小学数学推理意识形成中数学经验的再生

文∣夏常明

逻辑推理是学生的核心素养之一，是指从一些事实和命题出发，依据规则推理出其他命题的能力。《义务教育数学课程标准(2022年版)》将逻辑推理细分为推理意识、推理能力、逻辑推理素养，意在不同学段建立结构性体系，凸显推理的心理来源，细化推理的心理倾向性的萌生过程和推理能力的培养路径。 推理意识主要是指对逻辑推理过程及其意义的初步感悟，就是在判断一个命题的真假时会自觉或者不自觉地使用的一种心理倾向性，建立在经验感悟之上，是推理能力的基础。[1]推理意识有助于学生形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养科学态度与理性思维，增强交流能力。小学数学推理意识的形成，需要学生在数值定向、模式识别、假设形成和模式抽象四个认知过程中感受数学对象不同及数学信息之间的量性特征，掌握数学模式所内含的因果关系。

史宁中教授指出，数学推理的本质是思维过程和逻辑推理体现在所涉及命题内涵之间的传递性,包括关系传递性和性质传递性，并且用数学的语言和符号确切地表述这两种传递性。[2]同时，学生在“经历和感悟了数学归纳推理和演绎推理后积淀下的思维模式”，即为数学基本活动经验。[3]数学经验再生，指学习者经历数学知识“量化模式”形成过程，以“量化模式”为操作感知对象，通过动手操作与交流反思等活动，在思维方式与量化模式及其体验之间所建立的联系。[4]推理意识形成中的数学经验再生，就是学生在已有经验基础上，通过归纳、类比、猜想或者发现，进一步体验数学从一般到特殊的论证过程，在数学思维与逻辑推理之间建立深度理性联系。只有形成推理意识，促进经验再生，升华思维品质，学生逻辑推理素养才能得到发展。

一、数值定向中的数学经验再生

数值定向是推理意识的起始阶段，即对输入信息的各个对象、形式结构，各个对象的相同点或差异等进行比较分析、编码并抽取特征，达到对问题的初步理解。[5]数值定向过程是学生经历观察分析,获取个体数值信息并抽取属性特征的推断过程。观察和分析是学生运用相关工具，手脑结合，在数学思维活动参与下进行的推断活动。学生以特定的个体数值信息作为推理对象，通过直观观察与操作分析，获取丰富的量化属性特征，进行信息分析编码，寻找数值之间差异，抽取数值个性特征。为了促使学生自然萌发推理意识，教师应鼓励学生深度挖掘日常生活中的推理素材，通过问题情境巧妙设问，并鼓励学生在数学问题的引领下参与数学观察、 发现以及论证等过程，有效帮助学生获取数学的基本活动经验。学生对于个体数值信息进行获取、编码、加工和抽取的过程，也是数学经验不断重组再生的过程。与此同时，数学经验的再生，也为推理意识的生成奠定基础。

学生3：规律是指循环往复出现的周期现象，第一种思路不正确，只是满足了其中一组特征，没有出现更多的数来进行验证，况且项数只能是3的倍数，如果项数不是3的倍数，规律无法进行下去。

二、模式识别中的数学经验再生

模式识别是推理意识的生成阶段，即通过对新信息与已有的知识库中存贮的信息之间的匹配来达到。通过对特殊的考查而产生规则，建构新的模式，抽取对象间的数量关系的意义并应用新规则做出预测，确定下一个是什么。体会新信息和已有经验之间存在着联系状态是推理意识发展的重要基础，也是有序开展推理的前提保证。从一般到特殊，从个性中发现共性，是数学推理的重要动力。教师应引导学生依据已有的数学知识经验，组合共同属性，概括本质特征，抽取数量关系建构新模式过程，实现数学经验再生。推理意识生成中，数学经验遵循内在脉络，建立结构连续，沟通方法联系，实现循环上升，再生思维逻辑线索。学生推理意识逐步生成过程是数学经验提高再生过程，同时也是学生逻辑推理素养逐步提升过程。

在教学苏教版小学五年级上册“多边形的面积”时，有学生提出，将平行四边形转化为长方形，三角形和梯形转化为平行四边形，由已知图形面积计算公式推导出未知图形面积计算公式。有学生认为，在长方形、平行四边形、三角形和梯形面积公式推导过程中，无论是拼接，还是割补，都采用了转化的策略。教师适时点拨学生：可以从梯形的面积计算公式推导出其他多边形的面积计算公式吗？

学生1提出，把平行四边形看成上、下底相等的梯形，平行四边形面积=底×高=(上底+下底)×高÷2。

学生2提出，把三角形看成上底是0的梯形，三角形面积=底×高÷2=(0+下底)×高÷2。

学生3提出，把长方形看成上下底边相等且邻边互相垂直的梯形，长方形面积=长×宽=(上底+下底)×高÷2。

学生4提出，多边形图形的面积计算公式之间是相互关联的，在一定条件下，长方形、平行四边形、三角形和梯形面积计算公式可以整合成一个面积计算公式，多边形面积=(上底+下底)×高÷2。

经验具有一定连续性和方向性，每一种经验都取之于以往经验，同时也以某种方式改变或重组以后经验。学生充分调动已有数学经验，将长方形、平行四边形、三角形与梯形面积计算公式进行匹配，应用抽取组合方式对多边形面积计算公式进行推理验证，多维呈现问题解决成果。只有对多边形本质特征以及各种图形之间内在关联深刻把握，学生才会灵活运用转化策略解决问题，实现数学经验再生。当学生再生推导多边形的面积公式时，都是采用转化的数学经验；学生再生不同多边形的面积计算公式可以转化为一个通用面积计算公式的数学经验。学生从“组合”的视角沟通梯形与长方形、三角形、平行四边形面积计算公式之间的意义联系，感悟图形面积计算公式之间的关联，生成完善的推理意识。师生强调转化数学思想的体会运用，注重数学经验再生，为推理意识的发展做好了准备。

三、假设形成中的数学经验再生

假设形成是推理意识的发展阶段，即对规则进行调整修正，沟通差异，通过不断反馈而找到猜想。猜想是学生在学习过程中依据已有知识经验和现有情境信息，运用联想和转化方式，充分发挥想象和创造,对所要解决的问题提出初步设想。猜想建立在科学理论和客观事实的逻辑推理上，对解决问题的方案提供了预测方向,为信息分析和运用勾勒了清晰模式。学生不断选择、反思、完善，论证推理猜想过程，就是针对数学现实问题，科学地选取探究方法，优化再生数学经验，从而实现推理意识发展过程。教师需要给学生提供调动已有知识经验进行验证的机会，让学生经历发现问题、寻找支持、证据反驳、修改观点等推理过程，在猜想过程中掌握数学对象的模式关系。

在学完乘法分配律后，教师引导学生思考除法中是否存在分配律。

学生1：36÷3+36÷9中，采用36÷3+36÷9计算，结果是16,采用36÷(3+9)计算，结果是3，除法中不存在分配律。

学生2：42÷7+14÷7=(42+14)÷7=56÷7=8中，无论42÷7+14÷7，还是(42+14)÷7，结果都是8，除法中存在分配律。

教师引导：同样是除法算式，为什么出现不同的猜想？

学生3：除数不同，平均分的份数就不同，先分后合或先合后分，结果不同；除数相同，平均分的份数就相同，先分后合或先合后分，结果相同。

学生4：除法中要区分被除数和除数是否相同，以及先分后合还是先合后分，来灵活选择分配律。

在除法里是否存在分配律的探究中，学生通过调动自身已有知识经验，敏锐地形成除法中存在两种不同的猜想，为推理的开展指明了方向。除法分配律猜想的形成，拓展了分配律原有的范围，将互为逆运算关系的乘法与除法进行相互转化，实现运算性质有效传递。针对除法分配律真假两个命题，学生不断辩证理解算理。假设形成时，学生再讨论除法中除数不同时，先合后分和先分后合结果完全不同的数学经验。推理验证时，学生再讨论某种条件下除法与乘法可以相互转化的数学经验。猜想可能正确、错误、零散、模糊，但也是推理意识发展必不可少环节。学生能够在体验推理猜想严密性中感受猜想可靠，再生数学经验，逐步发展推理意识。

四、模式抽象中的数学经验再生

模式抽象是推理意识的完善阶段，是把所有经验事例与想象事例当作一个整体加以考查，舍弃那些不可重叠的可变部分，而保留那些可重叠的不变部分，以形成“全局性假设”的认知过程。[6]随着被感知的数学信息量增加，数学对象普适性规律逐渐显现，从而形成以抽象结构为特征的量化模式。如果学生学会应用普适性规律对数学问题进行逻辑验证，感受到推理的条理与严谨，有效呈现数学模式，这表明学生在具体应用中感受到逻辑推理的价值，真正形成了推理意识。学生主动将外在数学信息组成量化模式，再生全局性假设的模式抽象经验。在模式抽象和再生经验相辅相成过程中，推理意识得到全局性发展。

在教学苏教版小学五年级下册“2、3、5倍数的特征”时，师生探讨2、3、5的倍数是否具有相同特征。

学生1：2和5的倍数根据个位上的数进行判断，3的倍数根据各数位上的数字之和进行判断，2、3、5的倍数特征不具有一致性。

教师引导：各数位上的数字之和指的是什么意义？

学生2：如281=200+80+1=2×100+8×10+1=2×(99+1)+8×(9+1)+1=2×99+2+8×9+8+1=(2×99+8×9)+(2+8+1)，(2+8+1)中的2、8、1是各数位上表示的数除以3之后的余数。各数位上的数字之和，其实指的是各数位上表示的数除以3之后的余数之和。

学生3：2和5的倍数也可以根据余数之和的方法来进行判断。如281=200+80+1=2×100+8×10+1=2×100+0+8×10+0+1=(2×100+8×10)+(0+0+1)，0、0、1是各数位上表示的数除以2或5之后的余数。

学生4：一个多位数除以2或5的余数都是0，采用余数之和方法计算时，0忽略不计，只需判断个位上的数即可。2、3、5的倍数具有相同“看余数之和”特征。

2、5和3的倍数需分别根据个位上的数和各数位上的数字之和进行判断，是学生对倍数特征的感性认识。这种感性认识是局部的，只是根据倍数特征一致性关系的局部印象形成的，没有在精确区分倍数结构性特征基础上进行。学生根据“位值制”，依据运算定律把多位数进行转化和改写，经历了2、3、5的倍数特征需看各数位余数之和的推理过程，抽象了不同的倍数普适性数学模式，再生倍数特征本质是各数位上表示的数除以这个数之后的“余数之和”数学经验，形成了关于倍数知识全局性认识。

学生能够在体验模式抽象严密性中，合理运用“位值制”原理，逐步完善推理意识。在这个过程中，学生再从具体表象中抽象出结构模式的数学经验，在思维深度上发展逻辑推理素养。

数学推理意识的形成是一个长期过程，教师需要在实际教学过程中，引导学生经历数值定向、模式识别、假设形成和模式抽象四个认知过程，依次再生观察操作、组合概括、转化假设和抽象结构数学经验。学生在由已知向未知的推理过程中，形成科学的推理品质，再生运用推理解决问题的经验，发展逻辑推理核心素养。