数学猜想在高中数学教学中的渗透研究

赵明慧 李文钰

（北华大学数学与统计学院 吉林吉林 132013）

引言

新时代发展的背景下，科技已成为国家综合国力的重要体现。创新型人才越来越被社会所需要，创新是一个国家发展的不竭动力，是民族进步的关键所在，因此重视创新能力的培养尤为重要。数学教育对于创新能力的培养发挥了不可替代的作用。在2017年，《高中数学课程标准》[1]明确提出要注重发展学生的数学素养、数学思想与教学方法，培养学生的创新意识和实践能力。数学猜想是培养学生创新能力的重要途径，因此在高中数学教学中，要重视学生猜想能力的培养。

任樟辉[2]认为数学猜想是学生在掌握数学知识的基础上，解决数学问题时先进行尝试和探索，然后再进行验证的一种思维方法。陈天星[3]认为数学猜想是根据已有的经验以及数学材料，在理性分析的基础上，对未知的事实或者命题做出的猜测性判断。数学猜想打破传统的思维模式，在不知道正确结论的基础上，对原数学题进行猜想，猜想的结果有可能是正确的，也有可能是不正确的，这都需要严谨的证明[4]。但正是这种探究的过程，恰恰能够发展学生的发散思维和创新意识，进而提高学生的创新能力。本文的研究意义就是为数学猜想应用于数学教学提供了理论基础，强调教师要转变教学观念，注重学生的数学猜想过程，发展学生创新思维。

本文在分析数学猜想应用于数学教学的理论基础上运用了文献法，通过分析文献，陈述了数学猜想与数学教学有关的一些理论基础，加深对数学猜想的认识。另外，在分析文献的基础上，对数学教材中的文本内容进行分析，得出猜想应用于教学的一些教学原则，教学实践要符合这些教学原则。最后，本文结合高中数学教材中的有关教学的经典案例，给出了猜想应用于数学教学的途径，将数学猜想与高中教学实践相结合，强调数学思想方法重要性，注重培养学生数学素养。

一、数学猜想应用于数学教学的理论基础

1.发现学习理论

布鲁纳是当代发现学习理论主要提出者。布鲁纳认为发现学习是学生通过自己一系列的分析、探索、实验等发现行为，学习并发现知识的过程。在这个过程中，学生是在教师的引导下，利用教师提供的学习资料，通过思考并经过一系列的探索活动，不断的尝试，进而学习、发现新知识，学生不仅能发展创造性思维，开阔自己的视野，而且通过经历知识的探索过程，提高了自己的动手操作以及创新能力。

2.建构主义学习理论

皮亚杰是建构主义学习理论的最早提出者。他认为建构是指儿童的认知结构通过同化和顺应这两个过程，逐渐建构起来，并逐渐丰富和发展。建构理论学者认为，数学学习是在学生已有数学经验的基础上，进而建构出新经验，最终获得新的知识。这就意味着数学猜想是建立在学生已有数学经验的基础上做出的猜测和假定，猜想一定是有理可依的，并非毫无逻辑可言。

3.波利亚的思想理论

波利亚在代表著作《数学与猜想》[5]中认为在数学教学中，教育的根本目的是教会学生如何思考，因此教师在讲课的过程中，若要教会学生思考，必须鼓励学生猜想，对所讲授的数学知识要有所保留，剩下的知识要靠学生自己探索、尝试、猜测、验证出来。这个过程是教学生思考的过程，恰恰也是教学生猜想的过程。波利亚曾说“让我们猜想吧！”

二、数学猜想应用于数学教学的教学原则

1.数学猜想的应用要符合接受性原则

数学猜想的应用符合接受性原则是指在平时的数学教学中，教师无论是在新课讲授还是习题课上创设问题情境从而引发学生的猜想时，要建立在学生的已有知识经验之上，新知识的学习需以旧知识为着眼点。教师需要做到要充分了解学生的学情，对于学生学过哪些知识要牢记于心，切记不可用学生还没有学过的知识讲授新课或者讲授习题。接受性原则与波利亚的教育理论是相符的，学生对于数学定理、法则的猜想过程要符合最佳动机原则，比如学习的材料要能够激发学生的兴趣，加强和生活的联系；另外学生猜想的内容要符合循序渐进原则，比如说猜想的知识符合学生的认知水平，不能设置太高的难度。

例如，在高中学习函数的基本性质—奇偶性时，教师借助于学生初中学过的二次函数f(x) =x2以及正比例函数g(x) =2x的图像引入本节课的学习，对于学生来说这样的情境引入是可接受的，也是熟悉的，因此也便于引发学生的猜想：二次函数f(x) =x2的图像关于y轴对称，正比例函数g(x) =2x的图像关于原点对称，在这个猜想的基础上，教师进一步引导学生并给出奇、偶函数的概念，从而进入本节课的学习。在这个过程中，分析两个函数图像时，学生需要动手操作，经历列表—描点—连线的探索过程，这一点与布鲁纳的发现学习理论相符，更能够加强学生对于数学概念的理解和记忆，这个发现的过程更是充满了尝试、探索、猜想、试验，利于学生思考，便于发散学生思维。

2.数学猜想的应用要突出问题性原则

数学猜想的应用要突出问题性原则是指教师在引导学生进行新课学习或者是习题讲授时，要根据命题设置一系列有层次的问题，进而引发学生的思考和猜想。这里要指出的是，由于猜想的内容是未知的，而且还没有做出严谨证明，针对教师提出的问题，学生所做出猜测的正确与否是未知的。这是由猜想的特性所决定的，因为猜想是以已有经验为基础，加上一定的依据，对未知领域做出的一个假定，因此猜想的结论是未知的，这就导致了学生有可能做出错误的猜想，需要教师及时地引导，进而得出正确的结论。

比如，在高中学习直线与圆的位置关系时，我们通过太阳与地平线的位置关系引入新课的学习，首先，提出第一个问题“如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那么太阳落山时，太阳和地平线有哪几种位置关系？”。教师通过幻灯片播放太阳落山的这个动态过程，引导学生观察，学生猜想直线与圆总共有相离、相切、相交三种位置关系。教师再提出第二个问题“我们如何来判断直线与圆相离、相切、相交呢？”“那么最终你能否用数学语言来证明呢”。这里的第二个问题引导学生对初中的数学知识进行回顾，判断直线与圆的位置关系有两种，一是通过比较圆心到直线的距离与圆半径的关系，二是通过分析直线与圆交点的个数。第三个问题呢，就是可以引导学生对前面学过的知识经验，借助于平面直角坐标系中具体的圆与直线的方程，将文字语言转换为数学语言，利用“几何法”和“代数法”判断直线与圆的位置关系，并用严谨的数学过程证实学生自己的猜想。

3.数学猜想的应用要符合再创造原则

“再创造”一词最早是由弗赖登塔尔提出的，他认为数学中的“再创造”就是“做数学”的过程。因此数学猜想的应用要符合再创造性原则是指在数学教学中，教师要尽可能地让学生动手操作，合作探索，亲身经历知识的发生与形成过程，教学不仅要重视学习结果，更为重要的是重视探索过程，在这个过程中，学生可以学到不一样的知识，比如打开了学习思路，发展了学生的创新意识，提高了动手操作能力。

数学猜想具有创新性的特点，教师通过创设的问题情境，引导学生对数学问题进行观察、分析、研究、探索、归纳、猜想、验证，最终得出结论，在这一系列的过程里，学生必定会获得新的感悟，这种感悟也许是知识上的，也许是思想上的，无论哪种新的领悟，总归都是一种“再创造”，符合数学猜想创新性的特点。

三、数学猜想应用于教学的途径

1.通过归纳产生数学猜想

归纳是从事物的局部特性或者个别特性出发，根据一定的经验，推测出一类或者同类事物中都具有一样的特性。归纳也被称为归纳推理，分为不完全归纳和完全归纳，其中前者可以产生数学猜想，这种猜想未被证明；而后者可以用来证明数学猜想。这里以高中等比数列通项公式的推导为例来说明以下如何用归纳产生数学猜想。

在等比数列通项公式的教学中，学生在分析等比数列的第2、3、4、5项时，通过观察可以发现他们都可以用首项和公比之积表示，其中首项的系数为1，而每一项所不同的是公比的次数不一样，但是公比的次数比对应项数少1，学生进一步归纳猜想等比数列的第n项也可以写成首项与公比之积，公比的次数比项数n少1，故最终归纳得出等比数列的通项公式为an=a1qn-1，学生是通过观察分析等比数列的前几项发现得出了等比数列从第二项起，每一项和首项以及公比的关系，从而猜想出等比数列的通项公式，猜想的详细步骤如下：

又因为a1=a1q0=a1q1-1，这就是说，当n-1时，上式也成立。因此猜想正确，所以首项是a1，公比是q的等比数列{an}的通项公式为an=a1qn-1。

2.通过直观产生数学猜想

直观主要是指借助于感官尤其是视觉感官对客观事物做出的一些感性认识，因此这种感性认识与生活是密切联系的，直观是属于形象化的，来自生活的一些实例，给人一种熟悉感以及亲切感。由于数学具有抽象的特点，为了更直观形象地讲授数学命题、定理或者习题时，我们往往借助于数学直观的方法。数学直观主要是借助于数学图形、图表、图像、符号或某种模式等来描述、分析、解决数学问题。通过对数学教材的分析，数学直观产生猜想的类型主要分为几何直观产生猜想和模具直观产生猜想两种类型。

（1）几何直观产生猜想

几何直观主要是指通过图形、图表来进行分析和描述问题，利于学生观察，分析已知条件的关系，从而求证或求解未知条件。可以说，几何直观是高中数学解题的主要方法之一，简化了做题思路，使问题直观化，可以将文字或者符号语言转化为图形语言。通过几何直观产生猜想，无疑可以帮助学生解决数学问题。

比如我们在高一数学讲授集合这一章，讲解集合的交集时，我们引入了韦恩图的概念，那么在学习集合之间的补集时，教师引导学生思考：能否用韦恩图画出两个集合之间的补集？学生对这个问题进行猜想，于是动手操作，画出了集合的补集，韦恩图的引入，为集合运算的讲解提供了很不错的思路。

（2）由模具直观产生猜想

模具直观主要是指通过生活中具体的实例，尤其是学生身边熟悉的、能够引起共鸣的生活例子来讲授数学定理、证明数学命题、公式。模具直观明显体现了数学学科的特点—生活化，数学并不是凭空捏造的一门学科，而是来自生活，为生活服务，“盐水模具”是一个很好的实例。

在这个进行模具直观的猜想时，教师可以引导学生进行盐水模具的实验，亲身经历这个猜想探索的过程，这一点与布鲁纳的发现学习理论是极其符合的，经历了不等式证明的探索过程，有利于学生理解这个不等式的意义，掌握地更加牢固。

3.通过类比产生数学猜想

类比是指已知两类对象或问题之间在某些方面具有相同或相似的特征，因此推测他们在其他方面也存在某些相同或相似的特性，是一种思维方法。运用类比进行猜想，能够发散学生的思维，锻炼学生的观察品质，更好地去掌握数学知识。类比猜想与皮亚杰的建构主义理论相对应，猜想不是凭空捏造的，而是在已有经验的基础上进行的，利于知识的迁移。

比如在高中数学人教版必修一学习指数函数的图像和性质时，我们一般通过类比研究幂函数性质的过程和方法，进而对指数函数进行猜想，并研究其图像。这种由前者的学习类比后者的学习，渗透了类比思想，切实地实践了核心素养的培养，加强函数之间的联系，利于知识的迁移。

结语

本文通过对猜想教育理论基础进行的研究，以及对高中数学教材进行的分析，提出了猜想应用于数学教学的教学原则和途径，三种数学教学原则分别是接受性原则、问题性原则、创造性原则，并且猜想主要通过归纳、直观、类比三种途径应用于高中数学教学实践。