浮球法测量液体的粘滞系数

郑世磊，初 琦，苗永平*

(1.山东科技大学 电信学院，山东 青岛 266590；2.山东科技大学 数学学院，山东 青岛 266590)

粘滞系数又称为内摩擦系数或粘度，是描述液体内摩擦力性质的一个重要物理量。测定液体的粘滞系数,是大学物理实验课程教学常选的一个基本实验。目前测量液体粘滞系数的方法有以下几种：毛细管法[1]、奥氏粘度计法[2]、落球法[3]、转筒法[4]、升球法[5]，以及其他的测量方法[6-8]，其中落球法和升球法是最基本的两种方法。

落球法测量粘滞系数，其核心思路是将小球置于盛有液体的容器中心轴线位置并使小球自由下落，当小球接近液体底部时，利用计时装置测出小球经过固定距离的运动时间，从而得到收尾速度[9]，最终通过斯托克斯公式计算出液体的粘滞系数。该方法虽然原理简单，操作方便且抗干扰能力强，但也存在不足，例如实验所用小球在投入液体后，不便从液体中取出。

升球法测量粘滞系数，其核心思路是将小球和重物用细绳连接，利用重物使小球上升并逐渐达到匀速，之后测量出匀速过程中重物通过固定距离所需的时间，得到收尾速度[5]，从而计算出液体的粘滞系数。利用升球法测量粘滞系数，在光电计时器的配合下，不仅能够实现小球匀速上升，还可以有效提高时间测量精度。

本文综合考虑上述两种方法的实验原理和特点，提出一种新的实验方法——浮球法，用于测量液体的粘滞系数，并研制了相应的实验装置。浮球法核心原理为通过使用特制的小球，使小球在液体中受到的浮力大于自身重力，从而使小球可以在液体中上浮，并最终达到匀速。本方法中使小球上浮的力是浮力而不是绳子的拉力，从而消除了细绳对实验的影响。在上浮过程中，小球运动较慢，上浮时间较长，更利于观测小球的运动状态并测量上浮时间。

1 实验原理

根据斯托克斯公式，若小球尺寸较小且表面光滑，其在各向均匀且相对宽阔的液体中运动时，如果小球运动速度较小，不足以在液体中引起涡流时，则小球在液体中受到的粘滞阻力满足下式[10]：

fη=6πηrv

(1)

式中η为液体粘滞系数，v为小球运动速度，r为小球半径。

为了实现小球自由上浮，提出了空心球壳包裹磁性小球的组合球方案，通过磁铁对组合球的吸引力实现对小球的控制。

初始状态，组合球在浮力的作用下漂浮在液体上表面；用磁铁在容器外侧吸引组合球至容器底部后移开磁铁，则组合球开始在浮力作用下上浮，此时组合球受力分析如图1所示。

图1 组合球的受力分析图

移开磁铁的一瞬间，组合球速度为0,滞阻力为0。此时由于组合球所受浮力大于重力，故组合球开始缓慢上升，并受到粘滞阻力影响，以竖直向上为正方向，此时组合球受力满足如下关系：

ma=ρgV-mg-fη

(2)

式中，m为组合球的质量，a为组合球加速度，ρ为蓖麻油密度，g为重力加速度，V为组合球体积，fη为组合球受到的粘滞阻力。

(3)

图2 组合球的v-t图像

由图2可知，组合球将会在极短的时间内进入匀速运动阶段，此时组合球的加速度a为0。在容器顶端标记长度为10 cm的计时区间，当组合球经过时记录其通过时间t。通过式(1),(2)计算可得

(4)

但实际情况下，液体盛在深广程度有限的容器中，因此实际测得的速度v0与收尾速度v之间具有如下的关系

(5)

式中R*为容器内径，h为液面高度。

由式(4)、(5)可得

(6)

斯托克斯公式适用于无涡流产生的理想实验情况，但在实际测量时无法达到这种理想状态，所以需要引入雷诺系数Re[11]。

(7)

2 实验装置与设计

2.1 装置的组成与各部分功能

本实验的实验器件有量筒、磁性小球、强磁铁、底座、空心半球壳、蓖麻油、秒表、胶水。实验装置如图3所示。

图3 升球法实验装置

底座的作用是支撑量筒，确保吸引小球至底部时能够使小球在底部的正中央。磁性小球的作用是使组合球带有磁性，便于使用强磁铁将组合球吸引至量筒底部进行重复实验。强磁铁的作用是将组合球吸引至量筒底部，保证实验的可重复性。本实验的关键在于组合球的磁吸设计和制作，下面将分别论述其设计方案。

2.2 磁吸设计

本实验需要组合球能够到达量筒底部，同时要保证组合球的浮力大于重力，因此本实验使用在空心球壳中加入磁性小球的方法使组合球具有磁性，从而能使用强磁铁在量筒外侧吸引组合球回到量筒底部，使实验能够重复进行。组合球被吸引到量筒底部时如图4所示。

图4 磁吸设计示意图

此时组合球受力分析如图5所示。

图5 组合球受力分析图

此时,f吸+mg>ρgv排,组合球受到向下的力大于浮力，组合球被紧紧吸附在量筒底部。事实上，组合球所受的浮力和重力远远小于组合球所受的磁力，因此组合球在强磁铁的作用下，总能达到量筒底部。

2.3 组合球的制作

为了确保组合球所受的浮力大于重力，实验中所使用的组合球的设计与制作至关重要。

组合球的剖面图如图6所示：

为保证得到的组合球能够在蓖麻油中上浮，组合球仍需满足部分条件。当组合球在蓖麻油中处于静止状态时，以竖直向上为正方向，此时小球受力如下：

图6 小球剖面图

ma=ρgv排-G

(8)

式中，G为组合球所受的重力(空气质量忽略不计)，ρ为蓖麻油密度，g为重力加速度，v排为排开液体的体积。

易知：

(9)

G=ρ铁gv铁+ρ壳gv壳

(10)

(11)

(12)

其中，ρ铁为磁性小球的密度，ρ壳为球壳的密度，v铁为磁性小球的体积，v壳为外球壳部分的体积，R为球壳的外半径，l为球壳的内半径，r为磁性小球的半径。

为使小球上浮，浮力要大于重力，因而有

ρgv排>G

(13)

根据式(9)～(13)计算可得

(14)

本实验所用球壳外半径为5 mm，球壳内半径为4 mm，球壳密度为1.215×103kg/m3，磁性小球密度为9.931×103kg/m3，蓖麻油密度为9.65×102kg/m3，由式(14)得，磁性小球的半径r应满足如下条件：

r<2 mm

所以，本实验选用磁性小球的半径为1.5 mm。

组合球的制作采用CAD设计出空心半球壳，然后使用3D打印技术得到符合要求的两个空心半球壳。将磁性小球固定在空心半球壳内，用胶水将两个半球壳粘起来，即可得到符合实验要求的组合球。在小球上浮达到匀速时，球壳与磁性小球相对静止，小球受力平衡。(胶水用量极少，对实验结果影响很小，忽略不计)

综上，根据外球壳的材质和所选实验液体密度调节磁性小球半径大小，即可制作出符合实验要求的组合球。

3 实验方案

根据第2节内容制作组合球并搭建实验系统，设计如下实验方案。

(1)已知室温下蓖麻油的密度ρ，用螺旋测微器测量出组合球的直径d。用游标卡尺测量出量筒的内径R*。用刻度尺测出量筒内液体液面高度h。用电子秤测出组合球的质量m。

(2)把量筒放在底座上，将组合球投放在液面上，用强磁铁将组合球吸引至量筒底部的正中央后(强磁铁吸引至底座的凹槽内，凹槽在底座的正中央，此时组合球也在量筒底部的正中央)，移走强磁铁。

(3)由于组合球所受合力向上，所以组合球将向上运动。用秒表记录组合球在上浮区间的运动时间。

(4)重复步骤(3)多次，计算出组合球上浮时间的平均值。

(5)用上浮时间计算出组合球的运动速度，最后代入式(7)计算出蓖麻油的粘滞系数。

在开展实验时，需要特别注意如下事项：组合球制作完成后要浸水检验球是否密封。用强磁铁吸引组合球至量筒底部时，要注意把组合球吸引至量筒底部的正中央。

4 实验数据与结果分析

4.1 实验数据

本文经过测量，实验数据如表1所示

表1 小球实验数据

4.2 粘滞系数计算

根据测量的数据，代入式(5)可得组合球的收尾速度v=0.006 8m/s

依次代入式(6)、(7)可得蓖麻油的粘滞系数。

η=1.05Pa·s

经过十次测量，实验结果如下图所示

图7 理论值与测量值比较

由图7可知，该方法测量结果较为准确，实验可重复性高。

4.3 粘滞系数误差

查表得此时(19.5 ℃)的蓖麻油粘滞系数标准值为

η标=1.04Pa·s。

计算可得十次实验的平均绝对误差为0.005 3Pa·s，平均相对误差为0.50%。

由数据可知，本实验误差较小，实验结果可靠性高。多次实验表明，本方案所测得的数据是可靠的，通过本方法测量的相对误差E<4%，因此该方法误差在允许范围之内，有较高的精度。

5 结 语

本文提出了一种测量液体粘滞系数的新方法，并通过设计装置实现了该方法的测量。与传统方法相比，上浮法有以下几点优点：

(1)实验装置简单，仪器成本较低，实验后方便回收清理。

(2)实验原理清晰易懂，实验步骤简洁明了。

(3)实验可重复性高。

(4)本方法操作简单，有利于学生理解和实验室推广。

(5)组合球的制作可以考虑从材料入手，直接制作空心磁性球壳，简化实验流程。