因素反向变动时的因素分析

郝大明

（国新证券股份有限公司，北京 100020）

一、引言

一种现象的变化，往往取决于若干因素。确定各因素在数量上的变化对总量因素变化的影响程度，是因素分析法的任务，也是统计分析的任务之一。

20世纪50年代和80年代，中国统计学界曾围绕共变效应的分解分配问题展开热烈讨论。刘都庆（1958）指出：“目前统计学界所争论的同度量因素的确定与指数体系的选择等问题，归根到底实质上就是此种共同影响（包括与其相适应的绝对值）的处理问题。”非常遗憾，60多年过去了，学术界始终没有就共变效应的分解分配问题达成一致，与此相关的因素分析方法也不了了之。

关于共变效应的分解分配，有学者提出共变效应平均分配的思路，显然这有失公平。杨启梓（1983）认为共变效应不能根据其形成原因再进行分解。刘都庆（1958）提出按因素纯粹影响的绝对值比例分解共变效应，但这种方法仅适用于因素同向变动的情况，因素反向变动时并不成立。徐国祥（1985）提出按个体指数与总体指数的对数比例分解共变效应的微积分因素分析法，陈善林和徐国祥（1990）提出按单纯因素影响的绝对值比例分解共变效应的绝对值比例因素分析法，但这两种方法均是标准的按因素影响比例分解共变效应的变形，不仅不及后者准确，还因形式复杂使其应用价值长期无法发挥出来。

本文将提出因素反向变动时共变效应归并的方法，并通过因素分析的典型例子，指出这一方法的科学性、合理性、准确性。

二、按因素影响分解共变效应

按因素影响分解共变效应，就是按共变效应的形成原因，将共变效应分解并分配到各因素影响中去。①这里设计为2个因素函数的乘积形式，主要考虑简捷性和适用性。一是因素反向变动的考虑，取最少因素个数；二是共变效应考虑，取乘积形式，更复杂的函数形式最终可化为乘积形式；三是如果有2个以上因素结合在一个指标中同时发生作用，首先可以结合指标的内容，将指标区分为2个方面进行分析，然后对2个方面再进行个别分析，根据其含义进一步分析其内部关系，如此顺序扩展。参见余绪缨和陈仁栋1955年发表的《关于连锁替代法在分析工作中的应用问题》一文。

因素x和因素y对z的共变效应，共变效应是各因素指标增量的乘积之和。

（一）因素同向变动时共变效应的分解分配

当f（x），f（y）同为增长，即X·＞0，Y·＞0时，按因素影响比例分解并归并共变效应比较合理。

图1 两因素增量分析（同时增长）

影响的比例或因素变化率的比例，对共变效应（x1-x0）（y1-y0）（CHFK）进行分解。

（二）因素反向变动时共变效应的分解分配

图2 两因素增量分析（X.＞0且Y.＜0）

以图示法解释因素反向变动时，共变效应归于正变化因素影响。

当因素x增长，因素y减少，有两种变化过程。一是如图3所示，因素y先减少、因素x后增长的情况，因素y减少的影响是x0（y1-y0），因素x增长的影响是（x1-x0）y1，整个过程与共变效应无关。

图3 两因素增量分析（因素y先减少，因素x后增长）

二是如图4所示，因素x先增长、因素y后减少的情况。这种情况下，单纯因素x增长的影响是（x1-x0）y0，单纯因素y减少的影响是x0（y1-y0）。

图4 两因素增量分析（因素x先增长，因素y后减少）

比较上述两种变化，虽过程不同，但结果相同，即因素x增长的总影响是单纯因素x增长的影响加上因素 x 与因素 y 的共变效应（x1-x0）y1=（x1-x0）y0+（x1-x0）（y1-y0），因素y减少的总影响与单纯因素y减少的影响均是x0（y1-y0）。

三、按因素影响分解分配共变效应进行因素分析举例

按因素影响分解分配共变效应的方法，最直接的应用是进行因素分析，即将分解后的共变效应分配到各因素影响中，这将从根本上保证因素分析的准确性。

这里，举陈善林和徐国祥（1990）的例子如下：假定 x0=1，x1=4，y0=4，y1=2，如图 5 所示，求因素 x和因素y变动对总体变动的影响。

图5 两因素增量分析（反向变动）

（一）按因素影响分解分配共变效应方法的计算过程

绝对数分析。如图5，原面积x0y0为8，现面积x1y1为8。

单纯因素 x变动的影响值为（x1-x0）y0=（4-2）×4=8，即右边2个正方形面积之和。

单纯因素y变动的影响值为x0（y1-y0）=2×（2-4）=-4，即左上角1个正方形面积。

共变效应（x1-x0）（y1-y0）=（4-2）×（2-4）=-4，即右上角1个正方形面积。

因素x变动的总影响值等于单纯因素x变动的影响值（右边2个正方形面积8）与共变效应（右上角1个正方形面积-4）之和（值为4），实际只有右下角1个正方形面积。

因素y变动的总影响值与单纯因素y变动的影响值相等，为左上角一个正方形面积（值为-4）。

共变效应为X.Y.=1×（-0.5）=-0.5（或 -50%）。

因为X.＞0，共变效应全部归因素x变动的影响，因素 x的影响为X.+X.Y.=1+（-0.5）=0.5（或 50%）。

因素y的影响仍为Y.=-0.5=-50%。

（二）绝对值比例因素分析法的计算过程

下面仍以图5的例子，严格按照陈善林和徐国祥（1990）的以绝对值比例因素分析法计算，讨论这一方法的准确性。

影响值：K2=x0y1-x0y0=2× 2-2× 4=-4

（4）共变效应的影响率：e=k-（k1+k2）=0-（1-0.5）=-0.5

影响值：E=K-（K1+K2）=0-（8-4）=-4

比较以上2种方法，很明显，绝对值比例因素分析法将本来应该归并到一种因素的共变效应，按纯粹影响的绝对值比例分解后分配到了两种因素中，由此产生了较大误差。

（三）微积分因素分析法的计算过程

徐国祥（1985）提出按个体指数与总体指数的对数比例分解分配共变效应，按照这一方法，陈善林和徐国祥（1990）提出此例的解法如下：

比较第2种和第3种方法，因素反向变动时，徐国祥（1985）提出的微积分因素分析法，实际上是按个体指数的对数比例将共变效应分解后分配给了两种因素，使计算结果出现较大误差①徐国祥（1985）提出的微积分因素分析法，当因素同向变动时，除了两个因素变化率相同的情况外，仍不及按因素影响比例分解分配共变效应准确，因为只有在非常小的情况下才成立，但这终究还是近似。。

比较以上3种方法，当因素反向变动时，第1种方法无疑是正确的，第2种和第3种方法均将本来应该归并到一种因素的共变效应，按纯粹影响的绝对值比例或个体指数的对数比例分解后分配到了两种因素中，由此产生了较大误差。当因素同向变动时，第1种方法是标准的按因素影响比例分解共变效应方法，第2种方法和第3种方法均是第1种方法的变形，第2种方法和第1种方法结果相同，但并无取绝对值的必要，第3种方法除了二种因素变化率相同的情况外，与前两种方法相比存在较大误差。

四、讨论与结论

通过数学推导和图示相结合的方法，发现当因素反向变化时，共变效应归于正变化因素的影响，从而使共变效应的分解分配这一难题得到解决。

对一个已经发生变化的总体，其变动是客观的，对其变动的反映包括数量方面的指数反映和因素影响分析也应当是唯一的。当因素同向变动时，按因素影响比例分解共变效应就合理性和准确性而言是最好的，而当因素反向变动时，共变效应的归属是确定的，因此，按因素影响分解分配共变效应具有科学性、合理性、准确性，从而具备唯一性。应用于因素分析的实证计算充分证明了这一点。◆