一类动态Melan方程的解的存在唯一性

唐梦影,张健,王永达

(河北大学 数学与信息科学学院,河北省机器学习与计算智能重点实验室,河北 保定 071002)

本文主要研究一类非线性非局部动态Melan方程的初边值问题(可以看作悬索桥的动态横梁模型):

(1)

20世纪初,Melan[2]将悬索桥的桥面视为一维横梁,得出了一类模拟悬索桥的四阶方程:

EIwxxxx(x)-(H+h)wxx(x)-hyxx(x)=p(x),∀x∈(0,L).

(2)

2014年,Gazzola[3]讨论了方程(2)的非线性的起源和非局部项的可能形式,他通过合适映射的不动点定理证明了几个存在性结果.2018年,Gazzola等[1]考虑了Melan方程(静态时悬索桥的数学模型)的一种变分形式,并得到了局部解的存在性.有关Melan方程的其他结果,见文献[4-5].

1 预备知识

则范数依次为

其中a,b>0,则其范数为

2 线性问题

本节考虑一个线性问题

(3)

其中,g=g(x,t)是一给定函数.

成立,则称w∈ZT是式(3)的一个弱解.

证明:根据Galerkin方法,主要分4步.

第1步：构造逼近问题的解序列.

(4)

对n≥1,寻找逼近问题

((wn)tt,u)2+(wn,u)y=(g,u)2,∀u∈En,t>0

(5)

在式(5)中,取u依次为e1,e2,…，en,得到了n个线性方程

(6)

第2步：{wn}的局部有界性.

给定T>0(t

因为g∈C0([0,T];L2(0,L))以及Hölder不等式,所以得到

(7)

因此,

根据引理1以及式(7),得到局部有界性

(8)

第3步:{wn}的强收敛性.

(9)

根据式(8),{wn}在ZT中有收敛子列.取m>n≥1,并且设

在式(5)中,用m代替n,并取u=(wm,n)t(t)=(wm-wn)t(t),可得

(10)

当m,n→∞时,Cm,n→0.结合式(9)、式(10),这说明了{wn}在ZT中是Cauchy序列.由完备性知,存在唯一的w∈ZT使得wn→w(n→∞).

第4步:唯一性.设w1和w2是式(3)的2个不同的弱解,则有

将2个方程相减,得

取u=w1-w2,在上式两边乘以ut并在(0,L)×[0,T]上积分,得

即证得w1=w2,定理1证毕.

3 问题(1)解的存在唯一性

本节考虑问题(1).首先给出弱解的定义.

成立,则称w∈ZT是式(1)的一个弱解.

证明：考虑问题

(11)

证明：因为v∈ZT以及yx∈C0((0,T);L2[0,L]),所以容易验证Φ(v)∈C0([0,T];L2(0,L)).由定理1知,问题(11)存在唯一的弱解w.

B:={w∈ZT|w(x,0)=w0(x);wt(x,0)=w1(x);x∈(0,L)}.

则引理2可定义一个映射

γ∶B→B,γ(v)=w.

上式两端乘以wt,然后在(0,L)×[0,T]上积分,得

由文献[1]中的讨论,知

因此,

(12)

其中,c与T无关.于是

(13)

将式(13)代入式(12),得

即

其中，C与T无关.因此,当T足够小时,γ是一个压缩映射.根据不动点理论,知γ的一个不动点就是问题(1)的解.