基于核心素养理念下“图形的变化”数学教学实践探索

文∣张碧铿

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》提出，学生发展核心素养是党的教育方针的具体化、细化。教师应在教学实践中不断探索，将数学学科核心素养的培养贯穿教学活动的全过程，本文以初中数学内容“图形的变化”教学为例进行探究。

初中数学“图形的变化”涵盖平移、轴对称、旋转、相似、投影等五大内容，贯穿七年级至九年级的教材，是数学学习的重要内容。“图形的变化”内容较多涉及图形的动态变化，比较抽象，学生对于这部分内容的学习存在一定困难。如何在“图形的变化”的教学中激发学生的探究热情，培养学生的想象能力，锻炼学生的思维能力，从而培养学生的数学核心素养?

一、在数学建模应用中，激发学生的探究热情

在“图形的变化”各章节的教学内容中，不少内容与现实生活、经济、科技等方面有关，解决这些实际问题，对学生来说是难点。激发学生的探究热情，引导学生从实际问题中抽象出数学模型，可以从以下三个方面进行实践。

(一)直接建模应用培养兴趣

“图形的变化”在生活中的应用有很多，在进行每个知识点教学之前，教师应充分挖掘教材的内容，联系生活的实际，让学生感受数学知识与生活的密切联系，如传送带的运输、电梯的平移、摩天轮及风力发电机的转动等，用图片、案例引入数学知识的学习，引发学生的兴趣，激发他们学习的热情，把实际的场景画面直接转化为数学的平移模型、旋转模型、轴对称模型等。

教师也可在图片中，适当引入相关的知识，培养学生学习的兴趣。例如：以风力发电机为例引入旋转模型，向学生介绍风力发电的情况。风力发电在芬兰、丹麦等国家很流行，在我国西部地区得到大力发展，风力发电没有燃料问题，也不会产生辐射或空气污染，是一种特别环保的发电方式。风力发电的原理是利用风力带动风车叶片旋转，再通过增速机将旋转的速度提升，来带动发电机发电。通过教师对一些课外知识的介绍，学生学习数学的兴趣和热情也得到了不断提高。

(二)简单建模应用激发求知动力

有些实际应用问题在建立数学模型后，还需要运用较简单的数学知识进行解决，这样才能让学生充分感受数学的建模思想，以及运用数学知识解决问题的奇妙。

例如在实际生活中，有些求不规则图形的面积问题，通过对某些图形的平移或轴对称或旋转就能得到比较规则可求面积的图形，继而再求出相应的面积。由此能让学生感受到通过平移、轴对称、旋转等解决问题的巧妙之处。同时学生也意识到掌握好了知识，才能在恰当的时候快速运用知识来解决实际问题；更易激发学生的求知欲，提升他们的应用能力。

(三)深层建模应用引导钻研探究

有些实际应用问题需要引导学生根据实际应用的各种背景，建立相应的数学模型，再运用数学深层次的知识进行解决，这种问题对学生的能力要求比较高。例如人教版八年级上册的“最短路径”内容。“牧马人饮马”“造桥选址”问题中，如何选择“饮马”“造桥”的位置使得路径最短，需要学生在充分理解图形轴对称性质的基础上，建立数学模型；能明白为什么所选的位置就是路径最短，综合性较强。

对于实际应用中出现的各种不同层次的问题，教师应关注教材中的案例，关注生活中信息，把这些案例和信息融入数学课堂的教学中；再通过建立不同层次的数学模型，解决实际问题，激发学生的探究热情，进一步提升学生的应用能力。这样学生对数学建模解决问题的认识也更加深刻，课堂内容更加丰富多彩，也能更好地培养了学生数学建模核心素养。

二、在图形的学习中，培养学生的想象能力

在“图形的变化”中，图形总是千变万化的；变化前后的图形之间又存在着一定的联系。但图形的变化对于学生来说都比较抽象，如何让学生对图形有更好的“图感”，让他们能想象图形经过变化后的状态？教师可以从以下三个方面进行实践。

(一) 重视画图操作，培养直观图感

在“图形的变化”教学过程中，涉及平移、轴对称、旋转、相似、位似等画图的教学内容，教师要重视这些画图操作的教学，在课堂上安排充足的时间，引导学生进行画图，通过画图加强学生对图形变化的熟悉，从而培养学生几何直观想象能力。

例如在教学中，教师出示例题，引导学生画图。

图1

【例题】如图1，在直角△ABC中，以直角三角形一边为边画一个等腰三角形，使它的第三个顶点在直角三角形的其他边上。

教师让学生动手画图解决问题，学生的答案会出现多种符合条件的图形，如图2。教师让学生逐一展示，充分感受等腰三角形的对称性质。同时引导其加强对线段垂直平分线的性质和判定的理解，对于解决直角三角形和等腰三角形相结合的题型会有更好的直观图感，感受和体会分类讨论的思想。

图2

(二) 熟悉基本图形，挖掘基本模型

在“图形的变化”教学过程中，基本图形的概念、性质、画图等教学需要扎实开展。综合的几何图形中大都包含着多个简单的基本图形的平移、轴对称、旋转，只有落实好每一个基本图形的变化教学，学生才能比较直观看到各种基本图形的组合。

【例题】 如图3，正方形ABCD的边长为1， ⊙O经过点C，CM为⊙O的直径，且CM=1。过点M作⊙O的切线分别交AB,AD于点G、H，BD与CG、CH分别交于点E、F，⊙O绕点C在平面内旋转(始终保持圆心O在正方形ABCD内部)，求四边形CGAH的面积的最大值。

图3

这道综合题包含直角三角形、正方形、圆形等基本图形 ，是动态变化的题目。

对于综合题题型，教师应挖掘基本图形，提炼基本模型，利用平移、轴对称、旋转的知识解决问题，达到逐步培养学生图形的直观想象能力，提升学生解决问题的能力。

(三)借助信息媒体，培养直观想象

结合教学内容，教师还可以适当借助计算机画图软件来辅助教学。通过作出一些图形绕某一点旋转后的图形，或沿某一条直线翻折后的图形，展示满足一定条件的运动轨迹等；这些教学活动的展示都能培养学生几何图形直观想象力。教师应注重信息技术与数学课程的适度融合，通过信息化的手段让学生去感受图形的变化，优化课堂设计，为学生解决问题提供直观资料的帮助，为学生理解知识而创设背景，为学生探索规律提供启发思路。

教师可借助各种教学手段，让学生多进行画图操作，让学生熟练掌握基本图形的知识点。在综合题型中，挖掘或构建基本模型，借助信息技术与学科教学的融合等都能较好实现培养学生几何直观想象能力核心素养。

三、在逻辑推理训练中，锻炼思维能力

逻辑推理是学生学习数学的基本能力,指根据已知推出新结论的一种能力。逻辑推理能力的培养是一个漫长的过程，“图形的变化”各章节的学习对于学生逻辑推理能力的培养是非常好的契机。图形的平移、轴对称、旋转三种变化中，图形只是改变了位置，变化前后的图形是全等的，三种变化是两个图形全等的特殊情况。而相似是图形的大小发生了改变，全等是相似的特殊情况，位似也是相似的特殊情况。在教学过程中，教师可以通过承上启下、类比推理、猜想论证等提升学生的思维能力。

(一)以旧带新，承前启后

教学时，充分分析新知识构建需要哪些旧的知识作为铺垫，在熟悉旧知识的前提下推出新的知识，让学生充分感受到逻辑推理的重要性。

例如人教版九年级下册第二十七章“相似”教学中，相似的判定方法，都是先通过构造两个全等三角形，再进一步证明相似，在四个相似方法的推导证明中，教师要引导学生复习全等的证明方法，再认真思考如何证明相似三角形。在引导学生运用三角形相似的判定方法时，要注意从多方面考虑，构造边角关系。通过这些推理证明，以旧带新，承前启后，训练学生的逻辑推理能力和思维能力，同时在推理过程中将所运用到的逻辑思维迁移到后续学习中。

(二)类比推理，螺旋上升

对于有些问题的推理论证，教师需要在简单问题的基础上一步一步地推导，运用得到的结论和推导的方法进一步探究新背景下问题解决的策略与方法。这种类比推理的过程，能让学生收获成功的喜悦。

以人教版九年级上册第二十三章的习题为例。

【例题】如图4，过菱形对角线交点的一条直线，把菱形分成了两个梯形，这两个梯形全等吗？为什么？

图4

教师引导学生发现，两个梯形关于对角线交点中心对称，所以这两个梯形全等。

教师进一步展示下一道例题。

【例题】如图5，有一张纸片，若连接EB，则纸片被分为矩形FABE和菱形EBCD。请你画一条直线把这张纸片分成面积相等的两部分，并说明理由。

图5

矩形FABE是中心对称图形，菱形EBCD也是中心对称图形，所以经过它们中心的直线把图形分成全等的两部分，直线l既经过矩形FABE的中心，又经过菱形EBCD的中心，所以直线l把纸片分成了面积相等的两部分。

类比推理是锻炼学生逻辑推理能力的重要方法。在教学中，教师可以把内容相似、知识点相关的题型组合在一起进行练习；通过练习，让学生找相似、找关联、找不同。这些做法都能较好地发展学生的逻辑推理能力，让他们的思维能力得到螺旋式的提升，逻辑推理的核心素养得到培养。

(三)猜想论证，拓展思维

教师在“图形的变化”教学实践中，应注重帮助学生认识并掌握数学思考的基本方法，如归纳、类比、转化、猜想与论证，对于一些问题的结论可以进行大胆的猜想，再根据猜想结果，进行推理和论证，最后解决问题。在此过程中，让学生养成“推理有据”的习惯。

关注学生逻辑推理能力的培养，是锻炼和提升学生思维能力的关键。逻辑推理能力的提升,能够让学生的学习能力得到发展；这不仅有助于提升学生的数学认知水平,更能培养学生的数学核心素养。

在“图形的变化”各章节的教学实践中，教师可以充分利用教材的内容，结合生活的实际应用，选择合适的专题，对课堂教学进行研究和实践。经过多年的教学实践，每学期结束，笔者都会对学生掌握“图形的变化”知识点情况进行统计分析。结果显示，学生对“图形的变化”内容的掌握、理解、解决问题的能力，均能达到理想效果。在日常数学学习的活动中，学生的表现和反应能呈现出学科核心素养较好的养成态势。