多元表征策略在分数乘除法计算教学中的运用

董美荣

(南师附中黄山路小学，江苏南京，210000)

“表征”即“显示出来的现象，表现出来的特征”.作为动词，“表征”表示对事物本质的揭示和阐明；作为名词，“表征”表示事物显示出来的现象、特征.多元表征指的是信息通过心象码的建构过程，对信息进行编码和形成多种转译，从而形成对信息多元化的表征.

在数学教学中，多元表征主要分外部表征和内部表征.所谓“外部表征”，是指学生借助语言、文字、符号、图片等形式对学习对象进行的表征；所谓“内部表征”，是指学生加工数学的心理表征，包括言语表象、视觉表象、记忆表象、思维表象等.通常情况下，只有将外部表征转化成学生的内部表征，数学教学才能发挥应有的效用.在数学教学中，教师以言语信息(主要包括口语、符号、图象、文字等)和非言语信息(主要包括图片、实物、模型等)将数学学习内容呈现给学生，经过学生的个体加工，将外部的言语或者非言语编码以多元表征形式纳入内部表征系统之中，形成学生的心象码.在这个过程中，学生能够完成信息的转换和意义的建构.

分数乘除法的计算，包括了算法和算理等程序性知识，如“甲除以乙等于甲乘乙的倒数”这个法则，是在理解算理的基础上，通过压缩、抽象，将运算过程压缩成标准化的运算步骤，进而概括出运算法则[1].同时，它也包含一些概念性的知识，如分数乘法的意义、分数除法的意义以及分数的基本性质等内容，算理是总结算法的依据.所以，分数除法的计算一方面体现了算法的程序性知识，另一方面也体现了算理的概念性知识.但不管哪种学习，都需要一种内在或外在的“客体”来表征，即多元表征，来提高学生的思维能力.

1 多元表征方式的相互转化，促进算理的深入理解

美国的心理学家莱什(Lesh)把数学学习中常见的表征方式归结为：实物情境(real-word situations)、操作模型(manipulative aids)、图形或图表(picture or diagrams)、语言表征(spo-kenlanguag)、符号表征(writtensymbols)五种表征系统.他认为这五种表征系统之间没有先后顺序关系，但能相互转化和相互影响，正是这种转换和影响的密切关系能有助于提高学生数学理解能力[2].

苏教版数学六年级上册《分数乘法》这一单元例1，教授的是分数乘整数的计算，这部分内容的计算方法很多学生在没有学习之前，都能做出来.但为什么可以这样做，也就是算理是什么，大部分学生是模糊的，如果不把算理弄清楚，就会对后续的分数乘分数以及分数除法的计算带来很大的困扰.

图1 分数乘整数计算的多元表征结构

在分数乘法的练习中，学生经常会遇到下面这样的题组练习：

(长方形表示1米)

(长方形表示4米)

图2

图3

图4

图5

2 多元表征方式的运用，加深算理理解的拓展

郑毓信教授指出：数学核心素养的真正内核所在是我们如何能够通过数学教学帮助学生思维，这并非是指想得更快一点、如何能够与众不同，而是我们应当逐步学会想得更清晰、更全面、更深刻、更合理.

数学语言和符号表征是数学研究中两种古老的方法，将两者结合起来，也是非常实用的教学方法，在分数算法的探究和算理的理解上能起到锦上添花的作用.教师在教学的过程中，要帮助学生建立新旧知识之间的内在联系，打通思维的脉络，使学生获得原理性知识.把直观地发现演变成深刻的理性思考的符号表征环节是课堂教学的核心点.

苏教版数学六年级上册第39页有这样一道思考题.

图6

看到这道题目，很多同学会感到无从下手，即使知道应该先确定中间那个数是多少，但也不知道如何确定下来.教师应该帮助学生深入理解“使每条线上3个数的乘积都是1”这句话，乘积是1，联想到倒数的概念.我们刚刚学习过的是“乘积是1的两个数互为倒数”，那延伸开来，三个数是不是也可以找到一个数与另外两个数的积互为倒数呢？结合题目我们继续探究中间的○同时在三条线上这一关键信息，也就是说中间的数要与每一条线上的另外两个数的积正好是互为倒数，则三个数的乘积才能是1.这样，我们就能找到解决问题的突破口.

图形表征是将概念或法则用图形、图象、直观模型等方式描述出来理解.低年级学生由于抽象思维能力相对较弱，借助直观图形来解题的情况很多.其实，在高年级，遇到较难或是易错的题目时，图形表征也是一种非常有效的教学方法，例如在分数除法教学中，让学生从图形中找出计算的步骤，并理解计算过程中每一个数据在图形中所代表的模块.

苏教版数学六年级上册第52页的思考题如下.

图7

图8

这题我们也可以转化成份数来解决：小明原有金鱼5份，送给小红1份后，两人的金鱼条数一样多.这时小明还有4份，而小红加上1份后变成4份，说明小红原本只有3份，也就是说原来小明比小红多2份，正好是多了8条金鱼.那我们便可以利用8÷2求出1份金鱼的数量是4条.

3 多元表征方式的运用，促进不同层次学生的真正发展

新修订的《义务教育数学课程标准》(2017年版)中提出：要使不同的人在数学上得到不同的发展，要调动学生积极性，引导学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维[3].在课堂教学中，为了促进学生学会对知识进行图形、模型、语言、符号情境等表征形式的运用，可以让学生借助“画一画、做一做、说一说、写一写、举例子”的形式来探究知识，使学生手、眼、耳、口、脑全方面、多途径地去理解知识，从而达到有效地理解计算的目的.

苏教版数学六年级上册《分数除法》这一单元，从分数除以整数，到整数除以分数，再到分数除以分数，采取层层递进的方式让学生慢慢掌握分数除法的计算法则.

图9

图10

图11

图12

列式：

通过上面分数除法例题和题目的讲解，我们不难发现，对待同一题目，要根据不同层次学生的理解能力，在不同的教学环节采用不同形式和层次进行表征，实施恰当有效的教学来提升学生对分数除法计算知识的深刻理解.

小学分数乘除法计算算理的理解很抽象，应该善用各种表征，为学生搭起思考的桥梁.针对不同的教学内容，巧用、善用数学多元表征和不同的教学策略，为更多学生的发展提供帮助.