Tu方程的留数对称及其精确解①

吕梓帆

西北大学 数学学院，西安 710127

许多物理现象都可以用非线性演化方程来描述，一直以来受到学者的广泛关注和研究． 科学家们运用了各种方法来构造非线性系统的解，并研究发现利用对称方法构造其精确解是一种很有效的方法[1-2]． 文献[3]发现非线性系统Painlevé截断展开的奇异流形的留数是非局域对称，称之为留数对称[3]．目前，很多方程都可以利用上述方法进行对称约化，如Korteweg-de Vries方程、Kadomtsev-Petviashvili方程、Burgers方程、色散长波方程等[4-11]．

本文主要对Tu方程

(1)

1 非局域留数对称及Bäcklund变换

Tu方程(1)的Painlevé截断展开式为

(2)

其中：f表示奇异流形；u0，u1，v0，v1，v2，f都是关于x，t的函数．

将展开式(2)代入到式(1)中，合并f的同次幂，有

(3)

令其各次幂项的系数都为零，可解出系数：

(4)

同时f需要满足下面的Schwarzian形式：

(5)

根据展开式(3)，如果{u，v}是方程(1)的解，则f的零次幂的系数为零的表达式说明{u0，v0}也满足Tu方程(1)，从而得到如下自Bäcklund变换定理[3]：

定理1如果{u，v}是Tu方程(1)的解，则

(6)

就是方程(1)的一个自Bäcklund变换．

我们知道，Schwarzian方程(5)在Möbious变换

的作用下是形式上保持不变的，即方程(5)容许如下的3种对称：

σf=c1，σf=c2f，σf=c3f2

(7)

其中c1，c2，c3为任意常数．特殊地，取a=d=1，b=0，c=-ε，其中ε为任意群参数，则此时Schwarzian方程(5)式的对称为

σf=f2

(8)

根据上述分析，可以得到Tu方程的非自Bäcklund变换定理如下．

定理2如果f是Schwarzian方程(5)的解，则

(9)

是f和Tu方程的解{u0，v0}之间的一个非自Bäcklund变换．

2 留数对称的局域化

Tu方程(1)的对称方程为

(10)

与式(3)中的奇异流形f的留数作比较，可以知道{u1，v1}为Tu方程(1)的解{u0，v0}的留数对称，即：

(11)

其中{u0，v0}和f满足非自Bäcklund变换(7)． 为了方便表示，不失一般性，本节我们用{u，v}代替{u0，v0}进行描述． 为将留数对称进行约化， 首先对其进行局域化， 解决如下初值问题：

(12)

其中ε为群参数．将Tu方程进行适当延拓，引入辅助变量：

g=ft，l=fx，h=gt，k=gx

(13)

则解{u，v}的非局域留数对称(11)可以被局域化，得到延拓系统(1)，(5)，(13)的Lie点对称，即：

(14)

相应的Lie点对称的向量场表达式为

(15)

解如下初值问题：

(16)

可得到下面的对称群变换定理．

(17)

3 CRE可解性及精确解结论

根据CRE方法，Tu方程(1)的解有如下展开式：

(18)

其中w=w(x，t)，R(w)是Riccati方程：

Rw=l0+l1R+l2R2

(19)

的解，l0，l1，l2是任意常数．将表达式(18)和(19)代入方程(1)中，令R(w)的各次幂前面的系数为零，可得

(20)

同时，函数w满足下面方程：

(21)

由此可知，Tu方程(1)是CRE可解的．

根据孤立波解通常可用双曲函数表示的特点，我们可将该方程用tanh函数展开方法求解．取式(19)中l0=1，l1=0，l2=-1，此时Riccati方程的特解为

R(w)=tanh(w)

(22)

那么可以得到

(23)

此时我们称Tu方程是CTE可解的．

为了得到Tu方程的精确解，我们考虑以下两种特殊情形，说明Tu方程的孤立波解的具体形式．

例1考虑w为如下形式：

w=kx+ht+b

(24)

其中k，h，b为任意常数，将其代入式(18)及式(1)中，令R(w)的所有次幂的系数为零，得到代数方程组如下：

(25)

通过解上述方程组，得到一组非平凡解为

(26)

由此得到Tu方程(1)的孤立波解为

(27)

取参数值{k=1，h=3，b=0}，利用MAPLE软件，我们得到孤立波相互作用解的波形图．图1为解u的波形图，是反扭结型孤立波，图2为解v的波形图，是钟型孤立波．

图1 在例1条件下解u的波形图

图2 在例1条件下解v的波形图

例2我们考虑w具有如下形式：

w=k1x+h1t+W(X)，X=k2x+h2t

(28)

其中k1，k2，h1，h2都是任意常数，将式(28)代入式(21)中，我们发现W1=WX满足如下椭圆方程：

(29)

式中

(30)

其中h1，h2，C2，C3为任意常数．则Tu方程的解具有如下形式：

(31)

接下来讨论方程(1)的非线性波之间的相互作用解．取方程(29)的解W为如下形式：

W=sn(X，m)，X=k2x+h2t

(32)

其中sn(X，m)为椭圆函数，联立式(1)，(28)，(32)可解得系数的一组非平凡解为：

(33)

因此方程的解为

(34)

参数取值为{m=0.999，k2=1，h2=3}，利用MAPLE软件，我们得到Tu方程(1)解的波形图，其中： 图3为解u的波形图，描述了椭圆周期波和反扭结型孤立波的相互作用； 图4为解v的波形图，描述了椭圆周期波和钟型孤立波的相互作用．

图3 在例2条件下解u的波形图

图4 在例2条件下解v的波形图

4 结束语

本文首先得到Tu系统的非局域留数对称，并分析其Bäcklund变换，通过引入合适的新变元将其局域化后利用Lie的第一基本定理得到了有限变换定理．之后说明了Tu系统具有CRE可解性，并利用MAPLE软件作图描述Tu系统的不同形状的孤立波和周期波之间的相互作用．