基于综合分析力求精准定位 经历多元表征旨在理法相融——以“除数是小数的除法”教学为例

●曾鹏，邹晓兰，陈玉坚，唐国峰

“除数是小数的除法”是人教版五年级教材第三单元“小数除法”第三课时内容，在学习本单元之前，学生已经掌握了整数乘除法和小数乘法的计算方法。在本单元前2 个课时的学习中，学生已经学习了除数是整数的除法， 尽管学生前期学习乘除法的经验比较丰富，但具体到本课的学习，没有直接的经验可以借鉴或迁移。在计算中，需要利用商不变的性质进行小数点的移动将除数是小数的除法转化为除数是整数的除法，也就是利用转化的思想，将“未知”转化为“已知”。

如何帮助学生有效调用已有的学习经验？ 学生真实的困难是什么？学生能不能通过自身的努力，将小数转变为具体的数量进行计算（转化为元、米等），从而理解其中的算理，掌握算法？

基于以上的思考，课题组带着疑问对课标进行了解读，对人教版、北师大版、苏教版三个版本的相同内容进行对比分析，对五年级1 个班级的学前情况进行了调研，以期为本课的精准施教提供依据。

一、综合分析：明晰教学核心问题

（一）课标解读，掌握学段的具体要求

“小数除法”是第三学段“数与代数”领域中的教学内容。 《义务教育数学课程标准（2022年版）》在第三学段“数与运算”中明确提出“数的运算重点在理解算理、掌握算法”。 尽管课标中提出的是学段目标不是课时目标， 但通过学段目标可知教学中的具体关注点：帮助学生理解算理，在明晰算理的基础上掌握算法，形成必要的运算技能。

（二）多版本教材解读，为教学提供辩证参考

1.三个版本教材教学内容编排的特点

图1 人教版、北师大版、苏教版教材内容

人教版教材依据情境提出问题： 这些丝绳可以编几个“中国结”？提醒学生进行估算，体现发展学生估算意识的意图。 在“想一想”中提示运用商不变的性质将小数除以小数转化为整数除以整数的方法进行计算， 在此基础上对竖式计算中小数点的移动进行“动态”提示，再让学生进行竖式计算。

北师大版教材以一位小数除以一位小数的例题进行教学，强调多元表征：提示学生将元转化为角进行计算，用商不变的性质转化为整数的除法，用圈一圈和画一画的方式帮助学生进行操作，在多种表征的基础上理解算理，再进行竖式计算。

苏教版的例题用一个两位小数除以一个一位小数，提示学生利用商不变的性质进行转化，在“思路导航”中给予学生两点提示：根据商不变的规律把除数转化为整数的除法进行计算；被除数、除数的小数点向右移动一位。在明确算理的基础上，让学生进行竖式计算，注重让学生说一说计算的过程。

2.三个版本教材比对分析对教学的启示。

三个版本教材编排的方式各异（表1），人教版给予的提示最少，计算难度最大，有“动态”的小数点移动的方法指导，“留白”较多。北师大版本更注重多元表征，以小数据揭示小数除以小数的算理、计算方法，教材“突破手段”最多，难度最小，着重凸显小数除法的算理，重视学生语言表征。苏教版教材难度中等，注重对算理、算法的同步提示与引领，重视学生对计算过程的梳理与表达。 三个版本教材也有如下共性：一是注重在情境中引入数学问题；二是注重学生对算理的理解——利用商不变的性质进行转化；三是注重对竖式计算的指导。

表1 三个版本教学例题、书本提示与练习的对比

经对三个版本教材的比对与分析，有如下的教学启示：注重情境设置，让计算教学不枯燥；注重对商不变性质的唤醒，让学生计算有“据”；注重多元表征，让学生在明晰算理的基础上进行算法探究；注重学生语言表达能力的训练，促进学生对知识的内化。

二、学情调研：为精准施教提供依据

为了掌握学生的学前情况，聚焦7.65÷0.85 的估算与笔算进行如下两题的调查（图2）。 对我校五年级的1 个班级50 人进行前测，并对学生完成的情况进行了统计与分析（图3）。

图2 前测卷

图3 前测统计

从第一题的数据来看（图3），估算有近一半人正确，还有50%的同学不会对这道题进行正确的估算。可以看出，在教学中注重学生估算能力的培养很有必要。 根据第2 题的数据可知（图3），有8 名学生能正确计算出得数，竖式书写正确，能说清楚计算的理由；19 人能正确计算出得数，能说清楚理由，但竖式计算的书写不正确。 从答案来看，有27 人能得出正确的商。 有34 名学生能理解转化的方法，会从商不变的性质进行转化， 把小数除以小数转化为整数除以整数进行计算。 还有16 名同学不会计算、不会列式、不能说清楚理由。 不会列竖式进行计算的有42 人，说明没教学之前，学生对小数除以小数的竖式计算掌握难度大。 小数点的移动以及列竖式进行计算，应该是教学中着重关注的问题。

三、精准定位：为精准施教锚定方向

通过对课标、多版本教材综合分析以及学情调研，综合借鉴不同版本的优点，在具体实施中凸显如下几个方面。

第一，关注学生估算意识的培养，便于学生对计算方法的掌握与计算结果的检查。

第二，引导学生自主探究，倡导多元表征，明晰算理。引导学生转化为统一数量单位进行计算，利用商不变的性质等方式解答，重视学生对算理的个性化理解。

第三，重视对学生已有知识经验的调用，帮助学生唤醒已有的知识储备——商不变的性质。 将除数是小数的除法转化为除数是整数的除法， 重视学生对算法的探究、比较与归纳，让学生在自主探究、交流合作、质疑反思的基础上提炼算法。呈现动态的小数点移动的过程， 让学生经历从算理的理解到计算方法的过渡，掌握竖式计算的方法。

第四，渗透对“转化”思想的理解。引导学生思考小数除以小数就是利用商不变的性质转化为整数除以整数的计算方法，让学生理解把不熟悉的转化为熟悉的。 回顾与反思不同算法，理解小数除法的“通法”。

四、教学实践：经历多元表征，旨在理法相融

【片段一】复习导入，唤醒已有知识

师：同学们，这些题目你们会算吗？

（多媒体先出示前3 个，再出示第4 个）

表2

生：1200÷400＝3。

生：120÷40＝3。

生：12÷4＝3。

师：这么快！ 发现有什么规律吗？

生：从左往右看，被除数和除数同时除以10，商没有变。

师：还记得这是什么规律吗？

生：商不变的规律。

生：被除数、除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。

师：看来大家对以前的知识掌握得很牢固。如果1.2÷0.4，你会算吗？

生：1.2÷0.4＝3， 因为12 除以10 是1.2，4 除以10 是0.4，根据商不变的规律，商还是3。

【设计意图】通过简单的抢答游戏，激发学生的学习兴趣；引导学生复习商不变的规律，自然地引入到新知的教学， 为小数除法迁移到整数除法作了铺垫。

【片段二】入情入境，引导学生估算

师：中国结是中国特有的一种小工艺品，不仅颜色鲜艳、形态优美，而且寓意吉祥，代表着美好的愿望。 （多媒体出示：老奶奶有7.65 米丝绳，编一个要用0.85 米丝绳。这些丝绳可以编几个“中国结”？）你会解答吗？

生：知道老奶奶一共有7.65 米丝绳，编一个中国结要用0.85 米丝绳，问题是可以编几个。 用丝绳总长除以中国结每个需要的长度就可以得到中国结的个数。

师：同学们，请你们估一估，大概能编几个？

生：我觉得是7，把7.65 估成7，0.85 估成是1，约等于7。

生：我认为大于7。 如果把0.85 估成1，7.65 除以1 是7.65。 所以7.65 除以比1 小的数，商肯定大于7.65。 因此答案大于7。

生：我还知道不会超过10 个，如果是10 个，那么0.85×10=8.5，比总长7.65 还大，因此不会超过10。

【设计意图】以情境融入问题，让计算教学不枯燥；引导学生进行估测，为计算准确性、合理性以及商的检验提供必要的依据。

【片段三】自主探究，引导学生多元表征

师：大家通过估算锁定了中国结个数的范围。如果想知道到底是多少，怎么办？

生：算出结果就知道。

师：很不错的想法。 请大家在小组讨论一下，能不能运用以前所学的知识进行解答？

生1：把7.65 变成765，把0.85 变成85，这样得出的商是9。

师：请你说一说计算的理由？

生1：这是利用商的变化规律，把7.65 和0.85同时乘100，就变成765 除以85，结果是9。

师：除了用商不变的规律进行计算，还有其他的想法吗？

生2：我们小组把7.65 米变成765 厘米，0.85 米变成85 厘米，这样变成765 厘米除以85 厘米，等于9。

生3：我们小组想7.65 除以0.85 没有学过，但都可以转化为更小的单位进行计算。 7.65 是765 个百分之一，0.85 是85 个百分之一，765 除以85 是9，所以7.65 除以0.85 等于9。

师：确实，通过转化，可以把“新知”的问题转化为“旧知”进行解答。

【设计意图】引导学生调用已有知识储备与解决问题的经验，将小数除法转化为已学的知识进行解答，通过多元的表征形式，帮助学生理解小数除法的算理，为小数除法的竖式计算埋下伏笔，实现理法的自然过渡。

【片段四】交流辨析，掌握竖式计算方法

师：请同学们自己尝试用竖式计算7.65÷0.85。

（学生自主尝试竖式计算后汇报）

图4

生1：前面我们小组讨论的答案是9，但写完商9 之后，商上面的小数点要对齐，所以我在7 上商0，小数点对齐，6 的上面也商0，答案就变成了0.09。

师：也就是说，你也明白答案应该是9；但考虑到小数点对齐， 所以就在前面添0， 点上小数点之后，就变成了0.09。 确实老师也能体会你的这种“矛盾”的心情，不急，请坐下。

生2：7.65 和0.85 利用商不变的规律同时扩大100 倍，就变成了765÷85，商就是9。

生3：我不同意，虽然你的商是9，但是在竖式计算中被除数还是7.65，除数还是0.85。怎么看出你是765÷85？

生4：7.65 和0.85 利用商不变的规律同时扩大100 倍，就变成了765÷85，商就是9。

生5： 但是你竖式计算中的被除数、 除数还是7.65 和0.85，也不是765÷85。

生6：7.65 和0.85 利用商不变的规律同时扩大100 倍，在竖式计算中，被除数的小数点与商的小数点先画掉，再向右移动两位，就变成了765÷85，商就是9。 大家请看右边我利用商不变的规律写出的算式。

【设计意图】 小数除法竖式计算是学生的难点，与教学前测反应的结果一致。 让学生充分“暴露”错误，让学生在相互的发问、质疑、交流、辨析中逐渐把“错误”变成“资源”，从迷惑走向清晰。让学生在竖式计算中展示算理的动态“链接”，实现算理、算法的融通，形成计算技能。

【片段五】回顾与反思，理法相融、拓展延伸

师：同学们，回顾这堂课的学习，我们是如何计算“一个数除以小数”的？

生1：一看除数的小数位数是几位，把它转化成整数。

生2： 二根据商不变的性质被除数也要移动相同的位数。

生3：最后按照除数是整数的除法进行计算。

师：很好，把未知转化成已知，利用转化的思想。如果老师把刚才最后一道练习题的被除数尾数4 改为5，有余数了怎么办？

图5

……

【设计意图】本课的课尾，没有让学生说本节课的收获，而是让学生聚焦“转化”理解算理，回顾竖式计算的方法实现理法的相融。 并相机抛出一道思考拓展题，让学生的思维得以延续，架构了与后续学习知识间的连接桥梁。

本堂课，从综合课标、多版本教材、学情的分析，为教学锚定了方向，力求为精准施教提供相对科学、有效的依据；在课程实施中注重学生经验调用，多元表征、理法相融，培养学生的运算技能，实现了我们基于综合分析的最初定位与设想。