优化运算策略 减少代数运算

江苏省石庄高级中学

张 进

数学运算是思维能力与运算技能的有机结合，是六大数学学科核心素养之一，更是高考数学考查的四大能力之一，在函数、数列、三角函数、立体几何、解析几何等相关内容中都占据着重要位置.高考数学试题中70%以上的试题都具有一定的运算量，因而，合理研究试题特点、了解算理、改进方法、优化策略，减少高考数学试题的运算是赢得考试成功的一大重要途径.下面结合实例，谈一谈在教学中如何优化解题策略，切实减少代数运算，综合提升复习效益.旨在抛砖引玉.

1 回归本质，直达要害

抓住问题的本质，包括相关问题的概念、定义、公式、公理、定理、几何意义等，抽象出对应问题的本质属性，直接利用相关问题的实质，直达要害，可以大大减少运算量，提升解题效率.

分析：引入两复数的和所对应的第三个复数，在复平面内，回归问题本质，根据复数的几何意义确定平面几何图形的特征，结合菱形的几何性质，以及两复数差所对应的图形元素来确定所求两复数差的模.

图1

点评：根据复数代数运算的几何意义，结合对应平面几何图形的特征，可以快捷破解有关复数的加、减等对应运算问题.结合几何意义，可以有效回归问题本质，挖掘问题内涵，简化运算.

2 数形结合，以图助算

数形结合思想是中学数学最重要的基本思想方法之一，更是历年高考数学考查的重点之一.利用数形结合思想，有效增加解题过程的直观性，直观想象，以图助算，可以大大减少运算量，提升解题效率.

图2

同时切线l的斜率为正数，且小于1，可以直接排除选项B.

故选：D.

点评：直接从熟知的基本曲线图形入手，通过数形结合以及对应选项的特征分析加以排除与选择.利用数形结合直观处理相关问题时，往往图形都是比较熟知且较方便作出的，大致草图偏差只要不太大，就可以直观形象分析，简单快捷.

3 把握性质，合理建构

相关知识的基本性质是对该知识的理解、掌握、综合、应用的深入与拓展，准确把握基本性质，构建合理数学模型与关系，引入相应的参数、变量、模型等，合理建构，直接明确运算目标，可以大大减少运算量，提升解题效率.

例3(2020年高考数学江苏卷第11题)设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列.已知数列{an+bn}的前n项和Sn=n2-n+2n-1(n∈N*)，则d+q的值是______.

分析：正确把握数列的函数性质，结合两特殊数列所对应的和式的函数表达式，构建函数表达式中对应的参数，建立相应的方程，借助系数的对比来确定，进而有效确定数列中公差d与公比q的值.

故填答案：4.

点评：正确把握等差数列与等比数列和式的函数基本性质，其中等差数列的前n项和公式Sn=An2+Bn，等比数列的前n项和公式Sn=C(qn-1)，利用方程的建立与系数的对比，简捷地处理对应的值问题，很大程度上减少代数运算量，优化过程，提升效益.

4 特殊取值，估算取舍

对于一些数学客观题，借助特殊取值，根据特殊值(数或式)这一基本数学模型的选取与构造，可以用来破解参数值、函数值、代数式等的大小比较，以及不等式的求解与判定等问题，可以大大减少运算量，提升解题效率.

例4(2020年高考数学北京卷第6题)已知函数f(x)=2x-x-1，则不等式f(x)>0的解集是( ).

A.(-1，1) B.(-∞，-1)∪(1，+∞)

C.(0，1) D.(-∞，0)∪(1，+∞)

分析：通过选取特殊值，结合函数值的求解与不等式的比较来处理，估算取舍，一步到位，优化过程，减少运算量，简单快捷.

故选：D.

点评：借助特殊取值(数或式)的应用，结合排除法加以估算取舍，在解答一些客观题时，有一定的用武之地，简单易操作，且很大程度上避开了公式的应用和复杂的运算，减少数学运算，快捷准确.只是相应特殊取值(数或式)的选取有一定的技巧和局限性.

5 合情推理，弱化运算

在破解一些相关的数学问题时，借助合情推理，可以在很大程度上优化代数运算的步骤，简化数学运算的过程，弱化数学运算，从而有效减少出错的机会，提升问题的准确率与破解问题的效益.

例5(2020年高考数学全国卷Ⅰ理科第12题)若2a+log2a=4b+2log4b，则( ).

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

分析：根据条件对指数、对数问题进行同底化恒等变形，结合函数的构造以及函数单调性的应用，合情推理，巧妙转化，进而利用函数的单调性、不等式的基本性质等来确定相关参数的大小关系.

解析：由于2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b，构造函数f(x)=2x+log2x，则知函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递增.又因为f(2b)=22b+log2(2b)=22b+log2b+1>22b+log2b=2a+log2a=f(a)，可得a<2b.

故选：B.

点评：合理变形与转化，合情推理论证，借助函数性质来分析与判断参数的大小关系.在解答数学问题中，不能只是埋头苦算，要注意合情推理，增加解答过程的“含理量”，优化过程，减少运算，特别在大小比较以及立体几何与代数推理等问题中有奇效.

高考数学中对数学运算能力的考查是多角度、多方位、多层面的，尤其重视对数学运算算理的考查，很多高考试题需要根据不同的情况加以灵活处理.因而，平时教学学习与解题过程中，一定要注意数学运算的策略与方法，能避免的代数运算就尽量避免，不能避免的代数运算一定要注意运算的合理性、简捷性和准确性，这样才能在高考中优化运算，提升效率，立于不败之地.