同化。

笔者认为，在对图形概念的教学中，不管是采用“概念形成”还是“概念同化”的教学方式，都适宜让学生经历“操作、概括、应用”三个步骤，深入建构图形的概念。下面以两节《平行四边形的认识》一课为例，谈谈对图形概念教学的一些思考。

一、操作

1.操作，创造出各种样态的平行四边形。

研究平行四边形，肯定需要各种形态的平行四边形作为素材。这些图形是教师提供呢？还是学生自己创造呢？毋庸置疑，后者更受学生欢迎。实践表明，学生更容易从自己创造出的“图形”发现图形的特征，有利于图形概念的建构。这两则教学设计都能“通过学生操作”来获取“各种样态”的平行四边形作为研究素材。

第一堂课，教师从学生熟悉的长方形引入新课，借助长方形研究的视角，有效地实现了知识的迁移作用。接着，让学生动手变魔术，将长方形拉成平行四边形，学生在“拉动”的操作过程中创造出了丰富的平行四边形。

第二堂课，教师利用学生身边的学习工具——直尺，开展操作活动。借助直尺对边平行的特性，让学生将两把直尺重叠，得到多种样态的平行四边形。

2.操作，发现平行四边形的多种特征。

平行四边形有很多特征：两组对边分别相等，两组对角分别相等，两条对角线互相平分，相邻两角互补，被一条对角线平分成两个全等三角形，中心对称图形……教材的编写中，主要让学生发现对边相等和对边平行的特征，这两个特征又都可以用来定义平行四边形，属于“定义性特征”。

第一堂课，教师让学生对平行四边形的特征进行了大胆的猜测后，再给学生一定的空间与时间，放手让学生选择一种或两种猜想进行自主探究、有序验证。就验证的内容而言，有的小组选择验证平行四边形的对角是否相等，有的小组选择验证平行四边形的对边是否相等。就验证的方法来看，有的利用“在平行线之间画垂线”来验证对边是否平行，有的利用“延长平行四边形的对边，看是否相交”来验证对边是否平行，有的利用三角板推一推来验证对边是否平行。这样的操作活动不仅是学生亲历验证猜想的过程，更是学生感悟、认识平行四边形本质属性的过程。

第二堂课，教师让学生在“拼直尺”的活动中，发现了“对边平行”的特征；然后，教师让学生借助直尺判断哪些图形是“平行四边形”，学生在平移、画垂线、测量等过程中，发现了“对边相等”的性质。由于知识是学生自己探索出来的，能很好地激发学生的学习兴趣，让知识的形成生动而深刻。

3.操作，沟通平行四边形特征之间的内在关联。

特征的教学不仅仅是让学生发现，更重要的是让学生感受到平行和相等这两个特征的相互关联……两堂课，都关注到了这点。

第一堂课中，教师先引导学生对一个平行四边形进行猜想验证，再提出：“是不是所有的平行四边形都具有这样的特征呢？”紧接着利用几何画板动态演示，通过拉动标有数据的平行四边形，使学生直观地感受到不管平行四边形形状如何变化，对边平行、对边相等、对角相等这些特征是不会改变的；相反，只要改变其中任何一个特征，其他的特征也不存在，图形也就不再是“平行四边形”。通过这样的演示，以数释形，使学生对概念的理解更精准、更深刻。在这个过程中，学生经历了大胆猜想、缜密验证、归纳推理、推广应用，不仅有知识层面的收获，更有数学思想方法层面的提升，可以促进学生的数学素养不断发展。

第二堂课中，教师根据学生提出的“如果上下、左右边平行，那么，上下、左右边肯定相等”；反之，“如果上下、左右边相等，那么，上下、左右边肯定平行”。让每个学生都拿出学具，边操作、边思考，在操作中理解了“为什么只要两组对边平行，就会有两组对边相等”的道理，理清了平行和相等的关系，让学生深入理解“性质”之间的关联。

二、概括

数学概念能简明扼要地用文字表达出图形的性质，需要高度的归纳能力，而这种能力更需要在教学活动中训练和培养。两堂课，都为学生创设了条件。

1.两种不同方式概括。

第一堂课，让学生观察各种形态的平行四边形，然后通过比较、抽象、归纳，得出平行四边形的概念。这样的教学方法，在心理学中称为“概念形成”（由具体实例概括出概念）。这种教学的优势是便于学生比较、讨论，从而发现共性，进而归纳概括。

第二堂课，采用的教学方法是，由两组平行线交叠生成平行四边形，这样通过增添已知概念的属性来定义新概念是典型的“概念同化”。这样的教学方式，能帮助学生积累归纳数学概念的能力，让学生更好地理解平行四边形的本质属性。

2.在观察和辨析中概括。

人教版教材的编排顺序是先学习长方形，再学习平行四边形。这种“先入为主”的编排，对学生理解“长方形也是平行四边形”有一定的负迁移作用，这也成了本课教学的难点之一。如何突破呢？

第一堂课，教师让学生在拼小棒的过程中，发现长方形和一般平行四边形的关系，体会到长方形的特殊性，进而让学生判断“长方形是否是平行四边形”，最后用集合图来联系。

第二堂课，教师在教学中，先借助平行四边形的概念，让学生在辨析中逐渐明白“特殊”的含义；然后，通过“概念同化”的教学方式，让学生归纳“长方形”的概念（需要说明的是，对长方形概念的归纳，既是对“概念同化”的诠释，又能让学生从本质上理解长方形的概念）；最后，通过教具演示，变换平行四边形的各种形态，沟通平行四边形和长方形的“从属”关系，以此达到教学目的。

3.借助空间想象概括。

学生对空间图形的认识和感受及表象的形成不是一蹴而就的，需要通过一系列的体验才能达成。提高几何形体从“静态”转化为“动态”的速度和效率，更需要教师在学法指导时，有效地实施“动态想象”。

第一堂课，在形成概念后，教师没有问“平行四边形有什么特点？”而是问“现在请你再来说说怎样的图形是平行四边形？你的脑海里有一个平行四边形吗？如果去掉一条边，你还能想象出它原来的样子吗？再去掉一条边，还可以吗？现在呢？至要保留几条边才能想象出这个平行四边形原来的样子？根据这一条边可以想象出多少个平行四边形？”这时学生头脑中可以想象出不同方位、不同形状的平行四边形。看似两个差不多的问题，但前者重知识技能，后者重思维的空间想象。因为回答“平行四边形有什么特点”这个问题，学生无需想象，答案是可以背下来的。而“平行四边形是怎么样的”，此时学生需要展开想象，回忆平行四边形的表象，通过想象和回忆，才能描绘出来。这样，在学生头脑中就会形成平行四边形的表象，学生在描绘的同时，会自然、本能、下意识地展开想象。课堂上多经历动态想象，可以很好地促进学生空间观念和想象能力的发展。

第二堂课，在学生理解可以用两组对边相等或两组对边平行概括之后，教师并没有就此停止对“平行四边形”的概括，而是让学生通过想象，借助两条相等的对边想象平行四边形的性质，沟通了“对边相等和平行”之间的关系，并得出“只要有两条边相等，就能画出一个平行四边形”的错误观点，通过旋转其中一条对边，让学生想象形状，进而破解“错误观点”，得出“一组对边平行且相等”的概括方式。

三、应用

应用是数学概念形成的“最后一步”，使得数学概念重新回到生活中去，在学生脑海中“生根”。

1.应用概念画平行四边形。

两堂课都设计了同样的教学环节：让学生在格子图（或点子图）中画出一个平行四边形。为了让学生体会到概念与形状之间的联系，两位教师都让学生在操作时思考：依据什么来画平行四边形？将平行四边形概念与画图步骤相结合。最后，在辨析和操作中，完成了对“文字与图形”的沟通。

2.应用概念归纳推理出新特征。

在数学学习中，有时根据个别对象具有的特征推出一类事物都具有这一特征，或通过对对象的直觉判断发现一类事物的共同特征等推理形式，都属于归纳推理。

第二堂课中，教师引导学生发现“一组对边相等，就可以画出一个平行四边形”的错误观点之后，再通过旋转其中一条边，进而发现“一组对边平行且相等”这一新特征。然后，应用这一新特征画平行四边形（这种画法，在操作层面上是非常简单的），学生在操作中进一步感受到了这些性质的价值，对于平行四边形有了更加深刻的理解。

3.应用概念完善知识体系。

第一堂课，教师首先引导学生发现：4 根小棒居然可以摆出那么多个平行四边形，而且每个平行四边形的形状都不一样，从而揭示平行四边形易变形的特性。接着，引发学生辨析长方形、正方形是不是平行四边形，将目光又一次聚焦到图形的特征上，使学生再次明白，在平行四边形变形的过程中，“对边平行”这一本质属性不变。最后，让学生借助图形动态变化揭示出它们之间的关系后逐步完善韦恩图，沟通了知识间的联系。集合圈的出现将三个图形的概念统整在一起，达到“随风潜入夜，润物细无声”的境界。如此，让学生在研究“易变性”的过程中，将平行四边形、长方形、正方形等各种概念进行比较和沟通，进而完善知识体系。这样的活动也让学生真正体验思考的力量，获得经验和智慧的生长。

《平行四边形的认识》是人教版小学四年级上册的内容，是属于“图形认识”领域的一节概念种子课，对学生丰富平面图形的认识，发展空间观念有重要的影响。

两节课一直都有两条主线贯穿始终，一条是明线，让学生经历观察、猜想、验证、探究平行四边形特征的过程，帮助学生积累活动经验；另一条是暗线，从始至终注重对学生抽象概括、空间想象能力的培养，处处体现学生核心素养的发展。