一类双曲方程解的空间渐近性态

2022-09-29石金诚

高校应用数学学报A辑 2022年3期

石金诚

(广州华商学院数据科学学院,广东广州 511300)

§1 引言

1856年,Saint-Venant提出了一个著名的在数学和力学上具有广泛应用的原理,称之为Saint-Venant原则.随后Saint-Venant原则成为数学与力学领域最流行的研究内容之一.有关Saint-Venant原则的详细介绍可见文献[1-3].Saint-Venant型定理的一个共同特点是建立解的能量的指数衰减估计,当空间变量由近端向无穷远端移动时,其解的能量呈指数衰减.为了得到Saint-Venant型的解的空间指数衰减,人们总是假设解在无穷远处必须满足一些限制条件,可是,这样的假设在实际应用中并不一定成立,为此,许多学者转向研究Phragm´en-Lindelöf二择一结果.经典的Phragm´en-Lindelöf二择一定理指出: 调和方程的解从圆柱面有限的一端到无穷远处必随距离增长而呈指数增长或指数衰减.在研究Phragm´en-Lindelöf二择一定理时,不需要对解在无穷远处加任何限制条件.Payne等[4]给出了双调和方程在三个不同区域的Phragm´en-Lindelöf二择一结果.对于解的Saint-Venant原则或Phragm´en-Lindelöf 二择一研究目前也取得了一些成果(见[5-9]).已有的文献主要研究椭圆与抛物方程解的空间性态,对双曲方程研究较少.最近,一些新的文献开始研究双曲方程解的时间性态(见[10-13]).

解的“爆破”或“不存在”是偏微分方程一个重要的研究方向,在文献[14-17]中有详细的介绍,但大多数是关于椭圆或抛物方程的爆破研究.他们均是采用能量方法去研究解的爆破现象,得到一些解的爆破结果.特别的,在文献[17]中,Quintalina研究了一类非线性抛物方程解的空间性态,在给定的限制条件下,得到了一个类似于Phragm´en-Lindelöf二择一的结果,该结果表明,解或者在有限空间内爆破,或者解随着空间变量的增长而衰减.受文献[17]的启发,尝试研究双曲方程的解的空间衰减估计与爆破,得到解的类似于Phragm´en-Lindelöf二择一的结果: 解沿着空间趋于无穷远的过程中要么不整体存在,要么整体存在且沿着空间变量的增长而指数衰减.特别指出,国内也有一些学者开始进行解的空间衰减估计或Phragm´en-Lindelöf二择一的研究,文献[18-24]得到一些抛物方程解的空间性质.本文主要研究双曲型方程

的经典解,其中q2=u,iu,i,ρ是一个函数并且γ是一个大于零的常数.考虑半无限带形区域上方程(1)的一个初边值问题,初始条件为

其中R={(x1,x2)|0＜x2＜h,x1＞0}.边界条件为

假设满足(1)的经典解是存在的.其中函数g满足边界条件g(0,t)=g(h,t)=0.为了方便起见,引入符号

对函数ρ,假设存在一个大于零的常数ρM满足

本文讨论了解关于空间的性态,得到一个类似于Phragm´en-Lindelöf二择一的结果.对于解的爆破现象的研究,现有文献主要集中在解的时间爆破,除文献[17] 外,尚未发现有文献研究解的空间爆破.相对于文献[17],由于考虑对象由抛物方程变为双曲方程,如何构造能量函数是本文的关键.如何推导出能量函数所满足的微分不等式以及巧妙求解的方法,是本文最大的特色.本文所得的解的点点估计结果是双曲方程所特有的.

本文采取以下符号约定,˙u表示对u关于时间t求导数.用逗号表示求偏导,用,i表示对xi求偏导数(i=1,2),如:u,i表示.重复指标表示求和,如