数学分析中的一些构造性证明方法

龙能，杨婷梅

（广东茂名幼儿师范专科学校，广东茂名 525200）

数学分析是数学专业的一门重要基础课，为后续课程的学习奠定了基础。数学分析课程内容经典、体系完整、理论严密、应用广泛，其教学的主要目标是培养学生数学的基本思想方法和思维素质，提高学生分析问题和解决问题的能力[1]。同时，数学分析中的许多内容都涉及各种命题的证明，一些较难的证明题，常常需要采用构造性证明，但是在进行构造性证明的时候，最难掌握的是如何构造函数和构造命题。在数学分析中的构造性证明主要是通过构造数列、构造闭区间、构造方程、构造子列、构造级数、构造辅助函数等方法来间接完成命题的证明，其关键在于如何进行构造[1]。

实际上，数学中的不少命题都是属于构造性证明，而构造性证明方法对于很多的初学者来说是最难理解的一个知识点。就构造性证明的叙述方式来看，它属于演绎法，但是如果深究一下，构造性证明是如何想出来的，它应属于倒推法。例如：微分中值定理、多元函数泰勒公式、绝对收敛级数必收敛、线性微分方程的求解公式等的证明都是通过构造一个辅助函数来证明的。本文主要是介绍一下我们数学分析中一些常用的构造性证明方法。

一、几种常用的构造性证明方法

（一）构造函数法

移项后，命题得证。

（二）构造行列式法（命题中含有行列式的一般用行列式构造）

证明：因为命题结论含行列式，因此可以构造行列式。又因为变量项是交互导数之差，所以变量是商结构。再结合行列式导数的定义及行列式的特点，于是可求得行列式构造为

（三）构造闭区间法

（四）构造子列法

（五）构造级数法

（六）构造方程法

（七）构造反例法

二、结束语

由此可知，构造法的技巧性和创造性都非常强，它充分地体现了数学分析中发现、类比、化归等数学思想，同时也渗透着猜想、探索、特殊化等重要数学方法。利用构造法解数学题不但可以欣赏数学之美，感受解题乐趣，还可以开拓我们的思维空间、启迪智慧。同时，对于培养学生的多元思维和创新精神有非常大的帮助。虽然本文只介绍了几种简单的构造方法，但是却可以足够说明构造法在数学分析中的重要地位。同时，构造思想是一种非常实用的方法，不管是在数学分析当中，还是在其他的学科当中，构造的思想都是非常重要的。

百年大计，教育为本。如果说要“打开视野看效率”，那么文化教育事业更需如此，教育所产生的效果往往不能在短时间内呈现，而需要长时间的积累和沉淀。