铁道车辆车体横向低频异常晃动探究

陈迪来，曹 委，杨 超，何 伟，晏莹晖，晏 月

（1. 上海应用技术大学 轨道交通学院，上海 201418；2. 中国铁路广州局有限公司，广州 510088；3. 复旦大学 工程与应用技术研究院，上海 200433）

某些地铁车辆在运行过程中会出现横向低频异常晃动，这种情况会降低乘客的乘坐舒适性，带来不佳的乘车体验[1]。导致此现象的因素比较多，但其主要因素还是转向架蛇行（同相或反相）振动和车体自身振动的相互作用，该现象也称做这2种振型之间的耦合振动[2]。车体固有频率（如上、下心滚摆、横移和摇头振动频率）几乎不随车辆运行速度的变化而发生改变，且车体振动频率较低，大约在2 Hz以下。而转向架蛇行运动频率却随车辆运行速度的增加而增加，也就是说，车辆运行速度越快，转向架蛇行振动频率也就越高。当某速度范围内，转向架蛇行运动频率与车体振动频率相接近时，就可能发生共振现象。

针对此问题，许多学者进行了大量的研究试验。张洪[3]从模态参数识别角度对客车的异常晃动展开了研究，认为造成该现象的原因是车辆系统中某些参数的阻尼较小。黄彩虹等[4]从对于车体蛇行稳定性的研究测试中，得出轮轨条件和悬挂参数是造成蛇行运动不稳定的主要因素。周劲松等[5]通过搭建数学模型并运用车体模态参数和协方差的方法，对车辆稳定性进行分析，得出二系横向刚度和二系横向阻尼直接影响车辆运行时的平稳性的结论。陈迪来等[6]在搭建某地铁车辆线性模型的基础上再利用模糊教学的欧氏贴进度对不同速度下各振动模态进行识别，当欧氏贴进度判断出2种振型的贴近度为1，则说明2种振型相似，属于同一类振型，因此利用欧氏贴进度可以对有多个自由度的车辆系统进行自动识别和跟踪。陆威宏等[7]运用模糊教学的最大隶属度原则对相似度较高的模态参数进行自动识别并归类，有利于在研究中对模态参数的追踪。李艳[8]通过搭建车辆系统模型并运用敏感性分析法的方式，研究车辆悬挂参数和阻尼对车体运行时的平稳性影响。王贺鹏[9]从模态识别的角度对车辆系统的振动问题进行研究，运用有限元仿真分析法尽量避免车体振型频率和转向架蛇行振型频率发生同步振动。孙善超等[10]建立多体仿真模型，指出轮轨关系不匹配可能导致转向架蛇行阻尼因子太小，造成车辆发生晃车的状况。宗聪聪[11]从车辆系统的强迫振动出发，利用机械振动的同步理论和欧氏贴近度概念判断各振型的相似性，实现对不同振型频率的跟踪与识别。Wnicki[12]通过比较不同踏面等效锥度下的车辆运行平稳性，发现较低的踏面等效锥度更容易造成转向架蛇行的不稳定。Suarez等[13]通过Pareto方法优化了转向架横向阻尼，降低了车辆的横向加速度，结合磨耗车轮和钢轨的特征，通过优化被动阻尼改善了乘客的舒适性。Perzold[14]对比了实际运行中的车辆和试验台上的车辆系统仿真模型，然后研究了不同条件下转向架蛇行振动频率和阻尼比随速度变化的情况。

针对地铁车辆的横向低频异常晃动，本文从模态识别角度出发，根据欧氏贴进度的概念对车辆系统中不同的振动模态进行追踪，得出车辆系统各模态和阻尼比在不同速度下的变化趋势，并分析地铁车辆横向低频异常晃动的原因，再借助通过耦合度的概念来优化车辆系统的悬挂参数，以消除车体横向低频晃动现象。

1 车辆自由振动系统的特征值与特征向量

假设某地铁车辆处于理想状态并且在某速度v下运行，其自由振动线性方程为：

式中：[M]为自由振动系统的质量矩阵；[C]为阻尼矩阵； [K]为刚度矩阵；{q}为广义坐标向量；[Cwr]、[Kwr]表示与轮轨接触参数有关的矩阵。

将式（1）降为一阶常微分方程，得到:

将式（2）代入式（1），将其转化为:

式中：{q}为n维列向量；{y}为{q}的降阶，为2n维列向量；[A]称为系统矩阵，是2n阶方阵。

将式（2）和式（4）代入式（3）中，得：

式（5）是一个齐次线性代数方程组，它有非零的充分必要条件为系数矩阵[[A]-λ[I]]的行列式为零，即：

由式（6）所得到的解λ就是矩阵[A]的特征值，也是系统的特征值。因为矩阵[A]为2n阶方阵，所以可以求得2n个特征值，它们分别为λ1,λ2,···,λ2n。

由式（6）所得到的特征值λ的普遍形式是一对共轭复数：

当特征值共轭时取1个即可。对于每一特征值，其自由振动系统的解的形式如下：

式中：Aj为 振幅，且；αj为衰减系数；βj为模态振动频率（有阻尼频率）；ϕj为相位角，且ϕj=arctan(dj/cj)。

根据衰减系数αj的数值，可将系统状态分为3种情况：

（1）αj＞0，系统的振幅将随时间t的改变而不断增大，系统属于失稳状态。

（2）αj=0，系统的振幅是定值，不随时间t的改变而改变，系统属于临界状态。

（3）αj＜0，系统的振幅将随时间t的改变而连续衰减，系统属于稳定状态。

振动模态的阻尼率可由下式求得：

系统的自振频率（无阻尼频率）的计算方法为

在特定参数下，对矩阵求解其特征值和特征向量时，当特征值的虚部为零时，应该将其舍弃，得到a个b维共轭复数的特征向量：

忽略相位角的超前和滞后，可得

即ψi=[|φi1||φi2|···|φib|]T。

综上所述，在固定速度为v的情况下，表1所示为车辆各模态振型的特征向量。

表1 车辆各模态特征向量Tab. 1 The eigenvectors of various modes of the vehicle

2 车辆系统建模及模态追踪

对一个比较复杂的多自由度系统的研究，一般采用数值计算模拟，也就是把实际的系统简化为抽象的物理模型，并建立相应的数学模型来求解。同理，车辆系统也是一个多自由度系统，共23个自由度，如表2所示。在车体横向低频晃动的分析中，可建立整车多刚体线性化模型。

表2 某地铁车辆系统模型自由度Tab. 2 Degrees of freedom of a subway vehicle system model

对具有多自由度的系统进行动力学求解时，可以使用矩阵组装法。先对惯量、阻尼、刚度较简单的自由度进行组装，再利用相同的方法，对整个车辆系统进行组装。惯量、阻尼、刚度系数矩阵如下所示：

式中：[M]为自由振动系统的质量矩阵；[C]为阻尼矩阵；[K]为刚度矩阵。

在模糊集合中，把相似性较大的子集归为同一个集合。通常，子集之间越相似，它们之间的距离就越近，反之，它们之间的距离就越远。但仅仅依据距离来判断某集合内部的相似程度是不准确的。研究人员在此基础上提出了欧氏贴进度的概念[12]。

假设A、B为2个模糊集合，则欧氏距离为：

式中：n为集合的维数；A={a1,a2,···,an}，ai∈A，ai≥A；B={b1,b2,···,bn}，bi∈B，bi≥B。

数学中，2个值之间的差越小，它们就离的越近，但是，在欧氏距离中恰恰相反，差越大，集合之间越接近，即

式中：N(A,B)为欧氏贴进度，由式（16）可知，N(A,B)越大，集合A，B越接近，N(A,B)越小，说明A、B差异性就越大。

可以用欧氏贴进度来进行模糊识别。以下是表示特征向量的相似度公式:

式中：N_Y为计算出的振型A和B的振幅贴进度；N_ψ为计算出振型A和B的相位角贴进度；α、β分别为振型A和振型B的相似性振幅、相位角所占的权重；N为计算得到2个振型的综合贴进度；ω为振幅在综合贴进度中贡献的比例值。

依据欧氏贴进度的定义，假设Nij中 的第j列的第i个数最大，可以得出参数v1的第i个模态振型与参数v2的第j个模态振型最接近，因此可以判断参数v1的第i个模态振型与参数v2的第j个模态振型相似。

3 车体横向低频晃动原因分析

建立某地铁车辆系统的模型，运用MATLAB软件对车辆各刚体模态进行追踪。仿真速度为1～120 km/h，速度变化幅度不宜过大[6]。转向架蛇行（同相或反相）振动、车体上心滚摆和车体摇头是导致车体横向低频振动的主要因素，实验将从这4种振动模态出发，进行模态追踪分析。利用控制变量法，保持其他参数不变，通过改变踏面等效锥度，观察在不同速度下转向架蛇行和车体振动模态的变化趋势。

如图1～图3所示，车体上心滚摆振型频率和车体摇头频率几乎不随速度的变化而变化。在0.7～0.8 Hz范围内，车体摇头比上心滚摆微大，转向架蛇行（同相或反相）振动频率随速度的增加而增加，几乎呈线性关系；且随着踏面等效锥度的增大，线性关系越明显，振动频率越大，踏面锥度由0.1时的1.9增加到0.3时的4.1。在某一速度范围内，转向架蛇行振动频率（同相或反相）与车体上心滚摆振动和摇头频率相接近或相等时，认为这时2种模态的欧氏贴进度接近于1，从而导致2种模态发生共振并相互作用，造成车体低频异常晃动现象。在图1中，踏面等效锥度为0.1时，转向架蛇行振动与车体振动相互作用的速度范围大，随踏面等效锥度的增加，2种模态振型发生共振时的速度范围减小。等效锥度为0.1时，发生共振的速度为40～70 km/h；等效锥度为0.2时，发生共振的速度为30～40 km/h；等效锥度为0.3时，发生共振的速度为22～30 km/h。发生共振时的速度随踏面等效锥度的增加而降低。不同踏面等效锥度下，各模态阻尼比的图像变化趋势大致相似，车体摇头的阻尼比明显比车体上心滚摆的阻尼比大，且车体摇头阻尼比先变小后增大，车体上心滚摆随速度的变化呈现先增加后减小的趋势，两者最后几乎维持一个值保持不变。当转向架蛇行振动频率与车体频率发生共振现象时，在与之对应的速度范围下，各振动模态的阻尼比出现剧烈的变化趋势。阻尼比出现剧烈变化可能会引起相应的模态振型不稳定，从而造成车辆出现不稳当的振动。分析3种等效锥度下的各振型模态的频率和阻尼比变化曲线图得出，等效锥度不同，其发生共振时的速度范围不同，但发生共振时的频率却几乎相同，都大约为0.8 Hz。

图1 踏面等效锥度为0.1的频率、阻尼比速度图像Fig. 1 The frequency and damping ratio speed image of the tread equivalent taper of 0.1

图3 踏面等效锥度为0.3的频率、阻尼比速度图像Fig. 3 The frequency and damping ratio speed image of the tread equivalent taper of 0.3

为了验证前面的模态追踪的准确性，选取踏面等效锥度为0.2，速度分别为70和30 km/h时，车体上心滚摆和转向架蛇行（同相）振动模态的车辆系统23各自由度的振幅变化进行研究。由上述分析可知，踏面等效锥度为0.2时发生共振的速度范围为30～40 km/h。如图4和图5所示，仿真运行速度为70 km/h时，车体上心滚摆模态的和转向架蛇行（同相）模态的各自由度振幅变化差异较大；而在速度为30 km/h时，车体上心滚摆模态的振幅和转向架蛇行（同相）模态振幅非常接近。这与图2的内容一致。根据欧氏贴进度的概念，此时2种振型相似，从而导致其相互作用，发生耦合共振，在该情况下，车体就会发生低频异常晃动。

图2 踏面等效锥度为0.2的频率、阻尼比速度图像Fig. 2 The frequency and damping ratio velocity image of the tread equivalent taper of 0.2

图4 仿真速度70 km/h的模态振型Fig. 4 Modal amplitude of simulation speed 70 km/h

图5 仿真速度30 km/h的模态振型Fig. 5 Modal amplitude of simulation speed 30 km/h

4 参数优化

4.1 耦合度的概念

耦合度指的是多个振动系统共同振动时，它们之间会相互影响，同时还会相互作用。对车辆系统来说，整个系统各模态同时振动时，把它们之间的模态耦合度看成是一个整体，得到一个系统耦合度：

式中：Cij表示第i个模态和第j个模态之间的耦合度；ωij为各模态在系统耦合度中的所占的权重系数。

以耦合度为标准来判断各模态振型之间发生共振程度的大小。如果耦合度大，说明振型之间的相互作用大，即发生共振现象的几率大；反之，则发生共振的几率就小。

图6为3种不同等效锥度条件下耦合度随速度的变化曲线图，初始的等效耦合度几乎相等，随着速度的增加，耦合度都是先增大，在某个速度时，其耦合度达到最大。随着等效锥度的增大，耦合度的最大值减小。说明等效锥度越小时，耦合度越大，从而越容易发生共振现象，导致车体发生晃车现象。

图6 不同等效锥度下的耦合度变化图Fig. 6 Coupling degree change diagram under different equivalent tapers

4.2 参数优化

通过优化参数的方法来降低耦合度的大小。利用控制变量法，不断改变阻尼和刚度相关参数，并进行仿真分析，得出最优参数。对阻尼参数中的二系横向阻尼和刚度中的抗侧滚扭杆2种参数进行进一步优化，将二系横向阻尼由58 kNm/s增大到100 kNm/s，抗侧滚扭杆由1.5 Nm/rad减小到0.05 Nm/rad。优化后的仿真结果如图7所示。

图7 优化后的频率-阻尼比与速度的图像Fig. 7 The optimized frequency-damping ratio and speed image

图7是踏面等效锥度为0.2时参数优化后的频率、阻尼比和速度的图像。与同等效锥度下参数未经优化时比较，在某个速度时，转向架蛇行（同相或反相）振动与车体的上心滚摆和摇头振动频率还是会相交，却没有明显的耦合现象。且各个模态振型的阻尼比没有发生剧烈的上升或者下降的趋势，随速度的变化较平缓稳定。车体上心滚摆从19%增加到28%，车体摇头从37%左右增大到75%，随着阻尼比的增加，车辆横向低频异常晃动的现象减少。

经过参数优化后，如图8所示，速度增大的整个过程中，每一个速度下的耦合度都明显减小了，优化前的最大耦合度为90，优化后的耦合度为82，大约减小了9%。说明参数的优化有效地降低了整个车辆系统的耦合度，同时整个系统发生共振的状况也相对降低。

图8 等效锥度0.2时优化后的耦合度-速度变化图Fig. 8 Optimized coupling degree-speed change diagram with equivalent taper 0.2

5 结 语

根据欧氏贴进度的定义，在模态的追踪分析中，对模态进行自动识别和追踪，得出各模态振型的频率、阻尼在不同速度下变化的曲线图。车体上心滚摆和车体摇头振型频率不随速度的改变而发生改变，是车辆系统本身固有的振型频率；而转向架蛇行（同相或反相）振型频率基本随速度的增加呈线性增加趋势。转向架蛇行振型频率和车体振型频率相近时会发生共振现象，转向架蛇行（同相）振型与车体上心滚摆更容易发生共振现象；而转向架蛇行（反相）与车体摇头更容易发生共振，2种振型发生共振时，对阻尼比的影响很大，会发生急剧增加或减小的状况，很有可能引起地铁车辆的横向低频晃动。通过耦合度的大小来判断发生共振的明显程度，耦合度越大说明车辆系统发生共振的几率越大。进一步对参数进行优化来降低车辆系统的耦合度大小，利用控制变量法得出最佳模拟参数。本研究可为地铁车辆运行中的低频异常现象及其原因和解决思路提供参考，从而帮助解决部分地铁车辆的晃车问题。