GeoGebra助力高中数学问题解决课堂教学的实践研究——以“椭圆及其标准方程”一课的教学为例

吴启霞

(广东省清远市华侨中学，广东清远，511538)

1 教材的地位和作用

本节课的主要教学内容是研究椭圆的定义、标准方程及其初步应用.同时让学生能够经历椭圆定义与方程的探究过程，从中体会解析几何里数形结合的重要思想.同时椭圆这一节的学习跟后面章节的双曲线、抛物线的定义、标准方程、性质等方面的研究也存在着较多的相似之处，在教材结构上它是起到承上启下的作用.再者就是对椭圆及其标准方程的研究，突出了曲线方程与方程曲线、函数与图形相结合的重要思想，这种思想贯穿中学解析几何的模块里整个学习，因此，是本章和本节的重点内容之一.

2 GGB介入对问题解决课堂教学的影响

解析几何知识在历年高考中占据着重要的地位，它重点考查学生综合运用数学知识进行数学解决问题的能力，但是很多学生对概念的理解，圆锥曲线相关结论的探究都遇到极大的困难，他们普遍感到“望而生畏”.而在传统的教学中，椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线的课堂里一般的导入千篇一律：先让学生直接回顾上节课的内容，然后提出这节课的课题，继而直接得出圆锥曲线的定义，在黑板上演算标准方程的推导过程，这种模式显得比较枯燥，学生学习兴趣不浓，思维上会存在障碍，教学效果必然会大打折扣.在信息化教育新时代，一线教师应该如何运用现代信息技术去助力高中数学问题解决课堂教学，以期改变传统数学课堂教学呢？在21世纪数学教学软件平台上GGB是一款特别适用于高中数学教学和研究的软件，我们用GGB来探究，可以实现数学思维化的过程，一方面它是有助于调动学生学习积极性的，GGB繁复动态的变换能很好地凸显数学知识的本质属性、通过多元互动促进学生的数学思维；另一方面在数学课堂上教师充分利用GGB的动态功能，利用表征的多元化，分别从不同角度显示圆锥曲线的动态变换，师生共同探讨，及时进行教学反馈，为数学问题解决搭建脚手架，开拓数学思维，很好地弥补传统教学手段单调、乏味的缺点.本文以“椭圆及其标准方程”一课教学为例，利用BBG形象直观展现椭圆的定义和轨迹的形成过程以及标准方程的推导.使原本晦涩难懂的数学知识通过动态数学实验的方式呈现在学生面前，进而使学生在数学问题解决上收到事半功倍的学习效果，同时极大的促进学生的数学思维的提升.

3 GGB助力高中数学问题解决课堂教学的教学的实践

3.1 创设直观的数学问题情景，激发学生的易知感

问题解决1 同学们能列举出生活中的有哪些是椭圆形状物品吗？是否知道天体的运行轨迹？

学生说出常见的椭圆图形物品，并描述天体的运行轨迹学生回答后，教师利用GGB展示天体动态运行的动态图形，通过常见的椭圆形物品和天体动态运行图，引导学生对椭圆产生感性认识.

设计意图：① 观察生活中的椭圆，提高研究椭圆的兴趣，通过旧知识，引出新问题；② 通过动画演示，让学生享受数学探究的乐趣.

问题解决2 你还记得圆的定义及其标准方程吗？它和我们本节课即将学习的椭圆的定义及其标准方程会有什么区别跟联系呢？

设计意图：让学生回顾前面已学习过的“圆的定义及其标准方程”，并思考最新问题；教师利用GGB展示圆的定义、标准方程及其动态的图象，制造可视化问题情景，以激起学生的学习欲望.

教学评析：解析几何模块的知识内容虽然在初中课本已开始出现，但是随着学习内容的增多和学习难度深入，学生的学习积极性越来越差，特别受传统教学环境影响，使得部分学生出现了排斥课堂的心理.GGB助力解析几何进行整合的问题解决课堂教学实验表明，基于数形同步显示动态生成圆锥曲线的GGB环境中，不但可以激发学生去研究曲线方程的动机，还可以锻炼学生的数学逻辑思维能力，借助GGB创设与教学内容相关的可视化问题情景，能突破数学动态几何思维发展水平的局限，使学生学习效率得到显著提升.实践证明，在GGB的多元表征环境下能充分发挥学生的认知主体作用，启发学生逐步建立椭圆的定义.

3.2 GGB动态演示形成概念，揭示椭圆定义的数形关系

让学生拿出课前准备好的一块图板、一根定长的细绳和两枚图钉，按要求动手画图，先将两图钉固定在同一点，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆；然后通过不断改变两枚图钉的距离，就能画出扁平程不同的椭圆；最后当两图钉将绳子拉直时，画出的是线段.

问题解决3 根据上面的作图实践，你能说出移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么吗？

设计意图：引导学生按学习小组(4人一组)开展数学实验：以小组为单位利用事先准备的工具(铅笔、绳子、图钉)绘制椭圆；边画图，边讨论并思考教师所提问题且要求互相补充，然后请两名学生到黑板上演示画图过程，最后教师借助GGB的动态功能动态模拟绘制椭圆(如图1).此过程，通过创设学生熟悉的问题情境，运用探索实验的方法，让学生初步对椭圆上的点的特征有一定的了解，在此探究过程中，教师提示“定点”“和”“常数”等关键词，为定义的归纳做了铺垫.

图1

教学评析：学生动手实践操作能很好地提高学生学习的兴趣，锻炼从实践到理论的转化的能力，而且有利于改变学生被动接受的学习方式.应用GGB动态轨迹跟踪功能，有助于学生观察动点运动规律，使学生感受椭圆定义的发展过程.

问题解决4 通过上述两个环节，你能归纳出椭圆上点的特征吗？这个常数是一个任意的常数吗？根据轨迹形成的规律，如何描述椭圆上的动点M所满足的几何条件呢？

设计意图：学生根据自主实践探究，结合观察教师用GGB演示椭圆形成的动态图形，比较容易就能归纳出椭圆上点的特征：到两个定点的距离的和是一个定值.同时并能发现：① 两个定点的距离等于线段长度时，轨迹为一条直线；② 两个定点的距离大于线段长度时，轨迹不存在.(如图2)引导学生归出椭圆的定义：① 当平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a，即：|MF1|+|MF2|=2a，且2a>|F1F2|的点的轨迹是椭圆；② 当2a=|F1F2|时，表示线段；③ 当2a<|F1F2|，无轨迹，将感性知识升华为理性知识.

图2

教学评析：学生归纳总结得出椭圆的定义并进行完善，培养学生逻辑思维能力，引导将实验结论归纳抽象成为数学问题，揭示椭圆定义的数形关系，到此完成本节课第一阶段的内容的讲授.

3.3 GGB强大运算功能助力，化繁为简推导椭圆方程

问题解决5 同学们现在已经学习了椭圆的定义，前面我们知道直线和圆都是放在平面直角坐标系建立方程的基础上研究的，圆锥曲线都有其对应的方程，椭圆也不例外，你认为怎样给椭圆建立平面直角坐标系最合理？才能使所得方程更简洁、更美观呢？

设计意图：引领学生一起复习回顾直线与圆的方程，以便既加深学生对曲线方程，更是为接下来使学生能够正确按照步骤，用代数式来表示椭圆的定义的推导作铺垫.

教学评析：在所设计的问题组的引导下，大部分学生以两焦点F1，F2连线的作为x轴，F1F2的中垂线为y轴，建平面直角坐标系，但也有少数几个同学某一个焦点为原点，通过学生自己动手选择建系方案让他们感受到数学图形具有对称美、形式美、统一美，很好地提升了学生的数学学习兴趣.

问题解决6 如何推导椭圆的标准方程呢？

图3

图4

教学评析：在传统课堂这一环节的处理会使学生陷入较为复杂的化简运算过程，学生痛苦不堪，由于费时费力还会使得学生忽略了较重要的椭圆的定义，利用GGB推导可以使学生在自主探究、讨论探究的过程中，从代数的角度直观感受定义和标准方程动态的形成过程，发挥GGB建标系、绘图、强大的符号运算和动态展示等功能，可以使学生快速的理解掌握推导过程，从繁琐的化简“苦海”中跳出来.这过程实现了从形到数的转变，很好地培养了学生公式推导能力，突破代数式化简的障碍，从而化解本节课的难点.

4 GeoGebra助力高中数学问题解决课堂教学的一点思考

在本节课的教学过程中，笔者首先通过生活中的椭圆形状物品，并用利用GGB展示天体动态运行的动态图形使学生对椭圆的定义有了一定的了解.然后以问题解决为导向，让学生经历动手实践操作，再利用GGB动态演示生成椭圆，进而利用GGB强调的运算功能，导出椭圆的标准方程.这样的课堂设计可以起到一个深化和巩固的作用.本课堂设计与传统的教学方法相比，利用GGB助力教学更加注重知识的发生、发展过程，更有利于学生理解并椭圆的定义的内涵和外延，而利用GGB强大的运算功能推导出来圆的标准方程，又大大地减轻了让学生感到繁琐又复杂的运算的负担.通过这样一个过程，将椭圆定义通过多元化的表征呈现在学生面前， 学生通过动手操作与思考的探索，主动建构自己的知识结构，为后续知识的学习奠定坚实的基础.可见，在问题解决的课堂上，运用GGB助力课堂，帮助教师突破知识的重点、难点，不仅可使一些教师难教、学生难懂的定义、定理和公式，简单化、形象化地展现给学生，使教学效果得到优化.通过运用GGB先进教学软件进行助力教学，还可以根据实际教学情况因材施教地对教材进行整合，增加课堂信息传输量，加大教学密度，增加课堂的容量，同时功能强大的信息技术介入又充分调动学生运用多种感觉器官，把学生学习解析几何的学习积极性调动起来，加深学生对知识的理解深度，从而提高问题解决的课堂教学效果.这种新型的以教师为主导，以学生为主体，以GGB融入整合教学内容的问题解决课堂使教学得到了优化，在减轻学生的学习负担的同时，还激活了学生的数学思维，更是培养了学生的创新精神，对教学效果的提高起到很大的作用.