液晶平板光波导中耦合模式的研究

查正桃，张谦述，张耀进，周 琪

(西华师范大学 a.物理与天文学院，b.电子信息工程学院，四川 南充 637009)

向列相液晶具有大的双折射性、低驱动电压特性，使其成为非常有前景的电光材料[1]。对于典型的向列相液晶，外加几个伏特的电压即可实现Δn>0.2的大双折射重构[2]，国内外研究人员利用其电控双折射可重构特性研究了许多基于液晶光波导的电调谐器件，例如光开关[3-7]、光调制器[8-9]、光学滤波器[10]、光衰减器[11]、光束偏转器[12]、光分束器[13]。这些研究中的光波导均仅工作在横磁(Transverse Magnetic，TM)或横电(Transverse Electric，TE)模式，而对于波导以耦合模式工作的研究较少。自上世纪70年代基于横向各向异性光波导(Transverse Anisotropic Optical Waveguide，TAOW)的耦合模理论[14](Coupled Mode Theory，CMT)被提出以来，较为有效的波导模式分析方法大多为数值法，包括有限元法[15-17]、有限差分法[18]、矢量伪谱法[19]、矢量变分法[20]，尽管这些数值方法能求出模折射率和模场分布，但波导中的模式随电介质张量中非对角项变化的规律并不清晰。

1 理论分析

(1)

式中，ε∥,ε⊥分别表示平行和垂直液晶分子指向矢的相对介电常数，α为液晶分子倾斜角。

考虑单色平面波入射，传输方向为z轴正方向，传输因子为exp(-jβz),β为纵向传播常数。对于这种旋转构型，根据麦克斯韦方程组可得横向磁场分量之间的耦合本征方程组为[18]

(2)

式中，k0≡2π/λ0为真空波数，λ0为真空波长。根据平板波导理论[22]，场强不随x变化，则式(2)可化为

(3)

显然，当非对角项εxy、εyx非零时，磁场分量Hx,Hy之间必定出现耦合，符合CMT[14]。联立式(1)(3)可得Hx,Hy的公共波动方程为

(4)

以波导芯区正中心为坐标原点，联立式(3)(4)可得波导芯区的磁场为

(5)

式中，Hξf,φξ均为待定常数，ξ=e,o表示各向异性电介质中光波的类型，且

(6)

设包层和衬底层的折射率分别为nc,ns，仿照上述易得包层和衬底层磁场为

(7)

式中，Haξc、Haξs均为待定常数。此外，这种旋转构型下寻常光波和非寻常光波的折射率分别为

(8)

式中，θ表示入射光波的波矢量与z轴之间的夹角。根据式(8)易证式(6)中kye、kyo分别为非寻常光波和寻常光波的横向传播常数，因此，可得到下列重要关系式

(9)

联立式(5)—(7)与麦克斯韦方程组可求得其余的所有电磁分量，然后根据边界条件及式(9)可得非寻常光波的色散关系为

(10)

式(10)中第1个方程为Hxe、Eze、Dye(纯TM模式)的边界条件产生；第2个方程为Exe、Hze、Bye(纯TE模式)产生。应当指出的是，根据式(6)可知，当α=0°时，Hxe=0，此时非寻常光波的色散方程仅含式(10)中第2个方程；当α=90°时，Hye=0，此时非寻常光波的色散方程仅含式(10)中第1个方程；而当0°<α<90°时，根据CMT，式(10)中两个色散方程必须同时满足，即非寻常光波所激励的本征模式并非纯TE或纯TM模式，而是耦合模式。从式(10)可见，波导中本征模式的数量不仅与波导以及入射光波的固有参数有关，而且与液晶分子倾斜角有关。寻常光波的色散方程与各向同性平板波导的色散方程相同，这里不再阐述。

2 数值案例

2.1 模数曲线

考虑工作波长λ0=1.5 μm，以液晶5CB(4′-n-pentyl-4-cyano-biphenyl)为例，根据双系数柯西方程[21]可知室温25.1 ℃下液晶分子的主轴介电常数分别为ε∥=2.8295,ε⊥=2.3092，选择包层和衬底层的折射率ns=nc=1.48，波导厚度h=5 μm，宽度w=1 mm，满足h≪w。根据式(10)绘制不同倾斜角α下模数m、q随θ变化的曲线如图3所示。

从上式明显可见，临界角θcri也受液晶分子倾斜角的调控。

2.2 模折射率

计算不同倾斜角α下TM、TE模式的模折射率，结果如图4所示，对于任意一个导模，随着液晶分子倾斜角α的增加，TE模式的模折射率始终略大于TM模式的模折射率，这个规律与常规各向同性薄膜波导是一致的[22]。但考虑到这个模折射率差异非常小，因此可以认为非寻常光波同时激励的这两种偏振模式的模折射率是可以简并的，从而使得式(10)中两个方程同时成立，即光波能以耦合模式工作。

对于高阶模式，其模折射率随着α的增加而减小，体现了一定的相移特性，这是因为非寻常光波折射率随α的增加而减小，正如式(8)所示。此外，由于临界角也受液晶分子指向矢的调控，导致最高阶模式(m=q=5)并不是对于任意的α均存在。特别注意到，对于基模，无论是TE模式还是TM模式，其模折射率几乎不随液晶分子倾斜角α变化。这是因为液晶分子的光轴始终在xoy平面内，对于非常近轴的光线，其波矢量与z轴之间的夹角非常小，从而使得波矢量始终近似垂直于光轴，其对应的非寻常光波的折射率很难被α有效地调控。

2.3 模场分布

一旦模折射率已知，根据模场分布函数即可得到各阶模式的模场分布。考虑到光波导中主要激发最低阶模式，因此，图5仅展示了不同倾斜角下前2个模式的主要磁场分量。

从图5可见，在波导芯区，Hxe与Hye有π的相位差。此外，随着液晶倾斜角α的增加，Hxe相对于Hye的振幅峰值也增加，即基于液晶材料的TAOW能实现模式转换功能(TE到TM)。另一方面，根据最小偏振拍长公式[14]Lmin=λ0/(2ΔNeff)可知，为了能够在固定波导长度Lmin的输出端有效地调控其偏振模式，必须保证非寻常光波和寻常光波的有效折射率差ΔNeff不随液晶分子倾斜角α发生变化，仅仅是场强振幅被有效调控。根据寻常光波的折射率与α无关，以及非寻常光波低价模式的模折射率对α也不敏感，满足偏振调控要求。

3 结 论

本文从麦克斯韦方程组推导出向列相液晶光波导中横向磁场分量的公共波动方程，并对其进行了解析求解。在边界条件下进一步得出了耦合模式的色散关系以及模场分布的显式表达，与以往数值方法相比，更易于分析向列相液晶TAOW中液晶分子倾斜角对波导模式、模场的调控规律。尽管色散方程是超越方程，但在求解时不需要大尺寸的存储矩阵，易于实现液晶光波导的可编程调谐。通过求解色散方程发现非寻常光波的TE、TM模式的模数曲线是简并的，而且其高阶模式的存在严格地受液晶倾斜角调控。此外，还发现低阶模式的模折射率对液晶倾斜角几乎不敏感，但横向模场分量的振幅却受液晶倾斜角的调控。