直线振荡电机的柔性板弹簧性能参数分析

管露菁，刘波，王亚娟，张君安

(西安工业大学机电工程学院，陕西西安 710021)

0 前言

柔性板弹簧对直线振荡电机的推力输出稳定性、整体可靠性和工作寿命等方面有着重要的作用；它具有结构简单、制造容易和性能稳定的优点；与螺旋弹簧相比，它更适用于高频率、高径向刚度和摩擦小的场合[1]。板弹簧受到电磁力的作用，它可以发生一定的轴向位移，同时也能保证它拥有极大的径向刚度[2]。本文作者所研究的板弹簧用于直线振荡电机，其总体结构如图1所示，蓝色部分为板弹簧。板弹簧用于支撑电机动子部件和动力活塞轴，保持运动过程中活塞作高效往复直线运动，板弹簧性能的好坏直接关系到直线振荡电机的运行平稳性和输出效率。所以，针对板弹簧的性能研究有着重要的理论价值和工程价值。

图1 直线振动电机总体结构

MALPANI等[3]采用有限元法分别研究不同蜗旋角和厚度对板弹簧性能的影响，并通过实验进行验证，发现仿真分析有较好的一致性。AMOEDO等[4]研究了不同模型参数对板弹簧性能的影响，并提出新的设计方法展开性能的优化。陈楠等人[5-6]在对国外柔性板弹簧分析的基础上，提出了圆渐开线蜗旋柔性板弹簧的设计方法，并更进一步对板弹簧的性能进行理论分析。李奎等人[7]基于有限元分析的形状优化算法，以最小应力集中系数为优化目标，优化结果与实验结果表明最显著降低板弹簧应力集中系数是外偏型阿基米德封闭曲线。高威利[8]利用有限元分析偏心距对板弹簧应力分布的影响，得到蜗旋臂的偏心布置存在一个最佳值，使得蜗旋臂上的应力能够角均匀分布，从而降低板弹簧的最大应力，提高板弹簧寿命。

本文作者所研究的板弹簧是直线振荡电机的重要弹性支撑部件，在实际工作过程中，电机会产生电磁推力，若板弹簧的疲劳强度，径、轴向刚度，固有频率不能达到要求，活塞轴将不能作高效往复直线运动，所以提高板弹簧的性能是此项工作研究重点。本文作者采用有限元软件对具有不同偏心量、厚度、渐开线终止角和相位差的板弹簧刚度进行了分析，为了提升板弹簧的刚度，确定了板弹簧的优化方案，对优化方案的板弹簧刚度、疲劳强度和固有频率进行了分析，搭建了板弹簧性能试验测试平台，并开展了相关试验验证。

1 板弹簧的刚度理论分析

结合腰鼓型变刚度螺旋弹簧的刚度理论建立板弹簧的刚度理论分析模型。螺旋弹簧在其轴向载荷F作用下变形x如式(1)所示

(1)

式中:D为弹簧中径，mm；d为弹簧钢丝直径，mm；n为弹簧工作圈数；G为弹簧材料的剪切弹簧模量，MPa；F为轴向载荷，N。

因此弹簧刚度C如式(2)所示

(2)

腰鼓型变刚度螺旋弹簧主要是在其他参数不变的情况下，通过改变腰鼓型受力弹簧工作圈数达到变刚度的效果。柔性板弹簧的刚度理论分析模型如图2所示，板弹簧刚度K可以看作是3个空间对称、受力情况相同蜗旋臂组合而成，通常K1=K2=K3。因此，板弹簧的刚度K如式(3)所示

图2 板弹簧刚度组成示意

K=3K1=3K2=3K3

(3)

由于板弹簧蜗旋臂处于同一平面，将板弹簧3个相同蜗旋臂都看作是一个固定的弹簧工作圈数，从腰鼓型变刚度螺旋弹簧的刚度理论分析角度考虑板弹簧的刚度，则认为板弹簧的刚度在一定位移范围内近似为常数。

2 板弹簧的设计参数

根据电机对板弹簧结构尺寸和性能的要求，对板弹簧进行设计时，采用了板弹簧的设计方法[9]。板弹簧设计法已在有关板弹簧研究的诸多文献中被引用，并被证实是一种有效的设计方法，本文作者采用板弹簧设计方法对三槽、偏心型渐开线柔性板弹簧进行设计。板弹簧初步设计参数如表1所示。

表1 板弹簧初步设计参数

直线振荡电机的寿命很大程度上取决于板弹簧，因此板弹簧的疲劳强度设计是关键技术之一。板弹簧设计过程中最大应力小于板弹簧疲劳极限的60%[10]。常见的板弹簧材料有3种，材料特性对比如表2所示。考虑到直线振荡电机工作状态，要求板弹簧具备弹性好、抗导磁性、耐腐蚀性等要求，故选择铍青铜作为板弹簧材料。

表2 板弹簧材料及其性能

利用SolidWorks软件建立板弹簧三维分析模型，采用有限元法计算板弹簧在最大位移时的应力变化，如图3所示。

图3 10 mm位移下板弹簧的应力云图

由图3可知：板弹簧在10 mm位移下所承受的最大应力为189.43 MPa。铍青铜板弹簧的疲劳极限为353 MPa，因为189.43 MPa<353×0.6=211.8 MPa,因此满足板弹簧的疲劳强度设计要求。经有限元分析计算，初始设计板弹簧在满足位移要求下轴向刚度为0.645 N/mm。

3 结构参数对板弹簧刚度的影响分析

板弹簧的径、轴向刚度是影响直线振荡电机运行效率最直接的因素。根据有限元分析法[11]可知，偏心量、厚度、渐开线终止角等结构参数对板弹簧的径、轴向刚度具有影响。

在有限元分析过程中，通过多次改变径向或轴向施加位移，观察板弹簧的径向或轴向力，发现所施加位移与力成正比关系。分析不同偏心量、厚度、渐开线终止角和相位差下各板弹簧的轴向刚度时，在板弹簧中心孔的内表面上对板弹簧施加轴向位移，进行求解，观察不同结构参数下板弹簧的轴向力云图。同理，分析不同结构参数下板弹簧的径向力云图。

3.1 偏心量对板弹簧刚度的影响分析

保持板弹簧的其他参数不变，取偏心量分别为0.5、1、1.5、2、2.5、3、3.5、4 mm的板弹簧进行径、轴向刚度分析。偏心量对轴向刚度与径向刚度的影响如图4所示。

图4 偏心量与板弹簧径、轴向刚度关系曲线

由图4可知：随着偏心量的增大，板弹簧的径、轴向刚度先变大后变小；当偏心量为2 mm时，板弹簧的径、轴向刚度达到最大值。

3.2 厚度对板弹簧刚度的影响分析

保持板弹簧的其他参数不变，取厚度分别为0.4、0.6、0.8、1、1.2 mm的板弹簧进行径、轴向刚度分析。厚度对轴向刚度与径向刚度的影响如图5所示。

图5 厚度与板弹簧径、轴向刚度关系曲线

由图5可知：板弹簧的径、轴向刚度随着厚度的增加而增大。

3.3 渐开线终止角对板弹簧刚度的影响分析

保持板弹簧的其他参数不变，取渐开线终止角分别为540°、558°、576°、594°、612°的板弹簧进行径、轴向刚度分析。渐开线终止角对轴向刚度与径向刚度的影响如图6所示。

图6 渐开线终止角与板弹簧径向刚度关系曲线

由图6可知：板弹簧的径、轴向刚度随着渐开线终止角的增加而减小。

3.4 相位差对板弹簧刚度的影响分析

保持板弹簧其他参数不变，取相位差分别为20°、25°、30°、35°、40°的板弹簧进行径、轴向刚度分析。相位差对轴向刚度与径向刚度的影响如图7所示。

图7 相位差与板弹簧径、轴向刚度关系曲线

由图7可知：板弹簧的径、轴向刚度随着相位差的增加而减小。

根据不同偏心量、厚度、渐开线终止角及相位差的轴向刚度变化量，求解不同结构参数对板弹簧轴向刚度影响的百分比，如图8所示。

图8 结构参数对板弹簧轴向刚度影响的百分比

由图8可知：偏心量对径、轴向刚度影响最小，厚度对径、轴向刚度影响最大。最终确定了板弹簧设计的优化方案，主要参数如表3所示。

表3 板弹簧优化设计参数

有限元分析结果显示:该组优化设计参数下的板弹簧在10 mm位移下所承受的最大应力为197.44 MPa，小于211.8 MPa，因此满足板弹簧的疲劳强度设计要求。在满足位移要求下的轴向刚度达到1.043 N/mm，比初始值0.645 N/mm增加了61.7%。

4 板弹簧的固有频率分析

板弹簧的性能主要表现在疲劳强度、径向刚度、轴向刚度和固有频率等4个方面。通过有限元仿真求板弹簧的固有频率，选择“Model”模态分析，设置材料属性、划分网格、施加约束、定义分析类型后，即可进行求解运算。求解的板弹簧前6 阶固有频率如表4所示。

表4 板弹簧各阶固有频率 单位：Hz

从板弹簧各阶模态的云图中，了解到各阶模态下振型特征，如图9所示。

图9 板弹簧的各阶振型

由图9可知：一阶振型与对板弹簧要求的振动特征相符合，即沿着中心轴做直线振动；当电机工作频率接近二、三阶固有频率时，板弹簧才会有沿着径向振荡的趋势；其他振型对应的固有频率更大，在电机工作中基本不会触发。

由于电机动子组件中板弹簧组中板弹簧是并联在一起的，所以电机动子的总刚度为NK,因此，根据电机动子的工作频率fd，可以求出板弹簧组中板弹簧的数量，如式(4)所示：

(4)

则推导出板弹簧的数量N如式(5)所示：

(5)

式中：K为单个板弹簧刚度，N/mm；md为电机动子质量，kg；m为单个板弹簧的等效质量，kg。

把板弹簧与电机动子、活塞轴组装成电机动子组件，考虑到电机动子组件工作状态可以简化成单自由度受迫阻尼系统，则当组合板弹簧固有频率与电机工作频率相接近时，系统实现共振，在相同的能量输入下，电机动子的振幅将最大，功率消耗最低。

5 板弹簧轴向刚度实验研究

在直线振荡电机中，运动件的运动状态均为直线往复运动。作为往复运动系统的弹性部件，板弹簧的轴向刚度对整个电机的运行平稳性有着很重要的作用。板弹簧的轴向刚度实验方案如图10所示。

图10 轴向刚度实验方案

实验过程中，利用50 N量程的压力传感器(DYLY-102)以及配套XSB2系列数显仪表对优化设计的板弹簧进行了轴向刚度测量[12-13]，测量装置如图11所示。板弹簧通过板弹簧支架固定在实验台上，板弹簧中心孔处为一阶梯顶尖，螺杆与压力传感器相接触，通过数控调节力传感器、螺杆和板弹簧等均处于中轴线上。力的测量精度为0.001 N，轴向进给精度为0.001 mm。针对板弹簧，每进给1 mm测量3组数据，最后选取3组数据的平均值。

图11 轴向刚度测量装置

图12给出了板弹簧的轴向力与轴向位移的实验结果关系曲线，并与有限元分析结果做了比较。可以看出：实验值与计算值整体变化趋势基本相同，且验证板弹簧刚度在一定位移范围内近似为常数，但相比计算值较小，且在位移较小时轴向力变化较慢，刚度较小，当轴向位移增大时，轴向力的实验测量值与理论分析值差值最大在1 N左右。分析原因为在位移比较小时，由于板弹簧与力传感器之间接触不充分，导致力随位移变化较慢，从而弹簧刚度较小。

图12 轴向力与轴向位移关系

6 结论

通过对板弹簧径、轴向刚度，疲劳强度，固有频率进行分析，结合有限元结果，归纳出以下结论：

(1)将柔性板弹簧的刚度仿真结果和实验数据进行对比，二者基本一致，刚度在一定范围内近似为常数，表明理论分析的正确性。

(2)板弹簧的径、轴向刚度都随着偏心量的增加先变大后变小，随着厚度的增加不断变大，随着渐开线终止角和相位差的增加不断变小。从4种不同结构参数对板弹簧刚度影响的百分比可知，板弹簧刚度受厚度影响最大，受偏心量影响最小，为之后准确优化板弹簧刚度提供参考依据。

(3)直线振荡电机板弹簧的性能主要表现在疲劳强度、径向刚度、轴向刚度和固有频率等4个方面，整个板弹簧设计过程符合板弹簧性能设计要求，可较好地表征板弹簧性能特性。