一类具有时滞和不育控制的单种群模型

李秋英

(黄淮学院 数学与统计学院, 河南 驻马店 463000)

农业、林业、牧业等一直以来遭受鼠害带来的巨大损失,许多流行病的病原体也以害鼠为主要宿主,这对人类健康构成了极大的威胁.在害鼠类控制方面,传统的药物毒杀方法存在灭效短、易反弹、误伤非靶向生物甚至还会破坏生态系统的稳定性,而不育技术作为其补充和替代,具有显著的优势[1-2].不育防控可以通过结扎输卵管和输精管实现[3],也可以通过投放含有不育剂的饵料,使靶向动物通过取食而不育,还可以使靶向动物感染特殊的病毒,而导致不育[4-5].室内和田间的试验研究表明,对害鼠实施不育处理后,害鼠种群中能参与有效生育的个体会受到不育个体竞争性干扰的影响,且不育个体还会继续占有生存空间,使用生存资源,这就会影响害鼠种群的出生率,并且有效延缓种群数量的恢复.基于此,本文分析不育控制下出生具有密度制约的单种群动力学行为.

数学模型常被用来研究种群规模的发展变化规律[6-11],如Zhang[10]根据生态学原理,给出了关于害鼠种群稳态的差分模型,结论表明在不考虑竞争性繁殖干扰情况下,不育控制可达到单纯杀灭的控制效果,若考虑不育个体对正常生育个体的竞争性繁殖干扰,则不育控制的实际效果将明显优于单纯灭杀.刘汉武等[11]建立了一类不育控制下的单种群模型(1),分析了平衡点的全局渐近稳定性,讨论了灭杀和不育剂的作用效果.

(1)

由于药物不育剂并不能使害鼠达到终生不育,如,炔雌醚对长爪沙鼠的不育效果大约维持90天[12].因此结合模型(1),建立了一类不育剂具有有效期的单种群模型(2).本模型假设t=0开始实施不育控制措施,且此时不育者数量为0.希望根据此模型,分析不育控制及药物的有效期对种群动态的影响,进一步认识不育剂对害鼠繁殖行为的影响,从而为利用不育剂防控害鼠提供理论指导.

(2)

式中:x(t),y(t)分别表示在时刻t可育、不育的个体数量;b为种群的出生率;d1为可育个体的自然死亡率;d2为不育个体的死亡率;k为种群出生的密度制约系数;μ为可育个体到不育个体的转化率;τ为不育剂的有效期.所有参数都是正的.考虑到药物的适口性和系数的实际含义可得,d2≥d1；且1>d2≥d1,μ<1.

本文假设系统(2)的初始条件满足：x(0)>0,y(0)=0.

1 解的有界性

当0≤t<τ时,根据系统(2)的第二个方程可得

因此当0≤t<τ时,y(t)>0.当t≥τ时,由系统(2)的第四个方程可得

进而有

定理2系统(2)的解是最终有界的.

证明令函数ρ(t)=x(t)+y(t),则函数ρ(t)沿着系统(2)的解的导数为

故

2 平衡点的稳定性

下面考虑t≥τ时,系统(2)平衡点的存在性和稳定性.即考虑下面系统平衡点的存在性和稳定性.

(3)

定理3若μ>R0,则系统(3)的平衡点E0是全局渐近稳定的.

证明易得系统(3)在平衡点E0处的特征方程为

即(λ+(d1+μ(1-e-d2τe-λτ)-b)(λ+d2)=0.

显然λ1=-d2是其负特征根.对于方程

λ+d1+μ(1-e-d2τe-λτ)-b=0

(4)

设其根为λ(τ).当τ=0时,根据条件可得其特征根λ(0)=b-d1≤0.当τ>0时,假设方程(4)存在纯虚根λ(τ)=iw,将其代入方程(4),并分离其实部和虚部有

(5)

分别对式(5)的两边求平方,进而求和可得

由条件可得w2<0,这导致矛盾,故方程(4)不具有非负实部的根.从而特征方程(4)的根的实部都是负的,所以零平衡点E0是局部渐近稳定的.

下证平衡点E0是全局渐近稳定的.

(6)

根据不等式(6),作辅助方程

(7)

式中:x(θ),θ∈[0,τ)为系统(2)的第一个方程的解.显然系统(7)的非负平衡点只有零平衡点.易得系统(7)的零平衡点是局部渐近稳定的.构造函数

显然V(z(t))为正定函数,且沿着系统(7)的导数为

定理4若μ

证明易得系统(3)在平衡点E+处的特征方程为

即

引进记号

f(λ,τ)=(λ+μe-d2τ(1-e-λτ)+kx*)(λ+d2)+kx*μ(1-e-d2τe-λτ)

当τ=0时,有f(λ,0)=(λ+kx*)(λ+d2),显然方程f(λ,0)=0的根都是负的.

当τ>0时,假设方程f(λ,τ)=0存在纯虚根λ(τ)=iw,将其代入f(λ,τ)=0,并分离其实部和虚部得

(8)

令z=w2,分别对方程组(8)的两等式两边先求平方再求和得

z2+pz+q=0

(9)

式中

若p≥0,结合q>0,则一元二次方程(9)显然没有正根,从而假设不成立.故超越方程f(λ,τ)=0的根都具有负实部.

若p<0,显然有|p|<2kx*μ(1-e-d2τ),而q>k2x*2μ2(1-e-d2τ)(1+e-d2τ).从而有

因此方程(9)不存在正根,假设不成立.从而有p<0时,超越方程f(λ,τ)=0根都具有负实部.综合以上可得正平衡点E+是局部渐近稳定的.

证明由系统(3)的第一个方程可得

(10)

由不等式(10),作辅助方程

(11)

显然V(z(t)-z*)为正定函数,且沿着系统(11)的导数为

因此系统(11)的正平衡点是全局渐近稳定的.从而由不等式(10)和比较定理可得

(12)

类似于解的非负性质的证明过程,可得系统(3)的第二个方程的解为

(13)

由不等式(12)和等式(13)可得

(14)

结合式(14)和系统(3)的第一个方程可得

从而有

(15)

重复式(10～15)过程n次可得

和

无限的重复下去可得

进而可得

综合以上可得正平衡点E+是全局渐近稳定的.

3 结论

本文通过建立模型,在理论上分析了药物不育剂的可能控制作用,希望所得到的结论能对评价不育控制和实施不育控制有一定的指导作用．