深研构造函数 提升证明能力

甘肃省永昌县第一高级中学 白亚军 737200

1 “比较法”构造函数证明不等式

当试题中给出基本初等函数，如f(x)=x3，g(x)=lnx，进而证明在某个范围内不等式f(x)≥g(x)成立时，可类比作差法，构造函数h(x)=f(x)-g(x)，进而证明h(x)min≥0即可.在求最值的过程中，可以利用导数为工具.此外，在能够说明g(x)＞0 的前提下，也可以类比作商法，构造函数h(x)=，进而证明h(x)min≥1.

例1 已知函数f(x)=ex-ax（e为自然对数的底数，a为常数）的图象在点(0,1)处的切线斜率为-1.（1）求a的值；（2）证明：当x＞0 时，x2＜ex.

（1）解:易得a=2 .

（2）证明：令g(x)=ex-x2，则g′(x)=ex-2x.由（1）得g′(x)=f(x)≥f(ln 2)＞0，故g(x)在R 上单调递增.所以当x＞0 时，g(x)＞g(0)=1＞0，即x2＜ex.

评注: 在第（2）问中，发现“x2，ex”具有基本初等函数的基因，故可选择对要证明 的“x2＜ex” 构造函数，得到“g(x)=ex-x2”，并利用（1）的结论求解.

2 “拆分法”构造函数证明不等式

当所要证明的不等式由几个基本初等函数通过相乘以及相加的形式组成时，如果对其直接求导，得到的导函数往往给人一种“不知所措”的感觉.这时可以将原不等式合理拆分为f(x)≤g(x) 的形式，进而证明f(x)max≤g(x)min即可，此时注意配合使用导数工具.在拆分的过程中要注意合理性，一般以能利用导数进行最值分析为拆分标准.

3 “换元法”构造函数证明不等式

若两个变元x1,x2之间联系“亲密”，我们可以通过计算、化简，将所证明的不等式整体转化为关于m(x1,x2) 的表达式（其中m(x1,x2)为x1,x2组合成的表达式），进而换元令m(x1,x2)=t，使所要证明的不等式转化为关于t的表达式，进而用导数法进行证明，因此换元的本质是消元.

评注:（1）由题意易知f′(1)=1，可列出关于a的方程，从而求出a的值，得到函数f(x)的解析式.欲比较20172018与20182017的大小，只需比较f(2017),f(2018)的大小，即需判断函数y=f(x)的单调性.（2）不妨设x1＞x2＞0，由g(x1)=g(x2)=0，可得lnx1-kx1=0,lnx2-kx2=0，两式相加减，利用分析法将要证明的不等式转化为，再利用换元法，通过求导证明上述不等式成立.

4 “转化法”构造函数证明不等式

在关于x1,x2的双变元问题中，若无法将所要证明的不等式整体转化为关于m(x1,x2)的表达式，则考虑将不等式转化为函数的单调性问题进行处理，进而实现消元的目的.