等差数列与等比数列的几类凹凸性不等式

山东省滨州市北镇中学 宋志敏 256600

山东省滨州学院理学院 尹 枥 256603

文献[1]证明了等差数列与等比数列的前n项和的一个统一性质，其主要结果可以叙述如下：定理A 若正项等差数列或等比数列的前n项和为Sn，则当m+n=2p,m,n,p∈N 时，SnSm≤成立.之后文献[2]中笔者类似的研究了等差数列与等比数列通项an的凸性问题.最近，宋志敏、尹枥在文献[3]中提出了一个更广泛的问题，即研究等差数列与等比数列的广义凹凸性问题.即考虑如下类型的不等式问题：bM(m,n)≥(≤)N(bn,bm)? 其中M(m,n),N(m,n)为任意的两个平均.本文主要研究反调和平均、Helon 平均与平方根平均.其中反调和平均为：λ(a,b)=;Helon 平均为：h(a,b)=；平方根平均为：讨论之前，我们先对等差数列与等比数列的定义延拓一下，假设{an} 为等差数列,且首项为a1,公差为d，在此基础上规定n可以取到任意实数，其通项公式以及前n项和公式类似可以写出对应形式，等比数列的延拓类似.

本文主要结果如下：

定理1:设{an} 为等差数列,且首项为a1,公差为d，则有（1）当a1≥d,d≥0 时aλ(m,n)≥λ(am,an)；（2）当a1≤d,d≤0 时aλ(m,n)≤λ(am,an).