不等式“能成立”，多思维视角切入——一道含参存在性问题的探究

张 彬

(江苏省西亭高级中学，江苏南通，226300)

涉及不等式“能成立”(或存在性成立)问题，是高中数学中有关函数与不等式的一个重点与难点，往往以含参不等式形式出现，是一类极具交汇性、综合性与创新性的复杂应用问题，难度较大，形式多样.此类不等式“能成立”问题知识融合性强，解决时有一定的经验规律与技巧方法可循，能有效考查学生“四基”的落实情况，具有非常好的选拔性与区分度，倍受关注.

1 问题呈现

问题 (云南省昆明市2022届高三“三诊一模”摸底诊断测试理科数学·21)设函数f(x)=x2-axlnx，a∈R.

(1) 若a=1，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2) 若存在x0∈[1，e]，使得f(x0)<-e(a+e)成立，求a的取值范围.

此题是新高考中比较常见的一类不等式“能成立”(或存在性成立)问题，以含参函数为问题背景，通过导数的几何意义来构建，求解曲线上相关点处的切线方程；结合限定区间的给出，构建存在条件背景下的涉及参数的不等式成立问题，由此来求解参数的取值范围.

这里以不等式“能成立”(或存在性成立)问题创设，通过含参存在性问题的构建，结合不等式成立来设置，可以借助不等式成立的背景，从直接构建函数、分离参数等方法构建相应的函数等常见的思维视角切入，也可以通过存在性问题成立的充要条件来合理分析与推导等.

2 问题破解

解析：(1) 由于函数f(x)=x2-axlnx，a∈R的定义域为(0，+∞).

若a=1，则f(x)=x2-xlnx，求导可得f′(x)=2x-(lnx+1).

而f′(1)=1，f(1)=1.

从而曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线方程为y-1=1×(x-1)，即y=x；

(2) 方法1：(参考答案中的方法——同除简化函数法)

分析：考虑到直接对函数f(x)求解相应的最小值，导数的运算量比较大，可以通过转化，考虑将不等式f(x)<-e(a+e)两边同时除以x，从而将题干中的相关的复杂函数“axlnx”转化为简单函数“alnx”来处理，有效简化函数来分析与处理.

解析：由不等式f(x)<-e(a+e)，整理可得x2-axlnx+e(a+e)<0.

因为x∈(0，+∞)，所以x+e>0，令g′(x)=0，得x=e+a.

若e+a≤1，即a≤1-e时，g(x)在[1，e]上单调递增.

若e+a≥e，即a≥0时，g(x)在[1，e]上单调递减.

只需g(e)=e-a+e+a<0，不成立；

若1

方法2：(参数分离法)

分析：考虑到要求解参数a的取值范围，通过对不等式f(x)<-e(a+e)恒成立进行合理化归与整理，结合变量的取值范围进行分类讨论，进而结合分离参数，并利用构建函数法将问题转化为a

解析：由不等式f(x)<-e(a+e)，整理可得a(xlnx-e)>x2+e2.

当x=e时，a∈∅；

由于x∈[1，e)，可得2x(xlnx-e)<0，(lnx+1)(x2+e2)>0，故g′(x)<0.

则知函数g(x)在[1，e)上单调递减.

方法3：(逆否命题等价转化法)

分析：通过对参数a进行分类讨论，当a≤0时，结合函数的单调性以及函数的最值，结合不等式的性质与求解来确定参数a的取值范围；而当a>0时，结合互为逆否命题的等价性思维，利用不等式的性质以及函数的单调性来确定此时不满足条件；综合分类讨论法进而来确定参数a的取值范围.

解析：由于当x∈[1，e]时，xlnx和x2均是单调递增.

则当a≤0时，f(x)=x2-axlnx在[1，e]上单调递增，此时f(x)min=f(1)=1.

而当a>0时，对任意x∈[1，e].

由f(x)+e(a+e)=x2-axlnx+e(a+e)=(e-xlnx)a+e2+x2.

而由于x∈[1，e]，可得1≤xlnx≤e，即e-xlnx≥0.

所以f(x)+e(a+e)=(e-xlnx)a+e2+x2>e2+x2>0恒成立.

由此可得，当a>0时，不存在x0∈[1，e]，使得f(x0)<-e(a+e)成立；

3 变式拓展

变式1 已知函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx，a∈R.

(I) 若a=-2，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；

(II) 讨论函数f(x)在[1，e]上的单调性；

(III) 若存在x∈[1，e]，使得f(x)≤0成立，求实数a的取值范围.

而f′(1)=0，f(1)=1，所以所求切线方程为y=1；

即当a≤2时，f′(x)≥0，此时函数f(x)在[1，e]上单调增；

(Ⅲ)方法一：(分类讨论法)

当a≤2时，由于函数f(x)在[1，e]上单调增，则知函数f(x)的最小值为f(1)=-a-1，可得-1≤a≤2.

当a≥2e时，函数f(x)在[1，e]上单调减，则知函数f(x)的最小值为f(e)=e2-(a+2)e+a.

综上，a≥-1，所以a的取值范围是[-1，+∞).

方法二：(分离参数法)(略)

4 解后反思

涉及不等式“能成立”(或存在性成立)问题，解决的基本策略就是“含参”转化与“分参”处理两个基本思维角度，具体解决时，思维技巧方式多样，巧思妙解，利用不等式“能成立”的背景，综合不等式的性质、不等式的求解以及函数的基本性质等，借助函数的合理构造，函数、方程与不等式三者之间的巧妙转化，利用熟知的数学模型来分析与破解不等式的“能成立”问题，提升数学品质，提高数学能力，培养数学核心素养.