某些子群为CSS-子群的有限群①

刁倩玉， 刘建军

西南大学 数学与统计学院，重庆 400715

本文假设Md(P)中的元为G的CSS-子群或者S-拟正规嵌入子群， 将研究群G的结构．

引理1[6]设U为群G的S-拟正规嵌入子群，H≤G，K为G的正规子群， 则：

(i) 如果U≤H， 那么U为H的S-拟正规嵌入子群；

(ii)UK是G的S-拟正规嵌入子群，且UK/K是G/K的S-拟正规嵌入子群．

引理2[9]设H为群G的CSS-子群， 则：

(i) 如果H≤M≤G， 那么H为M的CSS-子群；

(ii) 设N◁_G且N≤H， 则H是G的CSS-子群当且仅当H/N是G/N的CSS-子群；

(iii) 设π为素数集合，N为G的正规π′-子群， 如果H为G的π-子群， 则HN/N是G/N的CSS-正规子群．

引理3[8]设p为素数，P为G的一个p-子群． 如果P是G的SS-拟正规子群， 则P与G的每个Sylowq-子群可置换， 其中q≠p．

引理4[13]设N为群G的一个正规子群(N≠1)． 如果N∩Φ(G)=1， 则N的Fitting子群F(N)是G的包含在F(N)里的极小正规子群的直积．

定理1设p为|G|的素因子，P为G的Sylowp-子群． 如果G为p-可解群，且某固定的Md(P)中的每个元是G的CSS-子群或S-拟正规嵌入子群， 则G为p-超可解群．

证假设定理1结论不成立，且设G为极小阶反例． 设

Md(P)={P1，…，Pd}

我们按下列步骤证明定理1：

步骤1Op′(G)=1．

假设Op′(G)≠1． 由于POp′(G)/Op′(G)是G/Op′(G)的Sylowp-子群， 并且

POp′(G)/Op′(G)≅P

因此可得

Md(POp′(G)/Op′(G))={P1Op′(G)/Op′(G)，…，PdOp′(G)/Op′(G)}

由引理2和引理1知，PiOp′(G)/Op′(G)(i=1，…，d)是G/Op′(G)的CSS-子群或S-拟正规嵌入子群， 从而G/Op′(G)满足定理条件． 由G的极小性知G/Op′(G)为p-超可解群， 故G为p-超可解群， 矛盾．

步骤2Φ(P)G=1， 从而Op(G)为初等交换群．

假设Φ(P)G≠1， 则

Md(P/Φ(P)G)={P1/Φ(P)G，…，Pd/Φ(P)G}

由引理2和引理1知，Pi/Φ(P)G(i=1，…，d)是G/Φ(P)G的CSS-子群或S-拟正规嵌入子群． 从而G/Φ(P)G满足定理条件， 由G的极小性知G/Φ(P)G为p-超可解群． 故G/Φ(G)为p-超可解群， 从而G为p-超可解群， 矛盾．

步骤3 所有包含在Op(G)中的G的极小正规子群都是p阶循环群．

由步骤1及G为p-可解群知Op(G)>1． 任取G的极小正规子群N且N≤Op(G)． 如果N≤Φ(P)， 则由步骤2可知N≤Φ(P)=1， 矛盾． 所以N≤/Φ(P)． 不妨设N≤/P1∈Md(P)． 令N1=N∩P1， 则

|N∶N1|=|N∶N∩P1|=|NP1∶P1|=p

根据假设，P1为G的CSS-子群或S-拟正规嵌入子群． 我们断言N是p阶循环群．

情形1 若P1是G的CSS-子群， 则存在G的正规子群K， 使得G=P1K，且P1∩K是G的SS-拟正规子群． 由N的极小性知N∩K=1，N．

如果N∩K=1， 则NK/K是G/K的极小正规子群． 由于

G/K=P1K/K≅P1/P1∩K

为p-群， 于是N≅NK/K为p阶循环群．

如果N∩K=N， 即N≤K， 则

P∩K=NP1∩K=N(P1∩K)

是K的Sylowp-子群． 令Kq为K的Sylowq-子群， 其中q≠p， 则Kq也是G的Sylowq-子群． 由引理3知

(P1∩K)Kq=Kq(P1∩K)≤G

于是

N1=N∩(P1∩K)=N∩(P1∩K)Kq◁_(P1∩K)Kq

由步骤2知，N为交换群， 故N1◁_N． 因此

N1◁_〈N，(P1∩K)Kq：q∈π(G)，q≠p〉=K

易知

N1=N∩P1◁_P1

所以

N1◁_P1K=G

由N的极小性知N1=1，且N为p阶循环群．

情形2 若P1是G的S-拟正规嵌入子群， 则存在G的S-拟正规子群H， 使得P1是H的Sylowp-子群． 于是对任一Q∈Sylq(G)， 其中q≠p， 有HQ=QH， 即HQ是G的一个子群． 则

N1=N∩P1=N∩HQ◁_HQ

且由步骤2可得N为初等交换群， 从而N1◁_N． 于是

N1◁_〈N，HQ：Q∈Sylq(G)，q≠p〉=G

由N的极小性知N1=1，且N为p阶循环群．

步骤4 极小阶反例不存在．

由步骤1、步骤2及已知可得

CG(Op(G))=Op(G)

如果存在G的极小正规子群N， 使得

N≤Op(G)∩Φ(G)

由步骤2和步骤3可知，N在P中有补． 根据文献[14]的定理17.4， 假设N在G中有补M． 又因N≤Φ(G)， 故G=NM=M， 矛盾． 于是

Op(G)∩Φ(G)=1

再由引理4知

Op(G)=N1×N2×…×Nr

其中Ni为G的极小正规子群，且|Ni|=p(i=1，…，r)． 由G/CG(Ni)≤Aut(Ni)知，G/CG(Ni)为p-超可解群． 故

为p-超可解群， 于是G为p-超可解群， 矛盾．

注1在定理1中， 假设“G是p-可解群” 是必不可少的． 比如， 取G=A5，p=5． 则G的每个Sylow 5-子群的极大子群都是单位元群， 显然是G的CSS-子群，也是S-拟正规嵌入子群． 但是G不是5-超可解群．

推论1设p为|G|的任一素因子，P为G的Sylowp-子群． 如果G为可解群，且某固定的Md(P)中的每个元是G的CSS-子群或S-拟正规嵌入子群， 则G是超可解群．

定理2设p为|G|的素因子且p为奇素数，P为G的Sylowp-子群． 假设NG(P)是p-幂零群且某固定的Md(P)中的每个元是G的CSS-子群或S-拟正规嵌入子群， 则G为p-幂零群．

证假设定理2结论不成立，且设G为极小阶反例． 设

Md(P)={P1，…，Pd}

我们按下列步骤证明该定理：

步骤1Op′(G)=1．

证明同定理1．

步骤2 若P≤H

因为NG(P)是p-幂零群， 且NH(P)≤NG(P)， 所以NH(P)是p-幂零群． 根据引理2和引理1知，Pi(i=1，…，d)是H的CSS-子群或S-拟正规嵌入子群． 即H满足定理2的条件． 由G的极小性知，H是p-幂零群．

步骤3G=PQ， 其中Q为G的Sylowq-子群，q≠p．

如果对P的所有特征子群T，NG(T)都是p-幂零的． 显然P≤NG(T)． 于是

NG(T)=P|×Op′(NG(T))

由T◁_NG(T)知

Op′(NG(T))≤CG(T)

所以NG(T)/CG(T)是p-群． 根据文献[15]知G为p-幂零群， 矛盾． 故存在P的非平凡特征子群T， 使得NG(T)是非p-幂零的． 选取T， 使得T的阶足够大． 从而对于任意满足T

NG(P)≤NG(T)

因为NG(T)是非p-幂零群， 则由步骤2可得，NG(T)=G， 即T◁_G． 于是对于满足

1≠T≤Op(G)

的P的特征子群K，NG(K)都是p-幂零的． 故NG(K)/CG(K)是p-群， 从而NG/Op(G)(K/Op(G))/CG/Op(G)(K/Op(G))也是p-群． 再次根据文献[15]可知，G/Op(G)是p-幂零的， 从而G是p-可解的． 由文献[16]的定理6.3.5知， 对任意q∈π(G)，q≠p， 存在G的Sylowq-子群Q， 使得PQ≤G． 若PQ

Q≤CG(Op(G))

又因G为p-可解群且Op′(G)=1， 于是

CG(Op(G))≤Op(G)

矛盾， 故G=PQ．

步骤4 极小阶反例不存在．

由步骤1和步骤3知Op(G)> 1． 设N为G的任一包含在Op(G)里的极小正规子群． 若N≤Φ(P)， 则N≤Φ(G)． 易证商群G/N满足定理2的条件， 则由G的极小性知，G/N为p-幂零群． 从而G为p-幂零群， 矛盾． 于是N≤/Φ(P)． 不妨设N≤/P1， 即P=NP1． 同定理1可证N为p阶循环群． 所以N在P中有补． 根据文献[14]的定理17.4可知，N在G中有补， 即存在M≤G， 使得G=N×|M． 显然N≤/Φ(G)． 故

Op(G)∩Φ(G)=1

再由引理4知

Op(G)=N1×N2×…×Nr

其中Ni为G的极小正规子群，且

|Ni|=pi=1，…，r

于是

P≤CG(Ni)i=1，…，r

从而

故P=Op(G)， 从而G=NG(P)为p-幂零群， 矛盾．