结构的力量：观念指向的单元整体教学建构——以小学数学“漫步空间 体积测量”单元学习为例

●董文彬

数学大观念作为数学学习的核心，能够把各种数学理解联系成一个连贯的整体，其本质是结构、联系和迁移。 观念指向下的单元整体教学就是要发挥观念的结构和关联的力量，统整数学内部的核心知识与思想方法，聚焦数学本质、核心素养与关键能力，整体设计与把握单元教学，指向学生数学发展，以最终实现数学立人。 本文以小学数学北师大版五年级下册第四单元“长方体（二）”学习内容为依托，重新确定单元学习主题及具体观念，基于学生学情调研制订学习目标及学习主线，形成单元学习的核心问题及关键子问题， 设计有意义的单元学习活动任务序列，进行素养导向的单元整体教学建构，着力数学学习的深度理解与自主迁移，促进学生的素养发展。

一、单元学习主题与单元具体观念的确定

(一)对度量的再认识

史宁中教授说：“度量是数学的本质， 是人创造出来的认识数学进而认识现实世界的工具。 ” 度量是小学数学课程中的重要核心内容， 包括时间、质量、角度、长度、面积、体积等的度量，其中长度、面积和体积的度量是主体内容（如图1）。 张丹教授指出：“在这部分内容中， 可以体现如下的数学大观念：测量是对现实生活中事物某方面属性大小的刻画；测量的基本方法是统一单位的不断累积， 将多个度量单位组合在一起产生了工具，使得测量更加方便；测量方法和测量单位的选取源于实际生活的需要，以及对测量结果精确程度的需求； 寻找图形要素之间的关系、图形之间的转化、二维与三维的类比等可以帮助人们获得常见图形的公式， 这提供了运用推理产生图形面积公式的角度； 以上过程发展了度量意识、推理能力和直观想象，而测量过程发展了解决问题能力及创新意识。 ”[1]这些对于整体建构“体积测量”单元教学具有很好的指导作用。

图1 小学数学度量主体教学结构（以北师大版教材为例）

(二)单元具体观念

以小学数学北师大版五年级下册第四单元“长方体（二）”内容单元为例。学生在第一学段已经初步识别长方体、正方体，认识了周长、面积等图形核心概念，并已经探究学习了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形这些平面图形面积的测量计算，积累了研究平面图形一维长度、二维面积度量学习的基本方法和活动经验。 在本册第二单元， 学生已经直观地认识了长方体、正方体的特点以及展开图，学习了长方体、正方体的结构特征和表面积的含义及计算。 本单元是在上述学习内容的基础上进行学习的。主要内容包括：认识体积和容积，体积、容积单位的实际意义及换算，长方体、正方体的体积、容积的测量计算方法，探索不规则物体体积的测量方法。依据本单元学习内容， 将单元学习主题重新确定为“漫步空间 体积测量”。

依据数学课程标准与教材对比分析，追问本单元的教育价值，具体化之后可以得到本单元教学的具体观念：测量体积的基本方法是用统一体积单位不断累加，体积单位的小正方体是体积测量的基本工具；公式度量源于工具度量的抽象；度量的原始本质是一维度量，图形体积的度量都可以利用长度而得到；通过体积单位的小正方体的拼摆累积表示已知立体图形，发现立体图形三维空间大小与一维长度之间的对应关系可以帮助我们获得基本立体图形长方体的体积公式；从图形运动的视角，寻找图形要素之间的关系、图形之间的类比迁移等可以帮助获得常见图形的体积公式，这提供了运用推理产生新的图形体积公式的角度。 以上学习过程帮助学生在基于多种操作与空间想象思维活动的基础上积累了研究立体图形体积度量的经验与方法，发展了度量意识、推理能力和直观想象，培养了空间观念以及问题解决和自主学习的能力。

二、基于学情调研诊断学生先期学习经验

为了解学生的单元学习起点、思维结点、学习困难及生长需求，需要基于学情调研对学生的先期学习经验作评估和预判。

比如，对于“体积测量”单元，可以设计有关“体积”和“容积”认识的题目。如你认为什么是体积？ 什么是容积？考查学生对核心概念（测量对象）的理解。可以给出一个由体积单位（比如1 立方厘米）的小正方体累积而成的物体，启发学生获得它的体积，考查学生已有的学习基础。还可以给出一个长方体，鼓励学生想办法得到它的体积， 以评判学生先期的学习经验、学习困难和数学生长需求。

通过对学生的先期前测调研发现，造成学生真正认识体积含义的障碍有两个。一是感受什么是“空间”，这比体积本身更难理解；二是表面积（或占地面积）和质量对体积含义认识的干扰，有近20%的学生明确表示“体积就是表面积（或占地面积）”，同时有34%的学生认为“质量大的物体体积就大”。 可以说“表面积”和“质量”是干扰学生正确建立体积概念最重要的两个因素，教学中不能回避，需层层剥茧。而对于容积，70%的学生举例说明什么是容积时，只举出“杯子装水”的例子，对于生活中形形色色的容器认识不全面；15%的学生认为“容积就是容量”(香港版教材称容积为容量)，30%的学生认为“容积就是一个物体里面所能容纳多少东西”，但对于“东西”的理解又很片面，只理解为液体，而对于固体和看不见摸不着的气体占不占空间认识模糊；10%的学生对“所能容纳”只理解为“装有”而不是“装满”，或者认为“超出容器内部空间的部分”也是容积。 此外，“体积”和“容积”这两个概念有很多相似之处，容易混淆， 学生对两者的区别和联系的认识和体会是理解上的另一重困难。

另外，100%的学生都能正确计数获得由体积单位（比如1 立方厘米）的小正方体累积而成的物体的体积。 但面对长方体的体积时，89.2%的学生知道长方体的体积计算公式，10.8%的学生不知道怎么计算。追访知道公式的学生：为什么长方体的体积是长乘宽乘高？ 83.3%的学生说不清楚， 就学过公式；16.7%的学生认为长乘宽是底面积，乘高就是有多少个底面积。可见，90%的学生知道长方体的体积公式，但是几乎没有学生能正确解释。

由此可见，学生的度量意识比较弱，虽然有过一维长度和二维面积度量的经验，但是不太容易在新的体积度量学习中迁移。 如何帮助学生自觉运用体积单位去度量一个长方体的体积，叩问度量本质，发展度量意识，这一点很重要。 虽然有近90%的学生知道长方体的体积计算公式，且公式也很容易记忆，但是对公式的理解仍然是单元学习的重点和难点。所以， 探索发现或验证长方体的体积计算公式的形成过程，沟通图形体积与图形要素之间的联系，在单元学习中更是尤为关键。

三、确定单元核心学习目标及成果表现

“‘观念统领’ 单元教学的核心目标是意义理解和自主迁移， 包含TUK 三个不同层次的学习目标：需要掌握的知识和技能（知识技能目标， 简称为K目标），依据具体观念设定的意义理解目标（U 目标）和迁移目标（T 目标）。 ”[1]由此，我们制订了“体积测量”的TUK 目标（如表1）。

表1

需要说明的是，TUK 学习目标的结构只是重点帮助理解本单元将实现什么样的知识意义的深度理解与自主迁移，是帮助学生核心素养落地的重要途径之一。结合本单元的学习内容，还需要制订基于标准、教材分析、学情评估，体现素养导向的更具体的学习目标。比如结合实际问题情境与设计实验活动，形成体积、容积概念的表象，理解体积、容积的意义；认识体积、容积的计量单位（米3、分米3、厘米3、升、毫升），会进行单位之间的换算，感受1 米3、1 分米3、1厘米3以及1 升、1 毫升的实际意义，发展量感；在问题解决的过程中通过设计实验方案，探索某些不规则物体体积测量的方法，积累转化度量的数学活动经验， 在多样化的策略中发展解决问题能力及创新意识，等等。

确定了单元核心学习目标之后，接下来需要着重思考的问题是：学生出现什么样的预期表现或者学习成果可以说明学生的学习达成了学习目标？ 这就需要教师设计表现性学习任务来进行评判。 比如“表1”中的T 目标，不妨给学生一个三棱柱或圆柱，观察学生是否能主动寻找立体图形要素间的关系进行类比，或尝试将此图形转化为长方体来获得体积的计算。

四、设计单元学习思考的核心关键问题

数学学习的最高境界是问题引领下的自主探究学习，观念指向下的单元整体教学就是要引领学生对重要的核心内容进行深度探究。因此，形成单元学习思考的核心关键问题十分重要，它可以聚焦单元具体观念，帮助学生关联先期的学习经验而对问题进行深度探究，以强化对数学学习的深度理解与自主迁移，指向数学核心素养的培育，并促进学生的素养发展。 “表2”是体积测量单元的核心关键问题。

表2 “体积测量”单元学习思考的核心关键问题

需要指出的是， 第三个核心关键问题的设计意在指向数学研究方法的理解与迁移。实际学习中，学生在经历得到长方体的体积的过程中积累了体积度量与问题思考的数学方法与活动经验，通过持续反思与迁移这样的方法与经验，可以自主获得更多立体图形（如其他棱柱体、圆柱）的体积。

五、分解核心关键问题的子问题，形成有意义的单元学习任务序列

在设计了单元学习思考的核心关键问题之后，需要进一步将关键问题分解为系列子问题，并在此基础上设计具有挑战性、充满智慧、有价值、有意义的单元学习任务序列。 以具体观念为指向统领单元整体教学建构，在学习子问题基础上设计学习任务序列时，需要教师深度钻研教材、挖掘教材、审视教材又超越教材，深度理解教材的编排意图，同时又能在基于学情前测调研、基于发展学生数学核心素养的基础上进行科学合理的创造设计。

基于上述思考，我们设计了体积测量单元的学习任务序列（如表3）。

表3 “体积测量”单元学习任务序列设计

上述表2、表3 只呈现了一种单元学习思考的关键问题、学习任务序列，同时还需要增加其他核心课时的学习活动任务。 图2 即是在上述观念指向下以单元典型核心课为例增加设计的单元整体教学结构图。

总之，观念指向的单元整体教学建构是在数学大观念的具化引领下注重结构与关联的力量，帮助学生在对测量对象核心概念本质意义深度理解的基础上，形成体积测量的数学思想方法，并迁移应用到新的问题情境中促进对知识意义的深度理解与自主迁移，以培育学生良好的数学思维品质；基于学习内容的数学本质与数学学科的育人价值，帮助学生从单元之形到素养之魂，最终达成数学核心素养的发展。本文以体积测量单元为例，具体阐述了单元整体教学分析、设计、研发的过程，并根据教学实践的反馈进一步反思和调整，使观念指向的单元整体教学更加有意义、有价值，以最终指向学生数学素养的发展。