随机和认知不确定性框架下的CFD模型确认度量综述

2022-09-07夏侯唐凡陈江涛邵志栋吴晓军刘宇

航空学报 2022年8期

夏侯唐凡，陈江涛，邵志栋，吴晓军，刘宇, 3,*

1. 电子科技大学机械与电气工程学院，成都 611731 2. 中国空气动力研究与发展中心计算空气动力研究所，绵阳 621000 3. 电子科技大学系统可靠性与安全性研究中心，成都 611731

计算流体力学 (Computational Fluid Dynamics, CFD) 是用数值方法对流体流动进行模拟和分析的学科，是计算力学的一个重要分支。近年来，随着计算机技术迅猛发展，计算流体力学数值模拟技术已经大规模地应用于航空航天、船舶、风力、水利等领域的复杂流体分析、设备性能参数评估、新产品气动设计与优化中。由于CFD技术成本低、周期短、能提供真实试验无法模拟的条件等优势，为复杂产品如：飞行器、风力机、透平机械等的气动设计带来一场新的革命。例如，美国Boeing公司在波音787客机研制中广泛地采用了CFD数值模拟技术，包括：高速机翼设计、发动机短舱设计、翼尖小翼设计等，其所用风洞试验时间相比波音777和波音767分别减少了30%和55%，大幅减少了风洞试验成本。

理论上，CFD模拟结果应与试验结果进行对比，对模拟结果加以确认，即：模型确认 (Model Validation)，才能增加设计人员对CFD模拟结果的认可度。然而，一方面，真实试验由于试验条件、几何尺寸、边界条件等不同，导致试验结果存在一定波动性与随机性；另一方面，CFD模拟中也存在着大量的不确定性，包括：模型参数、数值离散、模型形式和模型预测偏差等不确定性，这些不确定性严重影响了CFD模拟结果的可信度。传统的CFD模拟技术都是在确定性的数学模型、物理参数、边界条件下进行数值模拟的。显然，用确定性模拟结果与试验结果进行对比是不合理的。采用确定性CFD模拟结果对的产品开展研制将造成潜在的失效风险。例如，NASA在超高速飞行器X43.A的试验失败后进行了气动方面的分析，得出的结论是由于气动设计对不确定性因素模拟不足使得设计的鲁棒性不足，导致控制系统过高估计了设计冗余，进而引发了试验失败。因此，CFD模拟技术的模型确认中必须全面考虑模拟过程所面临的各种不确定性以及这些不确定性对系统输出响应的影响。

一般而言，根据不确定性的属性不同，可以将不确定性分为随机不确定性 (也称固有不确定性或客观不确定性) (Aleatory Uncertainty)和认知不确定性 (Epistemic Uncertainty)。前者表示物理现象中存在的固有随机性，它无法通过增加样本控制或减小这类随机性；后者则是由于人们主观认识不足、知识与数据的缺乏而导致无法精确地构建物理模型，或是不能对某些因素/参数的不确定度用精确的概率分布进行准确描述。通常情况下，随机不确定性可用概率分布或随机场表征，而认知不确定性可用概率方法 (如：贝叶斯理论) 或非概率方法 (如：区间理论、D-S证据理论、概率盒(Probability-Box, P-Box) 理论、凸集模型、模糊理论等) 表征。当随机和认知这2类不确定性共存时，被称为混合不确定性。CFD模拟技术中，既存在模型参数或边界条件的固有不确定性，也存在由于真实流体与物理模型不同、模型参数估计不准确、模型数值离散精度不够等带来的认知不确定性。

不确定性下的CFD模拟除了量化和分析所面临的各种不确定性外，还要阐明各种不确定性如何影响系统的输出响应，即不确定性传播问题。以往的不确定性下的CFD模拟都是在随机不确定性下通过随机采样或微扰动技术等方法与确定性的CFD模拟相结合实现的。近年来，基于谱分析的CFD模拟大量应用在随机不确定性下的CFD模拟中。其中，基于多项式混沌方法(Polynomial Chaos Expansion)的CFD模拟被广泛研究。Xiu和Karniadakis提出广义多项式混沌方法，并将此方法应用于随机不可压槽道流动与方柱绕流问题。Knio和Maitre用嵌入式多项式混沌法(Intrusive Polynomial Chaos Expansion)研究了翼型的不可压缩绕流问题。王晓东和康顺介绍了多项式混沌展开式与流体力学方程的耦合过程，并采用此方法研究顶盖驱动的层流方腔流动。然而，认知不确定性下的CFD模拟却鲜有研究，其主要难点有：① 认知不确定性和随机不确定性不同，无法用蒙特卡洛采样的方式处理；② 认知不确定性传播方式与随机不确定性传播方式有着本质区别，一般需要采用优化方式得到系统响应输出的边界。

模型确认度量(Model Validation Metric)是模型确认过程中对模型可信度定量评价的方法。模型确认度量方法在CFD模型确认过程中的作用如图1所示。利用试验数据修正后的CFD模型的模拟结果与试验结果进行对比并用模型确认度量方法进行评价。当不满足应用要求时，对CFD模型进行改进或重选，直到模型满足要求为止。

图1 CFD模型确认框架Fig.1 Model validation framework of CFD

根据系统响应输出的分散性特征，模型确认度量分为：确定性下模型确认度量方法和不确定性下的模型确认度量方法。传统的确定性模型确认度量方法忽略了数值模型和真实试验数据中潜在的各种不确定性，如：模型参数不确定性、试验测量不确定性、观测数据不足以及模型输入参数与试验值不一一对应的现象。不确定性下的模型确认度量方法则是需要全面考虑模型和真实试验数据中可能存在的不确定性，进而对比模型结果的统计分布与真实试验数据结果分布的一致程度。

不确定性下的模型确认度量方法主要包括随机不确定性框架下的模型确认度量方法和认知不确定性框架下的模型确认度量方法。本文以飞行器翼型绕流的CFD数值模拟为研究背景，主要介绍CFD模拟中面临的各种不确定性因素，探讨传统的随机不确定性下模型确认度量方法在CFD技术中的应用条件和适用范围。着重介绍在认知不确定性下的模型确认度量方法，包括几类重要的区间、概率盒下模型确认度量方法。最后，通过NACA0012翼型绕流问题说明CFD技术中考随机和认知不确定性下的模型确认度量方法的有效性。

1 CFD数值模拟中的不确定性

在飞行器翼型绕流问题中，CFD数值模拟的可信度很大程度上取决于数值仿真模型能否准确地反映真实的流体运动过程。然而，由于真实物理过程的复杂性以及人们的认知偏差，CFD数值仿真模型不可避免地存在随机和认知不确定性，主要有以下3方面来源：

1) 模型形式不确定性：这类不确定性属于认知不确定性，产生于认识不充分或知识不完备情况下构建的不准确的物理模型，主要集中在针对湍流流场的求解上。湍流是一种高度复杂的三维非稳态、有旋的不规则运动，其包含的物理参数随时间与空间发生随机变化。CFD求解湍流的方法之一就是引入湍流模型，然而，现实中存在十余种不同形式的湍流模型，多个湍流模型的选择就不可避免地引入模型形式的不确定性。一般而言，湍流模型包括了基于Boussinesq假设的涡黏性模型和基于雷诺应力输运方程的二阶矩封闭模型。前者包括Spalart-Allmaras、-、-、SST等湍流模型，但这些模型均忽略了湍流场应变的历史效应，且模型性能与具体翼型相关。后者将Navier-Stokes (N-S)方程右端项(生成项、扩散项、耗散项)用平均流动的物理量和湍流的特征尺度表示，人为引入了各向同性等假设。CFD使用的湍流模型都引入了假设项，因此没有任何一个模型能完全精确地模拟真实流体的运动。湍流模型各种假设项也从另一方面产生了模型形式的不确定性。然而，研究模型形式的不确定性计算量较大、处理方式复杂，相关的研究进展还非常缓慢。现有处理模型形式不确定性的方法均考虑不同雷诺数来流，利用各种湍流模型展开研究，从而进行模型选择。

2) 模型参数的不确定性：这类不确定性既包含边界条件、几何尺寸等参数的随机不确定性也包含数值模型，如：湍流模型、参数的认知不确定性。首先，作为模型输入参数的边界条件，如：压力、速度、流量、体积分数、雷诺数、攻角等物理量时常因为条件限制而无法测量或测量误差而造成随机不确定性。另外，由于制造误差、工艺波动、翼型结冰等因素，无法用确定几何描述真实翼型尺寸，从而出现几何尺寸参数的随机不确定性。另一方面，在数值模型中，模型参数存在着由于经验不足造成的认知不确定性。以湍流模型为例，Spalart-Allmaras模型中卡门常数的设定、-和SST模型中壁面普朗特数的设定等均存在主观性。不同的流动特性影响着湍流模型参数的选取，不同的专家在设置这些参数时也是根据自身经验设定，因此很难给出一个确切的参数取值。已有文献集中于研究模型参数不确定性如何影响CFD模拟输出的结果。例如，陈江涛等同时考虑了Spalart-Allmaras模型中的9个模型参数，通过Sobol指标量化每个参数的不确定度对输出不确定度的影响。王晓东和康顺研究了流体黏性系数的不确定性对流场速度分布的影响，表明流体黏性系数对不确定性传播具有阻滞作用。钱炜祺等研究了Spalart-Allmaras模型参数在不同工况下对某战斗机升力系数和阻力系数的影响，结果表明不同工况下，湍流模型参数对CFD计算结果的影响规律不同。Erb和Hosder讨论了3种常用的湍流模型，通过灵敏度分析研究了存在激波的情况下各个模型参数的不确定性对升力系数等响应量的影响，并将结果与低速和跨声速情况下的结果进行了比较。

3) 模型数值离散不确定性：这类不确定性属于认知不确定性，产生于对控制方程及边界条件的离散化。CFD数值求解分为2种方式：瞬态求解和稳态求解。对于瞬态求解，时间离散的有限精度将导致数值解与仿真精确解之间的误差。为了能够准确地捕捉流动的各个尺度，采用的网格尺度必须与最小的Kolmogorov耗散尺度相当，且计算域应大于最大的含能涡尺度。事实上，通过该方法得到的三维总网格数太大、不现实，而当网格密度不满足条件时，就不可避免地带来数值解与精确解之间的误差，从而造成数值离散的不确定性。数值离散不确定性进一步可以分为：截断误差和迭代误差。所谓迭代误差是指在同一套网格上迭代终止时数值计算所得出的解与离散方程解的偏差。截断误差则是指不同精细的网格所计算的数值解与真实解之间的误差。现有的处理和分析模型数值离散不确定性方法主要是Richardson外推法。Richardson外推法旨在利用数值解关于精确解的泰勒展开幂级数，得到网格收敛指数(Grid Convergence Index, GCI)，并利用GCI估计网格离散误差的不确定度。赵训友等使用基于Richardson外推的GCI方法，研究了低雷诺数二维非对称圆管绕流模型的升力系数和阻力系数，并给出它们的数值离散误差。Xing和Stern比较了不同的GCI方法，提出了新的安全系数法，并将其应用于船舶水动力学。Eca和Hoekstra基于最小二乘估计改进了原有的GCI方法，并用4个不同领域的工程案例验证了所提方法的优良性能。

通常情况下，边界条件、几何尺寸等参数的随机不确定性可用概率分布表征，而模型参数的认知不确定性可用主观概率方法 (如：贝叶斯理论) 或非概率方法 (如：区间理论、D-S证据理论、概率盒理论、模糊理论等) 表征。通过不确定性传播方法，可以计算CFD系统输出响应的不确定性。由于CFD数值模拟的系统输出带有随机和认知不确定性，必须扩展现有的模型确认度量方法以适用于各种不确定性下的CFD模拟模型确认问题。对于翼型气动CFD仿真问题，由于试验环境的变化，来流参数迎角、马赫数等会发生随机波动而具有随机不确定性。因此，使用随机不确定性下的模型确认度量方法进行模型确认更为合理。若进一步需要考虑由于测量仪器的精度问题带来的来流参数的认知不确定性，此时应使用混合不确定性下的模型确认度量方法进行模型确认。

2 随机不确定性下的模型确认度量方法

在CFD数值模拟中，模型确认度量是模型选择和模型可信度评估的重要依据，能为数值仿真的模拟结果与真实试验数据的一致性提供定量评判指标。仅当模型确认度量结果满足应用要求的CFD模型才能用于分析和设计；不满足要求的模型则需要进一步修正，甚至要对建模方法做较大改进或重新选择其他模型。模型确认度量方法分为确定性模型确认度量方法与不确定性模型确认度量方法2类。传统的确定性模型确认度量方法使用和均方根误差 (Root Mean Squared Error, RMSE)，忽略了数值仿真模型和真实观测数据中潜在的各种不确定性，如：模型参数不确定性、试验测量不确定性、观测数据不足等)以及模型输入参数与试验值不一一对应的现象。不确定性下的模型确认度量方法则是需要全面考虑模型和真实试验数据中可能存在的不确定性，进而对比模型结果的统计分布与真实试验数据结果分布的一致程度。以下将首先介绍不确定性下模型确认度量方法应具备的6个基本性质。其次，介绍4种主流的不确定性模型确认度量方法及其应用条件和适用范围。

模型确认度量是对模型输出响应与试验观测数据之间一致性的定量度量。Liu等提出模型确认度量方法应该具备以下6个基本性质：

1) 模型确认度量方法应该是定量的方法且具有客观性。对于给定的模型输出响应与试验观测数据集，不同决策者应该给出相同的模型确认结果，与决策者主观偏好无关。

2) 确定是否接受某模型的标准应该与模型确认度量结果相独立。

3) 模型确认度量方法需要尽可能考虑各种不确定性源。

4) 模型确认度量方法能够提供与试验数据量相关的置信度。

5) 模型确认度量方法应能区分不确定性大小不同的模型；换句话说，如果模型中引入过多的不确定性，模型确认度量结果不应认为该模型更好。

6) 确认度量不仅能够对模型响应和试验观测进行“单点”比较，也能将“多点”试验数据集成起来对模型的全局预测能力进行评估。

这6个性质已成为模型确认度量方法优劣判断的基本准则。一个模型确认度量方法满足上述性质越多则越优。下面将主要介绍4类主流的模型确认度量方法。

在随机不确定性框架下，模型确认度量方法主要分为4种：① 经典的假设检验(Classical Hypothesis Testing)；② 贝叶斯因子(Bayes Factor)；③ 频率度量(Frequentist’s Metric)；④ 面积度量(Area Metric)。前两者属于假设检验的方法，能给出模型与真实试验数据是否一致的结论以及置信度，但不可避免第一类错误(即“弃真”错误)和第二类错误(即“纳伪”错误)；后两者是基于距离的方法，能在统计意义上给出仿真模型与真实试验数据的偏离程度，而并非直接判断仿真模型与真实试验数据是否一致。

经典假设检验方法利用试验数据构造检验统计量，能够以一定的置信度拒绝模型。它的特点是随着试验数据量的增加，对于预测与试验结果偏离较大的模型，拒绝率会增加；而对于预测与试验结果吻合的模型，拒绝率几乎不变，因此经典的假设检验有更高的机率拒绝偏差较大的模型，这对于试验数据量较多的工程问题(如：管道的应力和应变试验等)比较适用。然而，当可获得的试验数据仅有一个(如：高超声速飞行器试验等)，该方法不能分辨模型的优劣，因为单个试验数据无法计算样本方差，此时基于单个试验数据的模型确认结果可能不会拒绝预测结果偏差较大的模型。

与经典的假设检验相反，贝叶斯因子方法给出接受模型的置信度，其计算公式为

(1)

式中：(,)是备择假设下均值和方差的先验概率密度函数，(,|data)是给定物理观测值data的情况下均值和方差的后验概率密度函数。使用贝叶斯因子方法需要知道关于试验数据均值和方差的先验信息，因此该方法非常适用于含有大量历史试验数据的工程应用；若无先验信息可用，则人为设置无信息先验。贝叶斯因子方法的取值范围为∈[0,+∞)。当>1时，可以接受模型(反之则拒绝)。随着试验数据量的增加，对于预测与试验结果吻合的模型，接受率会增加；对于预测与试验结果偏离较大的模型，接受率会降低。即使只有一个试验数据，贝叶斯因子方法也能分辨模型的优劣，但当试验数据量很少时，贝叶斯因子方法对备择假设的先验分布十分敏感，因此该方法对试验数据量较多的工程问题也是非常适用。

频率度量方法通过测量模拟中响应的平均值与试验的平均值之间的距离，量化模拟与试验数据的一致性。频率度量距离的范围是[0,+∞)，距离越小，表明数值模拟与真实物理过程的一致程度越高。当试验数据缺乏时，该距离具有不确定性，可以通过置信区间来量化，置信区间可以表示为

(2)

面积度量使用响应的累积分布函数(CDF)与试验数据的经验分布函数之间的面积来量化模拟与真实物理试验的一致性，如图2所示。2个分布之间的面积可以表示为

(3)

式中：()为响应的累积分布函数，()为试验数据的经验分布函数。面积度量取值范围是[0,+∞)，面积度量值越小，表明数值模拟

图2 面积度量方法示意图Fig.2 Illustration of the area metric

与真实物理过程的一致程度越高。随着试验数据量的增加，面积度量的结果趋向于真实的面积值。当模型参数不确定性增大时，面积度量的结果也会相应增大。因此，面积度量能够区分含有不同不确定度的模型。面积度量在模型确认中的一个显著优势是它能够在多个确认点整合稀疏的试验数据，以评估模型在特定目标区域的整体预测能力，因此，该方法适用于多个边界条件下存在试验数据的工程问题(如：涡轮机叶片翼型的风洞试验等)。然而在试验数据缺乏时，试验数据的经验分布函数与其真实分布存在差异，将导致面积度量的结果不准确。

4类主流模型确认度量方法的优劣对比如表1所示。从表中可以看出，面积度量方法较其他3种方法满足更多的基本特征，且由于其能区分不同不确定度的模型和全局评估能力，近年来受到了广泛关注。现有的认知不确定性下模型确认度量方法也都是在面积度量方法上做出扩展。

表1 4类主流模型确认度量方法的优劣对比

传统的面积度量方法仅适用于一维或多维独立的模型。工程中的模型往往是多维相关的，此时上述面积度量方法就不再适用了。所以，在面积度量方法的基础上，Li等提出了基于概率积分转换(Probability Integral Transformation, PIT)的指标法用于解决相关多输出情况下的模型确认度量问题。赵亮和杨战平通过构造与试验观测数据相关的协方差矩阵，提出一种基于面积度量的多响应确认度量方法，能够量化各响应数据间的相关性，并用热传导模型确认挑战问题验证了所提方法的有效性。赵录峰等基于随机变量的数字特征，构建了由多输出数学期望列阵与协方差矩阵组成的多输出模型确认混合矩指标。PIT方法的优点是在模型确认时考虑了多个输出的相关性，但PIT指标法需要求解模型输出的联合累积分布函数，这在输出维度很高时是很难准确求得的。为了避免求解高维联合累积分布函数的问题，胡嘉蕊和吕震宙将该主成分分析与面积度量相结合，构造了一种易于计算、稳定性高的模型确认指标，克服了传统多输出模型确认度量方法中求解联合累积分布函数的困难。张保强等引入马氏距离对多响应模型确认问题进行降维，将多响应量的联合累积分布函数转化为单维的马氏距离累积分布函数，大大降低了计算成本。Mahadevan和Rebba基于假设检验对多响应模型进行确认，提出了一种Box-Cox转换方法简化了多维概率密度函数的计算与构造。

3 认知不确定性下的模型确认度量方法

本节将介绍考虑数值模拟或试验数据存在认知不确定性时，传统面积度量方法的扩展，包括区间和概率盒下的模型确认度量方法。

3.1 区间变量下的面积度量方法

实际工程中，由于试验数据稀疏或不精确，往往难以获得某个模型参数完整的统计信息，用区间变量描述模型参数的不确定性更为合理。肖钊等将区间变量转化为均匀分布，利用均匀分布的累积分布函数量化了试验区间响应与模拟区间响应，并用2条累积分布函数之间的面积作为模型确认度量，如图3所示。模拟区间响应可以通过求解如下优化问题获得：

(4)

式中：表示模型不确定性参数矢量，区间变量

图3 基于区间变量的面积度量Fig.3 Interval-based area metric

的不确定传播问题成为在输入变量空间为情况下，求模拟响应的区间值[,]的问题。试验区间响应可以通过以下公式计算：

(5)

其中：min()和max()分别表示试验数据得最小值和最大值，为试验数据个数，试验区间响应表示为[,]。

由此，文献[46]中的面积度量计算公式为

(6)

式中：()和()分别为模拟区间响应、试验区间响应的均匀分布累积分布函数。面积度量的取值范围是[0,+∞]，越小表明数值模拟的结果越精确，如果数值模拟能够完全反映真实的物理过程，则理论上为0。

3.2 考虑试验数据量的区间面积度量方法

(7)

(8)

图4 3种情况下的面积度量Fig.4 Three typical situations of area metric

(9)

3.3 概率盒的面积度量方法1

当同时存在随机和认知不确定性时，不确定性量通常可以表示为概率盒，文献[24]提出了一种用于比较概率盒的面积度量方法，如图5深色阴影部分所示。该方法计算相同概率水平下试验样本数据概率盒的不确定性区间与数值模拟结果概率盒的不确定性区间的差值的绝对值的最小值，并在概率空间上对该最小值进行积分，即可得到数值模拟结果与真实试验数据的偏离程度。当面积度量=0时，不能得出模型形式不确定性为零的结论，只能说明没有证据证明试验数据与模拟响应的不一致。因此，单一的面积度量严重低估了模型形式不确定性。文献[24]克服了这一缺点，将概率盒的面积度量由单一值扩展到区间值。面积度量区间值的上下界定义为

(10)

图5 概率盒的面积度量1Fig.5 First type of area metric under P-Box

(11)

式(11)表示当为区间中任意值、为区间中任意值时，|-|的最小值和最大值。

3.4 概率盒的面积度量方法2

赵录峰等提出了一种新的概率盒面积度量方法，如图6所示。该方法首先计算模拟响应与试验数据概率盒的上边界之间的面积，再计算模拟响应与试验数据概率盒的下边界之间的面积，2个面积之和为概率盒的面积度量。面积度量的计算公式为

(12)

由图6和式(12)可以推断当数值模型和真实物理模型完全一致时，模拟响应概率盒的上、下边界曲线将与试验数据概率盒的上、下边界曲线重合，即面积度量值趋于零。如果数值模型和真实物理模型不一致且差异程度越大，那么模拟响应概率盒的上、下边界曲线将与试验数据概率盒的上、下边界曲线差异越大，面积度量值也越大，反之亦然。因此，该度量方法可以客观地评估数值模型描述真实物理模型的准确程度。

图6 概率盒的面积度量2Fig.6 Second type of area metric under the P-Box

3.5 概率盒的面积度量方法3

McKeand等提出了一种平均曲线法，极大简化了概率盒的面积度量计算，如图7所示。该方法将数值模拟响应的概率盒转换为单个累积分布函数(即平均曲线)，然后比较数值模拟响应的平均曲线与试验数据的经验分布函数。面积度量定义为

(13)

求取概率盒的平均曲线的方法有很多，这里文献[54]提出的2层嵌套式传播算法，首先获得概率盒的上、下边界数据和，然后平均曲线的数据可以由式(14)获得：

=05×(+)

(14)

图7 概率盒的面积度量3Fig.7 Third type of area metric under P-Box

4 工程算例

4.1 NACA0012翼型绕流的模型确认问题

将上述的模型确认度量方法应用于典型机翼空气动力学问题，可有效地评估这些方法的性能。本文研究的是二维可压缩流动下的NACA0012翼型绕流问题(如图8所示)，模型边界条件是迎角和马赫数，模型输出是升力系数。NACA0012翼型绕流问题的数值仿真模型使用ANSYS/FLUENT19.0进行构建。由于求解一次数值解的时间长，不利于进行不确定性的量化与传播，故使用高斯过程(Gaussian Process, GP)模型代替FLUENT构建的数值模型。

图8 NACA0012翼型绕流网格划分示意图Fig.8 Illustration of flow meshing of NACA0012 airfoil

4.2 确定性模型确认度量方法的结果

为研究确定性模型确认度量方法的模型确认错误率，假设NACA0012翼型升力系数的试验数据由式(15)获得：

(15)

表2 确定性条件下预测模型的数学公式

在确定性度量的背景下，CFD数值模拟中不存在任何不确定性，因此模型1和模型2的迎角设为定值5°，模型1和模型2相应的升力系数分别为0.620 9和0.571 1。使用确定性度量指标RMSE进行模型确认。由于RMSE属于确定性模型确认度量，未考虑CFD仿真中的各种不确定性，因此模型确认结果可能出错(即模型确认结果表明模型2优于模型1)。该算例使用式(15)生成1 000个试验数据，使用每个试验数据对模型1和模型2进行模型确认，计算得模型确认的错误率为35%。该算例表明使用确定性模型确认度量方法对CFD模型进行模型确认将有35%的概率选择错误的模型。

4.3 随机不确定性下模型确认度量方法的结果

为了分析随机不确定下模型确定度量的性质，假设NACA0012翼型的试验数据通过式(15)获得。其中，～(5,05)表示迎角服从正态分布，=05表示马赫数真实值为0.5。此外，设计了2个预测模型，如表3所示。模型1与试验模型完全一致，可认为是正确的预测模型；模型2的马赫数为0.3，代表错误的预测模型。

表3 随机不确定性下预测模型的数学公式

为了分析经典假设检验方法的性质，我们在置信度为95%进行1 000次假设检验，以获得模型的拒绝率。表4结果表明随着试验数目的增加，模型1的拒绝率在7%上下波动，而模型2的拒绝率显著提高，这表明增加试验数据，有更大的几率拒绝错误的模型。当试验数目为20时，模型2的拒绝率高达99.7%，表明接受错误预测模型的概率仅为0.3%，且与确定性模型确认度量RMSE的结果相比，错误率显著降低。此外，在相同的试验数目下，模型2比模型1的拒绝率更高，这表明经典的假设检验可以辨别模型的优劣。

表4 模型拒绝率随试验数目的变化

为了研究贝叶斯因子的性质，假设升力系数均值的先验分布服从区间为[-,+]的均匀分布，标准差的先验分布服从区间为[05,2]的均匀分布，和分别表示预测模型升力系数的均值和标准差。在相同的试验数目下计算1 000次贝叶斯因子的值，统计>1的次数，/1 000为模型的接受率。表5展示了随着试验数目的增加，模型1的接受率增加，模型2的接受率降低，并且相同的试验数目下，模型1比模型2的接受率更高。这表明增加试验数据，有更大的几率接受正确的模型，并且贝叶斯因子能够辨别模型的优劣。

表5 模型接受率随试验数目的变化

为了研究频率度量的性质，在相同的试验数目下计算1 000次预测模型均值与试验模型均值之间估计误差的95%置信区间，区间上下界为1 000次的平均值。并研究随着试验数目的增加，估计误差的置信区间如何逼近真实误差。模型1的模型形式与试验模型完全一致，所以它们均值之间的真实误差为0；模型2与试验模型的马赫数不同，它们均值之间的真实误差为0.06。图9给出了估计误差的95%置信区间随着试验数目的变化趋势，可以看出，随着试验数目的增加，模型1和模型2的区间宽度变窄，并始终包络各自的真实误差。此外，模型2的估计误差的区间始终在模型1之上，这表明频率度量也能区分模型的好坏。

图9 估计误差的95%置信区间随试验数目的变化Fig.9 95% confidence intervals of estimation error with the number of experimental data

为了研究面积度量的性质，在相同试验数目下计算了1 000次面积度量值，并绘制了面积度量值的概率密度函数，如图10所示。模型1和模型2的真实的面积度量值分别是0和0.06。随着试验数目的增加，模型1的面积度量值的分布逐渐靠近其真实值0，但始终比0大(高估了模型偏差)。这是因为经验分布函数与累积分布函数之间的面积始终大于0。随着试验数目的增加，模型2的面积度量值的分布变窄并包络其真实值0.06。此外，比较相同试验数目下模型1与模型2的面积度量值的分布，模型2面积度量值的分布位于模型1的右侧，这表明面积度量能够区分模型的好坏。

图10 面积度量值的分布Fig.10 Distributions of area metrics

4.4 基于区间变量的面积度量结果

为了研究基于区间变量的面积度量的有效性，假设NACA0012翼型升力系数的试验数据由式(15)获得。迎角∈[3°,6°]为一区间变量，=05表示马赫数的真实值为0.5。此外，设计了与该物理试验对应的2个预测模型(即生成模拟响应的模型)，如表6所示。

由表6可知，模型1与试验模型完全一致，代表正确的预测模型，因此模型1确认结果的真实值为0；模型2的马赫数为0.3，与试验模型的马赫数不一致，代表不准确的预测模型，模型2确认结果的真实值为0.044 4。模型1的确认结果应比模型2的确认结果好。

表6 认知不确定性下预测模型的数学公式

表7 基于区间变量的面积度量结果均值Table 7 Average area metric results by interval variables

4.5 考虑试验数据量的区间面积度量结果

假设NACA0012翼型升力系数的试验数据由式(15)获得，其中迎角～(5,05)具有随机不确定性，=05表示马赫数的真实值为0.5。生成2个预测模型，如表3所示。模型1与试验模型完全一致，代表正确的预测模型，模型1确认结果的真实值为0；模型2与试验模型的马赫数不一致，模型2确认结果的真实值为0.06。

如表8所示，相同试验数目下，模型1的确认结果比模型2的确认结果好，这表明区间面积度量能够判断模型的优劣。如图12和图13所示，大多数传统面积度量值落在相应的区间面积度量所形成区间内，这表明区间面积度量是对传统面积度量的区间估计。对于模型1，区间面积度量的下界随着试验数目的增加趋近与真实值0，但始终大于0，这是因为经验分布函数与累积分布函数之间的面积始终大于0，这一结论与Liu等的结论一致。因此，区间面积度量在确认正确的模型时会高估真实的模型偏差。对于模型2，真实的面积度量值0.06都落在相应的区间面积度量所形成区间内，这一结论能够很好地应用于工程中。因为在工程实际中，仿真模型总存在模型不足，用试验数据来确认仿真模型的情形类似于这里介绍的确认模型2(错误的预测模型)的情形。因此，在工程中进行随机不确定性下的模型确认时，建议采用区间面积度量方法，它能给出真实模型偏差的区间估计。值得说明的是，区间面积度量方法是对传统面积度量的改进，其认识不确定性是由于对比的试验数据不足所造成的，而并非来源于仿真模型的参数。

表8 区间面积度量的模型确认结果均值

图11 Ne= 5时模型1的模型确认Fig.11 Model validation of model 1 when Ne= 5

图12 Ne= 5时区间面积度量与传统面积度量的比较Fig.12 Comparison of interval-valued area metric and traditional area metric when Ne= 5

图13 Ne= 20时区间面积度量与传统面积度量的比较Fig.13 Comparison of interval-valued area metric and traditional area metric when Ne= 20

4.6 概率盒下面积度量结果

假设NACA0012翼型的试验数据由式(15)获得，其中=05表示马赫数的真实值为0.5，迎角～([3,6],05)表示迎角服从标准差为0.5的正态分布，其均值未知，但在区间[3°,6°]内，这是一个典型的概率盒变量。升力系数的概率盒可通过外层随机内层认知的2层嵌套式传播算法获得。同时设置2个与试验模型对照的预测模型，如表9所示。模型1与试验模型完全一致，代表正确的预测模型，模型2与试验模型马赫数不同，代表错误的预测模型。

表9 概率盒框架下预测模型的数学公式

概率盒的面积度量方法1给出试验概率盒与预测模型概率盒的区间面积度量，如果试验数目足够多，如图14所示，则模型1与试验模型的概率盒完全重合，根据式(10)，其真实的区间为[0,0.36]；如图15所示，模型2与试验模型的概率盒部分重合，根据式(10)，其真实区间为[0,0.40]。概率盒的面积度量方法2计算的是试验与预测概率盒上界之间的面积与下界之间的面积之和，由图14和图15所示，模型1确认结果的真实值为0，模型2确认结果的真实值为0.99。概率盒的面积度量方法3以试验与预测概率盒平均曲线之间的面积作为度量，模型1与模型2确认结果的真实值分别为0和0.05。在相同的试验数目下使用相同的概率盒的面积度量方法进行1 000次模型确认，取其均值记录于表10。

图14 模型1与试验模型的概率盒(试验数目足够多)Fig.14 P-Boxes of model 1 and experiential model with enough experiential data

图15 模型2与试验模型的概率盒(试验数目足够多)Fig.15 P-Boxes of model 2 and experiential model with enough experiential data

表10展示了3种概率盒的面积度量随试验数目增加的变化结果。可以看出，对于同一方法、同种模型，随着试验数目增加，概率盒的面积度量趋于真实值；对于同一方法、同一试验数，模型1的确认结果均小于模型2的确认结果，这表明3种概率盒的面积度量方法均能够判断模型的优劣。再看同一模型、同一试验数下的3种不同的度量方法，可以看出方法3的度量值偏小，方法2的度量值偏大，而方法1的区间面积度量包含方法2与方法3的度量值，这表明概率盒的面积度量方法1能给出模型偏差的保守估计。因此，在工程中进行混合不确定性下的模型确认时，建议使用概率盒的面积度量方法1，因为它能给出模型偏差的保守估计。