矩形上组合偏差函数的极值问题

唐茹月，刘初玥，冯小高

(西华师范大学 数学与信息学院，四川 南充 637009)

Teichmüller在20世纪40年代前后为了研究Riemann模问题而研究了极值拟共形映射，并导致了Teichmüller空间理论产生。Teichmüller的思想来源于Grötzsch，后者提出了Grötzsch极值问题[1]，并用面积长度方法解决，得到仿射拉伸变换为唯一极值解。事实上，Grötzsch极值问题是在拟共形映射类中考虑线性偏差函数的L∞范数情形。2005年以来很多学者研究了线性偏差函数K(z,f)和偏差函数k(z,f)的L1范数以及加权Lφ范数的情形(其中φ连续可微且为严格凸的满射)[2-5]，近年来进一步研究了全偏差以及与其有密切联系的组合能量的极值问题[6-9]，并推广到高维的情形[10]。本文分别借助经典的面积长度方法和平均值不等式研究矩形上的组合偏差函数的极值问题。

1 预备知识

(1)

其中‖Df‖为正规化的Hilbert-Schmidt范数，即：

(2)

f的组合偏差函数[α,β](z,f)定义为：

2 主要结果及其两种方法的证明

本节主要分别借助经典的面积长度方法和平均值不等式研究了矩形上的组合偏差函数的极值问题，得到本文如下主要结果。

成立。

2.1 方法一：利用面积长度方法证明定理1

证明因为

(3)

对上式两边关于y积分，可得

(4)

根据Hölder不等式，可得

(5)

那么可得

(6)

同理又因为

(7)

对上式两边分别关于x积分，可得

(8)

根据Hölder不等式，可得

(9)

即为

(10)

结合(6)和(10)式，可得

(11)

(12)

2.2 方法二：利用平均值不等式证明定理1

证明根据平均值不等式，易知下面不等式成立

(13)

其中0≤a≤1，0≤b≤1。

取b=1，那么(13)式变为:

(14)

由于

(15)

所以得到

(16)

结合(14)和(16)式，对任意的A≥0，可知

对上式两边积分，结合(4)式可得

(17)

(18)

(19)

取a=1，对任意的B≥0，根据(13)式和平均值不等式，可得

对上式两边同时积分，结合(8)式可得

(20)

(21)

注2：定理1中的极值映射与α和β无关。