二自由度交错轮组机构运动学分析及样机试验

杨中山，杨银香，王奚，夏显秋，乔国鹏，邵慧，王建民

(北京和利时智能技术有限公司，北京100096)

0 前言

本文作者所研究的二自由度交错轮组机构是一种类并联机构，相对于常规的串联式直角坐标机构，该机构的驱动组件固定于机架，不跟随前置机构运动，因此具备更低的运动惯量和更高的动态响应速度，更适合于应用在对工作节拍要求较高的抓取场景。

早期并联机构的研究主要集中在全自由度机构上，少自由度并联机构由于具有结构简单、制造成本低等优点，逐渐受到重视。有关二自由度和三自由度并联机构的研究可参见文献[3-12]。上述文献所研究的机构主要是由连杆、转动副、移动副连接构成，文中所研究的二自由度交错轮组机构主要采用同步齿形带连接传动，与常规的并联机构相比，该机构具有良好的各向同性性能，无奇异位形。

1 二自由度交错轮组机构简介

二自由度交错轮组机构简图如图1所示。该机构由静轮1、导轮2、动平台3、同步齿形带4、移动副5和6、动轮7、导向杆8、执行末端9组成。其中两个静轮1为同步齿形带轮，通过转动副与机架连接；4个导轮2固定在动平台3上，随动平台3移动；同步齿形带4把所有带轮连接起来，其末端A、B固定于导向杆8的下端；移动副5固定于机架，用于动平台3的支撑导向；移动副6固定于动平台3，用于对导向杆8的支持导向；动轮7为同步齿形带轮，与执行末端9分别连接在导向杆8的上下两端。两个静轮1的尺寸参数完全相同，4个动轮2的尺寸参数完全相同。

该机构具有两个自由度，两个静轮1作为驱动轮，驱动动平台3沿移动副5左右运动以及导向杆8沿移动副6上下运动，从而控制执行末端9在-坐标系下的定位运动。由于驱动轮以及与之连接的驱动电机固定于机架上，不跟随前置机构运动，因此该机构具有较低的运动惯量，适用于节拍要求较高的抓取场景。两个驱动轮的角位移坐标在驱动坐标系-下描述；取执行末端9上某定点代表执行末端位置，其位置坐标在工作坐标系-下描述。取带轮半径为，设两个驱动轮的角位移为、，规定逆时针转动方向为正方向。

图1 二自由度交错轮组机构简图

图2 二自由度交错轮组运动学分析简图

2 二自由度交错轮组机构运动学分析

由于左右两个驱动轮在-坐标空间中各自的运动是相互独立的，根据运动学叠加原理，机构在-坐标空间下的运动结果可以看做由左右两个驱动轮各自的运动经过机构变换后叠加而成。这样，如果两个驱动轮同时转动，所转过角度分别为Δ、Δ，则执行末端在-坐标系下的位置变化量可分以下3步求解:

(1)右侧带轮不动，左侧带轮转过角度Δ

如图2所示，把交错轮组机构分为上下左右4个臂，、、、、、、、分别为交错轮组机构每个臂在水平和竖直方向上的带长，机构运动过程中，交错轮组机构上的同步齿形带的整体长度是固定不变的，变化的只是带长在4个臂上的分配。每个臂两侧的带长是相等的，即有：

(1)

且满足：

(2)

当左侧带轮转过角度Δ，右侧带轮不动时，交错轮组机构的上半部分+++带长的变化量为

Δ(+++)=-Δ·

(3)

由于+=定值，可得+变化量为

Δ(+)=-Δ·

(4)

又因=，可知：

Δ=Δ=-Δ·2

(5)

又由+=+=定值，可得：

Δ=Δ=Δ·2

(6)

当左侧带轮转过角度Δ，右侧带轮不动时，交错轮组机构的+的变化量为

Δ(+)=Δ·

(7)

又因Δ=Δ=Δ·2，=，可知：

Δ=Δ=Δ·2

(8)

又由+=+=定值，可得：

Δ=Δ=-Δ·2

(9)

综上，可得各方向的带长变化量为

(10)

因此，执行末端在-坐标系下的位置变化量为

(11)

(2)左侧带轮不动，右侧带轮转过角度Δ

同(1)中分析计算过程，可得执行末端在-坐标系下的位置变化量为

(12)

(3)执行末端实际位置变化量

执行末端在-坐标系下的实际位置变化量为前两步中位置变化量的叠加

(13)

在选取了输出坐标系-的坐标原点后，上式便可写成如下形式：

(14)

上式即为该机构的位置正解结果。

由位置正解可推得位置逆解结果为

(15)

3 运动学性能评价

对式(14)求导可得机构速度映射模型：

(16)

故机构的速度Jacobian 矩阵为

(17)

以Jacobian 矩阵的条件数作为机构的运动学性能指标，求得该矩阵在二范数下的条件数为

(18)

Jacobian矩阵的条件数越接近于1，机构各向同性、灵活性及力学性能也越好。由于二自由度交错轮组机构Jacobian 矩阵的条件数恒等于1，因此，该机构没有奇异位形，且在工作空间的各个位形均具有良好的各向同性、灵活性和力学性能。

4 样机试验

4.1 控制系统设计

以和利时MC系列运动控制器为基础控制平台，开发二自由度交错轮组机构的控制系统。MC系列运动控制器是和利时自主研发的一款通用型运动控制器，可完成单轴定位运动、多轴同步运动、多轴轨迹插补、运动前瞻、全闭环控制等常见运动控制功能，并具备脉冲、模拟量、EtherCAT总线等多种接口类型。控制器组态编程环境遵循IEC61131-3标准，支持多任务编程，运动控制功能以库指令的方式呈现，用户可在工程程序中调用相关指令，控制器后台的运动控制算法实时内核处理并执行相应的运动控制功能。

将文中的二自由度交错轮组机构运动学正逆解模型添加至MC系列运动控制器的运动控制内核中，以专用运动控制指令的方式提供给用户使用，该指令调用成功后，用户便可在直角坐标系中使用运动控制器的通用运动控制指令(如直线、圆弧插补等)直接控制二自由度交错轮组机构，运动学模型变换部分由控制器底层运动控制算法内核自动完成。

控制系统运行机制如图3所示。

图3 二自由度交错轮组控制系统运行机制

4.2 试验结果

为便于检验控制效果，在二自由度交错轮组机构样机末端设计夹笔机构，可直接绘制出轴插补轨迹，以观察、测量执行结果的正确性。在此基础上，控制样机进行点位运动、直线/圆弧插补几何作图、写字绘画试验，绘图轨迹如图4所示。试验结果验证了文中所建立的二自由度交错轮组机构运动学模型的正确性。

图4 二自由度交错轮组机构样机绘图试验结果

5 结论

本文作者对二自由度交错轮组机构进行了运动学分析建模，并对其进行了运动学性能评价。开发了二自由度交错轮组机构运动学求解模块，添加至和利时MC系列运动控制器底层运动控制算法内核中，用户便可在直角坐标系中对该交错轮组机构进行控制，机构运动学模型变换由控制器底层运动控制算法内核自动完成。在此基础上进行了样机插补绘图试验验证，试验结果证明了所建立模型的正确性。