参数不确定性环境下的CDS定价模型

张茂军，柴 过

（苏州科技大学商学院，江苏 苏州 215009）

1 引言

2008年雷曼兄弟公司破产引发了美国次贷危机爆发，其中一个重要原因是该公司交易的信用违约互换（Credit Default Swaps，简称CDS）出现了大规模违约.2007年末CDS的全球规模达到62万多亿美元，这次危机造成了CDS规模大幅萎缩，截止2012年CDS的规模下跌为大约26万亿美元.这暴露了CDS存在的一些严重问题，其中CDS定价成为了学术界备受关注的问题之一.

已有CDS定价原理是建立在参照实体和交易对手的违约概率和回收率是确定和唯一的假设之上.然而，由于信息不对称性和市场不完备性的原因，投资者不能完全知道违约概率和回收率等参数的精确值，即这些参数具有不确定性.1921年Knight认为经济客体的未来状态发生的概率具有不确定性.这种不确定性被称为Knight不确定性.学者们将Knight不确定性进行了深入研究，将其拓展为概率不确定性和参数不确定性，并且开展了相关研究.如Knight不确定性如何影响资产价格和投资策略[1-2]，用Knight不确定性可以更加合理地解释金融市场之迷，如股票溢价和波动之谜[3]，期权定价中的Knight不确定性[4].

然而，目前未曾见到在CDS定价中考虑Knight不确定性的相关研究.事实上，在CDS定价中存在Knight不确定性，主要表现为：一是违约概率具有不确定性.在CDS定价中，刻画违约概率的模型主要包括结构化模型和强度模型，这些模型是否能更好地刻画参照实体和交易对手的违约概率尚无定论，只是依据研究者考虑问题的侧重点不同而定，这种模型的不确定性必然带来违约概率的不确定性.而且，由于CDS是一种场外交易产品，不仅金融市场不完备而且交易对手之间的信息也不对称，很难精确地知道参照实体和交易对手的违约概率，因此，违约概率具有不确定性.二是在CDS定价中回收率具有不确定性.在已有的研究中需要用历史数据估计回收率，而数据的不精确性会造成回收率具有不确定性.

所以，这种不确定性扭曲了CDS的价格，严重影响了CDS的交易机制和市场效率.如何刻画这些参数的不确定性是核心问题.目前的主要研究方法是稳健性方法（Robust Approach）.这种方法的一个前提假设是决策者知道参数的精确集合，而不知道哪个参数为最优.如，决策者知道违约概率可能属于集合{0.2，0.3，0.5，0.8}，而不知道这四个概率哪个最符合实际情况.因此，决策者借助于极大极小决策思想，通过最小化参数的不确定性，得到了“最坏情况下最好”的结果.这种方法已经被用于股票定价[5-6]的研究中.

然而，在CDS定价研究中，由于数据不精确性和信息不对称性等原因，决策者不能完全知道违约概率和回收率等参数的精确集合，而是只能用实际数据估计出这些参数的一个近似值，如违约概率“大约为0.65”，这种不确定值隐含着数据模糊信息.因此，可以用模糊数刻画这种不确定性.学者们已经用模糊数刻画期权定价中参数的不确定性，并且取得了一定的研究成果.韩立岩和周娟[7]首次用模糊数刻画Knight不确定性并且应用于期权定价，张茂军等[8]用直觉三角模糊数刻画欧式期权定价中的不确定性，秦学志等[9]研究了基于长记忆性特征的欧式期权模糊定价模型，王献东和何建敏[10]分析了模糊随机不确定环境下考虑决策者主观判断的亚式期权定价问题.

鉴于以上对CDS定价中违约概率和回收率等参数不确定性的分析，本文利用三角模糊数刻画违约概率和回收率的不确定性，构建了CDS模糊定价模型，利用均衡定价原理和模糊数的运算法则得到了CDS价格也是一个三角模糊数，这不仅体现了参数不确定性导致了CDS价格的不确定性，而且反映了信息不对称性和数据不精确性对CDS价格的影响.所以，投资者可以结合已有的经验和对不确定性的偏好程度，更加客观地评估CDS的价格.

2 文献综述

CDS是一类信用衍生产品，如何度量参照实体或交易对手的违约概率成为了CDS定价研究的核心问题之一.常用的度量违约概率的两类模型是结构化模型和强度模型，下面分别从这两类模型评述CDS的相关研究.

一是以结构信用风险模型为基础的CDS定价.Merton[11]首次提出了结构信用风险模型，其基本思想是在市场完备性的假设下认为公司价值由权益和负债构成，如果公司价值在债券到期日时小于债券票面价值，那么公司资不抵债就发生违约，并且利用期权定价方法计算违约概率.然而，公司有可能在债券到期日之前发生违约，违约阈值未必是债券票面价值，而是一个与时间相关的值.于是，Black和Cox[12]提出了在债券到期日之前公司违约的首达违约模型，并利用布朗运动的首达概率计算违约概率.许多学者从其他方面推广了Merton的结构模型，如Hackbarth等[13]研究的状态依赖模型.在CDS定价方面，学者们用结构信用风险模型计算CDS的价格.Hull和White[14]用结构信用风险模型描述参照实体的违约过程，分别研究考虑交易对手违约和不违约情形下的CDS定价问题，并且利用Monte Carlo模拟方法计算CDS的价格.Kim等[15]利用首达结构模型研究了交易对手违约风险和市场风险相关情形下的CDS定价，发现市场风险与信用风险的相关性对CDS价格的影响随着参照实体数量的增加而加大.Blanchet-Scalliet和Patras[16]用Merton的结构模型研究了考虑交易对手违约的CDS定价，给出了价格的解析表达式.

尽管，学者们已经用不同的结构信用风险模型计算参照实体和交易对手的违约概率，进而在市场完备性的假设下利用无套利原理研究CDS的定价问题，得到了CDS理论价格的解析表达式.然而，在实际应用中这种定价方法存在不足，主要表现为：计算价格的公式很复杂，在实际定价过程中很难实现；由于CDS交易是一种场外交易，交易过程存在信息不对称和不透明度现象[17]，交易对手很难知道参照实体的资本结构，因此，用结构模型测量的违约概率不准确，具有不确定性.

二是以强度模型为基础的CDS定价研究.在强度模型中参照实体的违约不是由企业价值决定，而是由外部环境决定，用泊松过程的首达事件刻画违约事件.Duffie和Singleton[18]首次构建了强度信用风险模型.这类模型已经成为研究信用衍生品定价的主流模型，并且在CDS定价研究中取得了诸多成果.在强度模型的基础上，考虑交易对手违约的含有单个参照实体的CDS的定价问题已经成为了学者们研究的焦点.Jarrow和Yu[19]首次研究了这类CDS定价问题，分析了交易对手违约损失对CDS价格的影响.Leung和Kwok[20]研究了交易对手违约和参照实体违约的内部相关结构问题，认为交易对手违约密度的增加导致了参照实体违约概率的增加.Brigo和Chourdakis[21]在违约强度是随机变量的条件下，研究交易对手违约对CDS价格的影响.王琼和陈金贤[22]研究了基于跳-扩散过程的CDS定价模型，詹原瑞等[23]用copula函数族研究了CDS组合的定价问题，庞素琳和王立[24]研究了信用贷款风险中反向CDS协议设计与定价，陈正声和秦学志[25]探讨了交易对手间三种违约相关情景下的CDS定价，陈艳声等[26]考虑一般均衡下基于产品市场和资本市场的单名CDS定价问题，陈庭强等[27]首次从投资者情绪和偿债能力角度分析了CDS交易对手流动性风险的传染机制，为CDS设计提供理论支持.

本文利用三角模糊数刻画CDS中违约概率等参数的不确定性，研究CDS的定价问题.论文的结构安排如下：第三节是三角模糊数及其运算法则，为CDS的模糊定价提供计算方法；第四节是CDS定价模型及其求解过程，利用三角模糊数的运算法则得到了CDS溢价的解析解；第五节给出一些数值算例，说明模型和方法的有效性和实用性；最后是论文的结论.

3 三角模糊数及其运算法则

本节给出三角模糊数定义和相应运算法则，为CDS模糊定价提供基础.首先给出三角模糊数定义如下.

定义 1[28]设是实数集R上一个三角模糊数，其隶属度为

三角模糊数的隶属函数如图1所示，

图1 三角模糊数的隶属函数

其次，下面给出三角模糊数的运算法则.

定义 2[22]设和为两个三角模糊数，是实数.三角模糊数的运算法则定义为

4 CDS的模糊定价模型

CDS是将某种债券的违约风险从合同买方转移到卖方的一类信用衍生产品，合同规定买方定期向卖方支付“保费”，当参照实体发生违约时，卖方必须向买方赔偿损失，其中的“保费”就是CDS的价格，又称为CDS溢价或利差.CDS合约由买方、卖方和参照实体构成.假设买方和卖方都不违约，只有参照实体存在违约风险，且参照实体为一个面值为1的债券，到期日为T.如果参照实体没有违约，买方向卖方每年支付溢价；如果参照实体违约，卖方向买方支付损失，并且买方停止支付溢价.

在计算溢价中，需要估计参照实体违约概率和生存概率.然而，由于实际数据不确定性和信息不完全性以及决策者主观判断性，使得违约概率和生存概率具有不确定性，如某个时间的违约概率为“大约0.17”.为了更加细腻地描述这种不确定性，我们用三角模糊数表示违约概率和生存概率.假设在没有前期违约概率的条件下，将参照实体的到期日分为n个时期.在ti个时期参照实体生存概率为三角模糊数，其中；；在 ti个时期和 ti＋1个时期期中的违约概率为三角模糊数，其中，而且违约概率和生存概率满足qi＋pi＝1；参照实体违约时的回收率也是三角模糊数，其中

进一步，假设违约发生时间在年中，并且在信用违约互换中信用保护付款时间在每个时期期终.我们将计算CDS溢价分为三部分.

第一部分是计算预期支付贴现值.买方给卖方支付第i个溢价的概率为i，对应溢价为，其贴现值为，其中常数r为无风险年利率，则所有预期支付贴现总和为

第二部分是计算在违约时应计预期支付的贴现值.由于假设在期中参照实体发生违约，对应累积应计支付期限为期中，所以应计支付数量为0.5，对应第i年应计支付期望值为，贴现值为，则所有应计预期支付贴现总和为

第三部分是计算预期损失贴现值.在前面假设中，参照实体违约总是发生在期中，对应第i个期中卖方支付给买方的违约保护预期损失是（，预期损失贴现值的总和为

根据无套利原理，CDS买方预期支付的贴现值等于预期损失的贴现值，所以根据式（9）、（10）和（11），CDS的理论溢价满足V＋U＝E，即

根据定义2中三角模糊数的运算法则，可知式（12）等价于下面的方程组

根据上面分析和公式（13）可以得到CDS价格满足下面定理.

定理.如果CDS中参照实体的违约概率、生存概率和回收率分别为三角模糊数，和，那么CDS溢价为，其中

根据上述定理可知式（14）是CDS溢价封闭解，并且CDS溢价是一个三角模糊数，其中s表示CDS溢价可能值，其值属于CDS溢价上限值和下限值，而且s的隶属函数反映了决策者对CDS价格不确定的偏好程度.而在经典CDS定价中，CDS溢价为[29]

在经典的CDS的溢价公式中，违约概率pi、生存概率qi以及回收率R都是精确数值，从而由公式（15）计算出的CDS的溢价也是一个精确数，并不能反映数据的不确定性.而事实上，由于违约概率和回收率等参数不确定的原因，CDS的溢价具有不确定性，因此，本文提出的计算CDS溢价的公式更能反映数据不精确性和信息不完备性，从而更加合理.

5 数值算例

为了说明第4节计算CDS溢价公式（14）的合理性，下面给出数值算例.假设在年初买方买进了一个参照实体的面值是1，距离到期日还剩5年的企业债券的CDS合约.而且用三角模糊数表示参照实体在5年内每年无条件违约概率和生存概率，如表1所示.

表1 无条件违约概率和生存概率

依据表1中的生存概率，可以计算CDS买方的预期支付的贴现值.由于参照实体的本金为1，无风险利率为每年r＝5%，贴现因子为e－0.05ti，所以可以计算预期付款的贴现值，如表2所示.如第ti＝2时，CDS买方支付溢价的概率为（0.960 1，0.960 4，0.960 8），贴现因子为0.904 8，此时的预期支付的贴现值为0.904 8×（0.960 1，0.960 4，0.960 8）＝（0.868 7，0.869 0s，0.869 3）.

表2 预期支付的贴现值

同理，表3给出了买方支付的应计付款贴现值.例如，违约概率发生在第三年年中的概率为三角模糊数（0.018 0，0.019 2，0.019 3），对应的累积应计支付的期限为半年，所以应计支付的数量为0.5，对应这一时间段的应计预期支付为0.5（0.018 0，0.019 2，0.019 3）＝（0.009 0，0.009 6s，0.009 7），对应的贴现值为（0.007 9，0.008 5s，0.008 0）.

表3 应计付款的贴现值

类似地，表4给出了参照实体发生违约时，CDS的卖方支付予买方的预期损失的贴现值.如违约发生在第三年年中的概率为（0.018 0，0.019 2，0.019 3），回收率＝（0.38，0.4，0.42），对应于第三年年中的预期损失为（0.018 0，0.019 2，0.019 3）×（1－（0.38，0.4，0.42））＝（0.010 4，0.011 5，0.012 0）其贴现值为（0.010 4，0.011 5，0.012 0）e－0.05×2.5＝（0.009 2，0.010 1，0.010 6）.

表4 预期损失的贴现值

由表2和表3，我们可知CDS买方预期支付的贴现值为（4.060 7，4.070 5s，4.018 2）＋（0.037 6，0.042 6s，0.046 6）＝（4.098 3，4.113 1s，4.127 8）.又由表 4 可知，CDS 买方预期损失的贴现值为（0.043 6，0.051 0，0.057 7），据式（12）知二者相等（4.098 3，4.113 1s，4.127 8）＝（0.043 6，0.051 0，0.057 7）.因此，根据三角模糊数的运算法则可得 CDS溢价为（0.010 6，0.012 4，0.014 0）.该三角模糊数表示CDS溢价的近似值，即CDS溢价用介于0.010 6和0.014 0之间的任意实数，而且利用公式（1）和（2）分别求出当CDS溢价介于0.010 6和0.014 0之间的隶属度和非隶属度，如表5和图2所示.

图2 CDS溢价的隶属函数

表5 CDS溢价的隶属度和非隶属度

从表5和图2可知，CDS溢价最可能值是0.012 4，它的隶属度和非隶属分别为1和0；CDS溢价的最悲观值和最乐观值分别为0.010 6和0.014 0，其隶属度和非隶属度分别均为0和1；其他CDS溢价的隶属度和非隶属度介于0和1之间，如CDS溢价0.012 1的隶属度和非隶属度分别为0.833 3和0.166 7，其中隶属度和非隶属度分别表示决策者认为CDS溢价为0.012 1的肯定程度为0.833 3、否定程度为0.166 7.这不仅反映了CDS溢价的不确定性，而且刻画了决策者对不确定性的偏好程度.

6 结论

信用违约互换是一类可以规避信用风险的重要金融衍生产品，在美国和欧洲国家的金融市场占有很大的市场份额.信用违约互换的“公平”价格，对于提高金融市场的有效性和流动性非常重要.在信用违约互换定价中，估计违约概率、生存概率以及回收率等参数是一个核心问题.然而由于数据的不精确性和信息的不完全性，使得这些参数具有不确定性，为此本文利用三角模糊数刻画这种不确定性，构建模糊信用违约互换定价模型，应用模糊方法研究信用违约互换溢价，得到了信用违约互换的价格为一个三角模糊数，反映了信用违约互换价格的不确定性，刻画了决策者的心理特征，并且给出了相应的数值算例说明模型和方法的有效性和适应性，为信用违约互换定价提供了一种新的方法和思想.

基于本文研究思想，未来我们将开展动态状态下的模糊不确定性CDS定价研究，同时结合行为金融学考虑投资者的非理性行为对模糊不确定性下CDS价格的影响机理.