新学情下数学文化在高中数学课堂教学中的五维渗透模式*

广西壮族自治区柳州市柳江中学(545100)杨 艺

2021年秋季学期,广西启动实施普通高中新课程、新教材和普通高等学校考试招生制度综合改革,无论是课程、教材,还是高考模式都将展现新的面貌.新一轮高考改革的一个重要特征就是不分文理科,改革后的高考数学试卷也将不分文理科,所有考生都使用相同的试卷.在当前新高考背景下,虽然降低了数学考查难度,但同时却增加了数学核心素养的考查.

1 新形势下的新学情分析

在新形势下,高中生学习数学面临着诸多新问题,教师要充分关注由此产生的新学情.首先, 新教材知识内容的“量”上急剧增加,学生单位时间内接受知识信息的量增多,辅助练习、消化的时间相对减少.其次,大多数学生学习数学不懂知识的生成过程,单纯依靠大量的习题练习保证对知识的熟悉,只关注自己是否会利用解题模板解题.这种依靠“题海战术”的数学学习是零散的、不系统的、效率低下的,与新课程标准强调的数学核心素养背道而驰.再次,学生长期机械的解题训练已经形成解题的思维定势,数学逻辑推理能力较差;数学抽象与数学建模能力较弱.除此之外,国家“双减”政策的实施,虽然减轻了学生在课业上的学习负担,但是多数学生没能提高单位时间的学习效率,导致学习效果较差.

2 数学文化融入高中数学课堂教学的意义

数学文化包含数学的思想、精神、方法、观点、语言以及它们的形成和发展.同时,数学文化还包含数学家、数学史、数学美和数学教育等[1].普通高中数学课程标准中明确提出高中数学教学中应体现出数学的文化价值, 新课程理念下,以数学的文化价值为主题;以展示数学创造的结果与数学发现的过程为主渠道;以全面培养学生数学科学文化素养为主旨[2].数学文化是落实数学核心素养的有效载体,是激发学生数学学习兴趣的有效切入点,高中数学课堂教学应充分挖掘数学文化的渗透模式,充分发挥数学文化的育人价值,在潜移默化中提高学生的数学核心素养.

3 数学文化的“五维”渗透模式

在新学情背景下,笔者从大单元教学课型设计的角度对数学文化在高中数学课堂教学中的渗透模式进行探索,形成“五维”渗透模式.接下来,笔者将结合2019年新教材高中数学(人教A 版)第四章必修第一册“指数函数与对数函数”的不同课型从因文设景、借文明理、依文达思、引文提升、利文拓展五个维度浅谈数学文化的渗透模式.

3.1 单元起始课,因文设景

HPM 视角下, 数学知识的发生和发展过程都蕴藏着深厚的数学文化底蕴,揭示着数学概念、数学思想和数学方法的起源与发展,数学家追求真理和不断探索的精神,数学对政治、经济、生活的重要影响等.笔者认为,单元起始课基于HPM 视角的数学文化创设学习情景, 遵循“数学知识的背景——数学知识的生成——数学知识的呈现——数学知识的应用”的数学文化渗透路径,更有利于学生对本章节的数学知识有整体认识,激发学生学习兴趣,调动学生的学习积极性,主动探索新知识.大单元教学设计理念下,单元起始课就是要通过HPM 视角向学生揭示大背景、提出大问题、构建大框架、明确大方向,为本单元后继学习形成目标导向、生成探究路径、明确研究方法、激活学习动力.

案例1从数学文化的角度,教师可以基于HPM 视角在单元起始课中创设如下的数学学习情景.

15 世纪,数学著作《算学三部》中有这样的一组双数列:

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 … 1048576

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 20

它们之间的对应关系: 上一列数的“×,÷”运算对应下一列数的“+,-”运算,如上一列数4×64 = 256,对应下一列数2+6=8.到了16 世纪,施蒂费尔(德国,数学家)对上一列数增加推断出乘方和开方运算法则.但当时还没有指数概念,单靠这种对应关系面对大数的运算显得束手无策,很不实用.与此同时,各个领域的科学都在快速发展,需要对计算提出更快的速度、更高的准确度.1614年,一部数学著作《奇妙的对数说明书》(苏格兰,纳皮尔)横空出世,极大提高了大数的运算效率,也标志着对数概念的诞生.不久,布里格斯(英国,数学家)在此基础上进行改进,使1 的对数为0,10的对数为1 等,使对数的运算更加简便实用,整理出版了常用对数表.到17 世纪,笛卡儿给出了指数概念,人们开始用幂指数来定义对数.之后,真正揭示指数式与对数式互化关系的是欧拉,也是欧拉创用的.对数被称为是17 世纪最重要的方法之一,引发了计算上的革命,拉普拉斯(法国,数学家)评价道:“对数解决了大数计算问题,延长了天文学家的寿命[3].”

基于HPM 视角创设上述情景,向学生揭示了对本单元的知识发生、发展过程, 激发学生的求知欲, 勾勒了数学史上相关内容的探究过程.在课堂教学中,教师引导学生构建“掌握指数幂和对数的运算——回顾探究函数概念与性质的一般方法——借鉴研究幂函数的过程与方法——学习指数函数和对数函数——探索用二分法求方程的近似解——实际应用构建数学建模”的学习框架.进而,在课堂教学中生成“背景——类比——迁移——应用”的探究路径.通过建立指数函数、对数函数模型解决简单的实际问题,以培养数学抽象、数学建模、数学运算等数学核心素养为导向,进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.

3.2 单元新授课,借文明理

案例2单元新授课从数学文化的角度,构建单元新授课模式,深刻揭示研究函数及其性质的一般数学思想和方法.

图1 基于数学文化的单元新授课模式

单元新授课是落实单元核心知识的关键课型,也是落实数学核心素养的关键落脚点.数学核心知识的生成有着严密的逻辑推理论证,具有数学思想和数学方法的支撑.在高中数学课堂教学中,教师应强化学生数学核心知识的主动探究过程,让学生在自我探索和合作探究的过程中,加深对数学语言、数学思想、数学方法、数学精神等数学文化的体悟.学生借助数学文化的体悟过程,明白数学逻辑推理的严密性和理性思维的魅力.将数学文化融入高中数学课堂教学中,学生在单元新授课不仅掌握新知识,还聚焦数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养能力的提升,更能促使学生学会用理性思维解决数学问题,形成探究学习的能力.

3.3 单元巩固课,依文达思

案例3单元巩固课教师分析学生的反馈性信息,在课堂教学中从不同类型的反馈中渗透数学文化,达成反思性学习效果.

图2 基于数学文化的单元巩固课模式

在数学学习过程中,学生数学反思能力的培养有利于他们深刻领悟数学思想方法和其中蕴含的数学本质,这一能力是学生适应未来社会发展并终身受益的重要能力[4].单元巩固课融合传统的习题课与讲评课为一体,在学生作业、习题、测试等反馈性信息形成后,教师有针对性的进行巩固性教学设计,依据反馈信息有针对性地进行反思性教学以达到单元知识整体巩固的作用.数学文化在单元巩固课的呈现角度可以从“文字语言——数学符号语言——数学图形言语”的转化中挖掘,也可以从“数学理论题——数学应用题——学科融合题”的角度赏析,还可以从“数学母题(中外名题)——数学原题——数学变式题——数学探究题”的数学题型演变为延伸等.在课堂教学中,教师引导学生深入挖掘错题背后蕴含的数学思维过程、反思思维误区,从而提升思维水平、发展数学核心素养.依靠数学文化在单元巩固课中的渗透,提高学生数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养,促进学生达成“思误、思辨、思源、思变”的反思性学习能力,从而巩固单元知识点的学习.

3.4 单元梳理课,引文提升

案例4单元梳理课引用数学史为线索,引导学生构建本单元的知识网络,参考如下思维导图展开单元梳理课的教学活动.

图3 基于数学文化的单元梳理课模式

单元梳理课是高中数学课堂教学的重要环节.在此之前,学生对本单元的核心知识与重点方法已有了较为清晰的认识,课堂教学中教师需要进一步的引导学生梳理本单元的知识结构、归纳思想方法,寻找知识系统的逻辑起点及逻辑主线.在单元梳理过程中,引用数学史、数学图形、数学符号、数学思想、数学方法等数学文化载体,构建大单元模块思维导图,实现知识的系统化、结构化,加深对单元知识内在逻辑联系的认识,进而提升学生的思维能力与学习质量.

3.5 单元探究课,利文拓展

在新高考背景下,高中数学教学应注重学科融合,体现数学与时代热点的联系,呈现数学与现实生活的关联,反映数学中工具理性与价值理性的交织,架起数学思想和方法与实际问题的桥梁.在单元探究课中,教师可以利用数学文化的外延引导学生进行项目式探究学习.利用数学与生活、数学与其他领域的融合等具有数学文化背景的问题为驱动,以学生为主体设计开发探究性学习项目,促进理论与实践一体化,实现学生由知识本位向素养本位的转变.利用渗透数学文化的单元探究课,进一步拓展学生的知识面,培养学生用数学的眼光看世界,提升学生的数学抽象能力、数据分析能力、数学建模能力.

案例5单元探究课结合时代热点,以数学著名理论为基础渗透数学文化,培养学生的数学核心素养,设计项目式单元探究课总体思路如下.

项目探究主题内容2021年5月,“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平先生辞世,他的功绩将永远被人们铭记: 在他和几代科学家的共同努力下,中国用全世界7%的耕地,养活了全世界22%的人口.目前,我国年人均粮食占有量已经稳定在470 千克以上,远高于国际公认的400 千克粮食安全线.请同学们查阅相关资料,探究假如没有杂交水稻的推广,没有合理的人口、土地政策,仅以新中国成立时的自然条件为前提,我国年人均粮食占有量会如何变化?

项目探究预备知识根据英国经济学家马尔萨斯《人口论》的观点“人口呈几何级数增长,而生活资料呈直线型增长”.

项目探究数据收集根据马尔萨斯的理论,自然状态下人口增长模型为y = y0ert(其中t 表示经过的时间,y0表示t = 0 时的人口数,r 表示人口的年平均增长率,y 表示t年后的人口数,单位: 万人).根据国家统计局网站的数据,我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196 万和67207万.根据马尔萨斯的理论,把自然状态下粮食增长模型近似看作直线型模型,通过查阅我国1950年末至1959年末粮食产量,得到粮食增长模型近似为y = 600t+13600(其中t 表示经过的时间,y 表示第t年的粮食年产量,单位: 万吨).

项目探究数据处理根据收集的数据, 以1950年末的数据作为t = 0 时的人口数, 即y0= 55196, 则67207=55196e9r,ln 67207=ln(55196e9r)=ln 55196+9r,故9r =ln 67207-ln 55196 ≈9×0.02188,所以r =0.02188,得出人口增长模型为y =55196e0.02188t≈55196×1.022t.

项目探究模型建立表示从1950年末开始第t年的年人均粮食占有量,单位: 吨/人.

项目探究模型应用

应用1研究上述年人均粮食占有量模型的变化趋势.

研究过程假设f(k)＜f(k-1),即化简得600k + 13600 ＜ (600k +13000)er, 即600k + 13600 ＜(600k + 13000)× 1.022, 解得0.132k ＞3.14,k ＞23.8,因为k 为正整数,所以正整数k的最小值为24.

研究结果从1950年末开始前,在自然状态下,前23年我国年人均粮食占有量逐年增加,到第24年开始我国年人均粮食占有量将逐年减少.

应用2研究在自然状态下,我国年人均粮食占有量是否能达到国际公认的400 千克粮食安全线.

研究过程在自然状态下,我国年人均粮食占有量最大值为

即0.301×1000=301 ＜400.

研究结果在自然状态下按此模型,我国年人均粮食占有量不能达到国际公认的400 千克粮食安全线.

4 结束语

在新学情背景下,数学文化在高中数学课堂中的渗透是必然趋势,教师要在课堂教学中让学生在学习数学的过程中真正产生文化共鸣,提高数学文化素养.教师通过对单元知识的整合、重构,在不同课型中采用因文设景、借文明理、依文达思、引文提升、利文拓展等模式渗透数学文化,让学生了解数学知识的来龙去脉,认真反思自己的学习方法、态度和能力,让数学课堂处处充满数学文化的气息.从而,让学生真正地体会数学思想方法、数学史、数学语言、数学美的数学文化,进而提高学生的数学核心素养.