复杂动态网络间的同步控制与研究

柳 爽，李 宽，蒋扇英，许 雄

（上海应用技术大学 机械工程学院, 上海 201418）

从20世纪中期开始，复杂网络的动力学分析开始得到越来越多的关注。首先，混沌系统具有初值敏感性、有界性以及随机性等，1990年，Pecora和Carroll首次提出了驱动响应同步方案，相同系统不同初值的情形下，通过外加信号而实现同步[1]。其次随着研究深入，人们发现同步不仅发生在2个混沌系统之间，同一网络体系下多个系统之间也存在同步现象，如激光就是大量的原子同时释放出光子产生的[2]。网络同步研究初期所研究的主要是规则网络，拓扑结构相对简单，所以偏向于节点的非线性动力学行为对整个复杂网络复杂性的影响，如斑图的涌现和时空混沌的产生等[3-4]。为了更好地描述生活中的复杂体系，所研究的复杂网络模型逐渐衍化成具有一定的随机特性且规模更加庞大的小世界网络模型等。拓扑结构在动态特性方面的作用同样重要，在一定条件下，调节耦合至合适的强度可以使网络内各节点达到同步[5]。此外以流感病毒传播为例，当其单独在人类社会或者动物群体中传播时是网络内同步，当其同时感染人类社会与动物群体即网络之间的同步现象[6]。目前复杂网络的研究已经进入到一个相对成熟的时期，且已经影响到日常生活的许多方面[7-8]。但无论是网络内节点同步还是多网络间同步，人们发现单层网络无法表示全部的复杂体系。因为现实网络之间会存在一定的关联，如交通运输体系中航空与铁路运输网络的复合。这时人们在单层网络的基础上提出了多层复杂网络，关于多层网络的同步研究正处于快速发展的时期[9-11]。

网络的内同步是指网络中各个节点从不同初始状态出发，沿着不同的运动轨迹，在耦合作用或外加控制的作用下，所有节点达到集体一致行为。Wang等[12]发现对于耦合强度一定且节点数足够多的最近邻耦合网络即使实现不了同步，但随机增加一小部分连接而构成的小世界网络却能实现网络内同步。Tang等[13]研究一类具有未知参数和随机扰动的神经网络的时滞同步，利用自适应反馈技术得到可保证该网络同步得充分条件。Lu等[14]导出了有向脉冲动力网络的统一同步判据，该方法适用于同步脉冲和去同步脉冲的大规模网络的同步控制。Zhang等[15]对于离散动态网络的脉冲同步问题，首先在连续复杂网络中得出了保证同步所需的充分条件，在不满足时利用脉冲控制器使网络达到同步，并将其推广到了离散网络。

复杂网络外同步是指2个或者2个以上的复杂网络之间的同步[16]，针对复杂网络的外同步问题，Li等[17]研究了2个开关进行间歇控制的具有延时特性的神经网络的完全同步行为。程世红等[18]设计了自适应控制器实现了光学时变网络的外同步。Shi等[19]研究了具有噪声耦合的复杂网络的外同步，基于稳定性和矩阵不等式理论，建立了固定时间外同步的充分条件，并对时间上界进行了估计。Zhu等[20]主要研究的是复杂动态网络的辨识问题，是在原有网络上加一个调节机制，并构建一个由孤立节点组成的辅助网络，通过网络和辅助网络之间的外部同步来识别出原始网络拓扑结构。

在复杂网络中，由于信息处理和传播速度的有限性，总会导致时间延迟的出现。时滞对动力系统的性能影响很大。许多文献关注的是不同节点间具有耦合延迟的复杂网络的同步和控制[21-22]。在进行网络的动力系统性能研究时，噪声干扰也是不可忽略的一个因素。首先，噪声在现实世界的复杂网络中无所不在。此外，当从驱动网络采集到的信号传输到响应网络时，在传输过程中不可避免地存在诸如信息丢失等扰动[23]。也就是说，在接收驾驶员信号的响应网络中，噪声更有可能存在。因此，在响应层中考虑噪声更为实用。一般来说，噪声是有害的。然而，噪声的存在有时也会起到积极的作用[24]。例如诱导同步以及促进复杂网络的拓扑识别等[25-27]。

在此基础上，本文研究了具有延迟节点和噪声扰动的网络与蔡氏系统的同步。基于LaSalle型不变性原理，设计了自适应控制器，使由蔡氏混沌系统作为节点所构成的响应网络与蔡氏混沌系统进行同步控制，并提出了保证对等同步的一些基本条件。最后通过数值仿真，进一步说明了该方法的可行性。

1 复杂网络模型的构建

考虑一个由N个节点构成的复杂网络，网络中的各节点方程相同，则第i个节点的状态方程可表示为[28-29]：

网络同步是指网络中各个节点从不同初始状态出发，沿着不同的运动轨迹，最终集体一致行为。为实现动态复杂网络与外部系统间的同步，设定同步目标为

首先定义复杂动态网络与目标信号之间的误差：

则网络同步误差的动态可整理得到：

可以看出，如果满足条件limt→∞||yi(t) -x(t)||=0，那么可以实现复杂动态网络式(1)目标系统式(2)之间同步控制。

2 基于的LaSalle型定理实现网络同步

通过对上述网络模型的分析可知，ui(t)为网络中的同步控制器，当选取合理的同步控制器的形式，使limt→∞ei(t)=0，i=1,2,···,N，便可实现网络中对应节点完全同步追踪目标系统。为实现同步，首先进行以下假设[30]：

假设1基于Lipschitz条件，存在正常数p、q使得噪声强度σi(t,x,y)，满足

假设2存在一个正常数M使得：

假设3时滞τ(t)的导数满足：

0≤τ˙(t)≤µ＜1，可以看出，τ(t)为常数也满足该条件。

为设计得到实现复杂动态网络与目标系统达到同步的控制器，将根据随机微分时滞方程的LaSalle型定理进行下一步的工作。

定理1当控制器输入方程以及网络中重要参量的识别率满足如下方程时，可实现复杂网络与外部目标系统的同步追踪。

式中：ki(i=1,2,···,N)为任意正常数；bij(t)和gi(t)为基于网络动态变化的自适应参数，且当t→∞时，有，其中i，j=1,2,···,N。

证明构建Lyapunov函数

考虑以下n维随机微分延迟方程[28]：

定义ℓV为

因此可得：

将控制方程以及未知参量识别率式(5)和式(6)代入，并整理：

根据不等式2xTy≤xTx+yTy以及假设2可知：

将上述方程其代入方程(9)，得：

可使得对任意e≠ 0都有ω1(e)＞ ω2(e)，根据LaSalle型定理可得

则

式中，Ker(ω1-ω2)表示的是(ω1-ω2)的内核。同时有

式中，ξ= {x(θ):-τ≤θ≤0}为t≥ 0时的初始数据，如果Ker(ω1-ω2)=0，则有

可以看出，在同步控制器式(5)和(6)的作用下，实现了复杂网络系统式(1)与目标系统式(2)间对应节点的同步控制。证毕。

3 网络同步仿真与讨论

为进一步验证理论分析的有效性，现以电路中的蔡氏电路混沌系统为例构成复杂网络。蔡氏混沌系统在未构成网络之前的状态方程为[31]：

式中

蔡氏电路系统所对应的相图如图1所示。

图1 蔡氏混沌系统的相图Fig. 1 Phase diagram of Chua chaotic system

根据复杂网络的拓扑结构特点构建复杂网络，设定网络中节点数为6，耦合矩阵C满足

此外，Γ=[1 1 0; 0 1 0; 0 0 1]，τ=0.003。另有噪声干扰项中的噪声强度定义

其中：对于i=1,2,···,6有σ0=1，此时σi(t,ei(t),ei(t-τ))可以满足Lipschitz条件和线性增长条件。也就是说，用公式表示为

与此同时，假设w(t) =(w1(t),w2(t),w3(t))T是在完整概率空间上的一个三维布朗运动。

当t为[-τ,0]时，对应参量选取为m0=-1/7，m1=2/7，a=9，β=15。选取适当的初始值，自适应增益初始值gi(t)(i= 1,2,···,6)，和自适应参数bij(t)(i,j= 1,2,···,6)是在(0,1)中随机选取的数值。

图2～图7分别展示了复杂动态网络中每个节点与目标系统间的误差随时间的演变图。由图可见，由于初始值的不同，在最初的一段时间内网络误差很明显。但在本文所设计的同步控制作用下，经过短暂的时间演变，在接近1 s左右的时间时，网络误差值迅速趋于0，实现期望的稳定的同步状态。证明该理论方法可有效实现网络与目标系统间的同步追踪。

图2 同步误差e1j(j=1,2,3)的时间演化Fig. 2 Time evolution of synchronous errore1j(j=1,2,3)

图3 同步误差e2j(j=1,2,3)的时间演化Fig. 3 Time evolution of synchronous errore2j(j=1,2,3)

图4 同步误差e3j(j=1,2,3)的时间演化Fig. 4 Time evolution of synchronous errore3j(j=1,2,3)

图7 同步误差e6j(j=1,2,3)的时间演化Fig. 7 Time evolution of synchronous errore6j(j=1,2,3)

本文只选取6个节点为例进行分析，考虑到实际应用过程中网络接点水繁多，不便一一展示每个节点的同步状态，定义网络的总同步误差‖e‖=，如图8所示。由图8可见，总的误差跟之前每个节点误差曲线一致，在控制实施的初期，由于受到初值以及拓扑结构的影响，误差很明显，但随着时间增加，控制器的作用越发的明显，经过短暂的时间演变，网络的总误差最终迅速趋于0。

图8 同步误差||e||的时间演化Fig. 8 Time evolution of total synchronization error ||e||

图5 同步误差e4j(j=1,2,3)的时间演化Fig. 5 Time evolution of synchronous errore4j(j=1,2,3)

图6 同步误差e5j(j=1,2,3)的时间演化Fig. 6 Time evolution of synchronous errore5j(j=1,2,3)

通过分析发现，在网络同步过程中涉及到时滞以及外部噪声等因素的影响，网络同步过程中涉及许多重要的同步参量，而这些参量无法在同步之前一一给出。根据本文的设计方法，式（6）给出了位置参量的识别率，具体识别过程如图9和图10。

图9 自适应参数gi(i=1,2,...,6)的时间演化Fig. 9 Time evolution of adaptive parameter gi(i=1,2,...,6)

图10 自适应参数bij(i, j=1,2,...,6)的时间演化Fig. 10 Time evolution of adaptive parameter bij(i, j=1,2, …,6)

本文以6个节点为例进行分析，所以自适应增益初始值gi(i=1,2,···,6)有6个值，自适应参量bij(i,j=1,2,···,6)有效识别出36的值。而初始时刻gi(t)和bij(t)的初值是在(0,1)中随机选取的数值。在本文所设计的控制方案的作用下，经过一段随时间的演变，所有的未知参量均达到稳定状态，并得到有效识别。进一步证明该方法可用来解决受时滞以及噪声扰动的复杂动态网络与外部信号间的同步问题。

4 结 语

本文主要研究了复杂动态网络与混沌系统间同步问题，设计了一种自适应同步控制方法，基于随机微分方程的LaSalle型不变性原理，给出了复杂动态网络与系统同步所需要的基本条件。同时该方法可有效地解决信号在传输过程中产生的时滞以及噪声扰动的问题，并给出了网络中重要参量的识别率。在该方法的控制可实现复杂网络与目标系统间的同步控制。进一步以6个蔡氏混沌电路为节点耦合复杂网络为例进行仿真，仿真结果证明了该方法有效性。