一类无感蔡氏电路的综合设计性实验

包 涵 武花干 徐 权 张 希 陈 蓓 包伯成

(常州大学 微电子与控制工程学院, 常州 213164)

蔡氏电路(Chua′s circuit)是结构简单的非线性电路,实验制作简单易实现,通过调节一个电阻值,便可从实验电路中观察到奇妙的混沌现象[1-2]。然而,蔡氏二极管(Chua′s diode)的等效实现与电感线圈的手工绕制是蔡氏电路物理制作的难点。

自蔡氏电路发明以来,蔡氏二极管的等效实现和蔡氏电路的无感化实现是人们主要关注的两个方面[3-4]。经典蔡氏二极管具有三段分段线性函数形式,它是由两级负阻抗变换器(Negative Impedance Converter, NIC)并联连接实现的,已成为分立元器件实现的公认标准[5-6]。近年来,文献[7]提出了由单级NIC等效实现的蔡氏二极管,并发现了简化蔡氏电路的共存多吸引子现象;文献[8]则提出了由三级NIC等效实现的蔡氏二极管,并报道了蔡氏电路的隐藏吸引子现象。然而,无感化实现的原因在于手工绕制电感线圈伴有寄生的串联等效电阻[9],使得硬件体积庞大,鲁棒性差。一种最为简单的无感化实现方法是采用二阶有源RC滤波器替换原有的二阶LC振荡器,可构建一类形式多样的简化蔡氏电路[10]。这类无感简化蔡氏电路硬件价格低廉、易于物理制作,且适用于IC集成。

1 经典蔡氏电路

经典蔡氏电路是一个三阶非线性电路,如图1所示。可以分成三部分,11′端右边电路是一个非线性电阻RN即蔡氏二极管,22′端左边电路是由电容C2、电感L及其串联等效电阻r构成的LC振荡器,中间电路是由电阻R和电容C1构成的简单电路。因此,从原理上讲,蔡氏电路是由一阶有源RC滤波器通过电阻R线性耦合二阶LC振荡器来实现的。

图1 经典的三阶蔡氏电路

蔡氏二极管是蔡氏电路能产生复杂混沌现象的重要元件,一般具有三段分段线性函数形式的非线性有源电阻性元件。对于图1中11′端右边电路,定义流过的电流为iN、两端的电压为uN,则蔡氏二极管的伏安关系(Voltage-Current Relation, VCR)可用数学表达式描述为

iN=f(uN)

=GbuN+0.5(Ga-Gb)[|uN+Bp|-|uN-Bp|]

(1)

因此,蔡氏二极管可以用三个电路参数来表征,即内区间电导Ga、外区间电导Gb和内外区间的转折点电压Bp。

三阶蔡氏电路有三个动态元件即电容C1、电容C2和电感L,分别对应于三个状态变量即电容两端的电压u1、u2以及流过电感的电流iL。由电阻、电容和电感三个基本元件的VCR,应用基尔霍夫电压、电流两个基本定律,可以建立蔡氏电路的状态方程组为

(2)

式中,f(u1)是蔡氏二极管RN的VCR特性函数。在确定电路参数下,当选取不同电阻R时,蔡氏电路展现出周期数不同的极限环、单涡卷混沌吸引子和双涡卷混沌吸引子等振荡行为。

2 无感蔡氏电路的实验方案

2.1 蔡氏二极管的等效电路

蔡氏二极管是蔡氏电路中唯一的非线性电阻性元件,其等效电路设计是蔡氏电路物理实现的关键。由式(1)描述的蔡氏二极管的VCR一般具有三段分段线性函数形式,由三个电路参数Ga、Gb和Bp来表征。按照Ga和Gb的数学属性与数学关系,三段分段线性蔡氏二极管的特性曲线可分为三类,如图2所示。图中的S0、S+和S_为电路的直流平衡点,它们是通过求解蔡氏二极管RN的特性曲线与负载线-1/R的交点来获得的。不难观察到,图2中的三类特性曲线都有Ga< 0的关系式,图2(a)中的特性曲线有关系式|Ga|>|1/R|、Gb>0,图2(b)中的特性曲线有关系式|Ga|>|1/R|、|Ga|>|Gb|且Gb<0,而图2(c)中的特性曲线有关系式|Ga|<|1/R|、|Ga|<|Gb|且Gb<0。

(a) |Ga|>|1/R|、Gb>0

(b) |Ga|>|1/R|、Gb<0

(c) |Ga|<|1/R|、Gb<0图2 三类三段分段线性蔡氏二极管的特性曲线

当蔡氏二极管采用图2(a)所描述的特性曲线时,蔡氏电路有一个不稳定的鞍点S0和两个稳定的鞍焦点S±,会呈现自激的双涡卷混沌吸引子,但易于产生依赖于初始状态的共存多吸引子即多稳定性现象[7]。相比之下,当蔡氏二极管采用图2(b)所描述的特性曲线时,蔡氏电路有一个不稳定的鞍点S0和两个不稳定的鞍焦点S±,会呈现自激的双涡卷混沌吸引子,但不易产生多稳定性现象[5]。特别地,当蔡氏二极管采用图2(c)所描述的特性曲线时,蔡氏电路有一个稳定的鞍焦点S0和两个不稳定的鞍点S±,在特殊的初始状态下会呈现隐藏的单涡卷混沌吸引子[8]。

利用运算放大器的饱和电压特性,可由运算放大器与电阻组成的NIC等效实现由式(1)所描述的VCR。对应于图2所示的特性曲线,三类三段分段线性蔡氏二极管等效电路的原理图如图3所示。三类蔡氏二极管等效电路的电路参数分别满足[5,7-8]

(a)单级NIC

(b) 两级NIC

(c) 三级NIC图3 三类三段分段线性蔡氏二极管的等效电路

(3a)

(3b)

(3c)

其中,Esat是运算放大器的饱和电压,数值可由电路仿真或硬件实验测得。

综上所述,三类三段分段线性函数描述的蔡氏二极管均可由式(1)的数学关系式来统一描述,并由电路参数Ga、Gb和Bp来表征。根据电路参数中内外区间电导的数学属性与数学关系,蔡氏二极管具有如图2所示的三类特性曲线。这三类特性曲线可分别由如图3所示的三类等效电路实现,且对应着三类不同的数学表达式。

2.2 蔡氏电路的无感实现

如图1所示,蔡氏电路的22′端左边电路是由电容C2、电感L及其串联等效电阻r构成的二阶LC振荡器。一般需要手工绕制磁环电感线圈来实现一定的电感量,其物理制作是蔡氏电路硬件实验的难点。特别是磁环电感线圈的体积和重量都较大,难以实现硬件电路的小型化和轻型化。为了从根本上解决经典蔡氏电路的固有问题,可采用二阶有源RC滤波器替换图1中的LC振荡器,实现无感蔡氏电路。

常见的四类二阶有源RC滤波器电路,如图4所示,包括文氏桥振荡器(也是带通滤波器)[10-11]、有源带通滤波器[4,10]、高通滤波器[12]以及低通滤波器[13],它们电路结构不同且端口特性也不同,但都有着相同的元器件数量。与图1所示的经典蔡氏电路进行比较,这四类基于有源RC滤波器实现的蔡氏电路主要特点是:无电感元件,易于物理制作,硬件体积小巧,适用于IC设计,且有较好的鲁棒性。尽管无感蔡氏电路与经典蔡氏电路有着不同的电路结构与电路参数,但它们都能产生相似的动力学行为。

(a) 文氏桥振荡器

(b) 有源带通滤波器

(c) 高通滤波器

(d) 低通滤波器图4 四类二阶有源RC滤波器电路

3 无感蔡氏电路的实验案例

这里,采用图3(a)所示的单级NIC等效电路实现蔡氏二极管,图4(a)所示的文氏桥振荡器替换二阶LC振荡器,这样可获得一个基于文氏桥振荡器的无感蔡氏电路[10]。无感蔡氏电路有三个动态元件,电容C1、C2和C3,分别对应于三个状态变量u1、u2和u3,其状态方程组可表示为

(4)

其中,k=Rb/Ra表示文氏桥滤波器的反馈增益,f(u1)是由式(1)描述的三段分段线性函数。

基于文氏桥振荡器的无感简化蔡氏电路的元件参数列于表1所示[10]。采用供电电压为±15 V的AD711KN运算放大器,其输出饱和电压的实验测量值为Esat≈13 V。因此,蔡氏二极管RN的电路参数可计算得

表1 基于文氏桥振荡器的无感简化蔡氏电路的元件参数

Ga=-555.56 μS,Gb=100 μS,Bp=1.754 V

(5)

式中,Ga为负值,而Gb为正值。

采用表1所示的元件参数和式(5)的蔡氏二极管电路参数,并设置初始状态u1(0)=1 mV、u2(0)=0 V和u3(0)=0 V,即给电路一个小扰动。基于Matlab软件,采用龙格库塔ODE45算法[14],对式(4)描述的状态方程组进行数值仿真,可获得在u1-u2和u1-u3平面上的相轨图,如图5所示。图5结果说明,基于文氏桥振荡器的无感简化蔡氏电路可产生典型的双涡卷混沌吸引子,类似于经典蔡氏混沌吸引子。

(a)u1-u2平面

(b) u1-u3平面图5 无感简化蔡氏电路的相轨图

常用的Multisim电路仿真和设计软件是一款符合行业标准的、具有SPICE仿真环境的软件,得到了国内外高校师生的广泛好评和大量使用[15-16]。在NI Multisim 12.0软件中建立基于文氏桥振荡器的无感简化蔡氏电路的电路仿真模型,如图6左边部分所示,其中运算放大器选用AD711KN,供电电压为±15 V。采用表1所示的元件参数,进行Multisim电路仿真,可捕获在两个不同平面上的相轨图,如图6右边部分所示。其中,右边上方是在u1-u2平面上的相轨图,右边下方是在u1-u3平面上的相轨图。电路仿真结果与图7的数值仿真结果完全吻合。

图6 电路仿真模型及其仿真得到的相轨图

(a) u1-u2平面

(b) u1-u3平面图7 实验测得的无感简化蔡氏电路的相轨图

基于图6所示的电路仿真模型,在面包板上制作无感简化蔡氏电路的实验电路。选用可调精密电位器、单极性独石电容和±15 V电压供电的AD711KN运算放大器。由LCR测试校正各元件参数,确保与数值仿真期间所使用的一致,并由数字示波器输出捕获的实验结果。实验测得的混沌吸引子的相轨图,如图7所示。

必须说明的是,为了测试图4(a)中电容C3的相对电压u3,需要制作一个辅助测试电路,它由运算放大器连接四个2 MΩ电阻的减法电路来简单实现。实验测试与数值仿真结果相符,说明了无感简化蔡氏电路的可行性。

4 结语

结合蔡氏电路的模块化设计制作思路,采用三类蔡氏二极管等效电路,并利用四类二阶有源RC滤波器替换无源LC振荡器,可组合实现形式多样的无感蔡氏电路。通过具体案例分析,给出了无感蔡氏电路的数学建模、数值仿真、电路仿真、电路设计与硬件实验等综合实训的教学范例。蔡氏电路综合设计性实验可以帮助学生更好地掌握理论知识,极大地培养创新能力并提高科研素养。