基于分数布朗运动的亚式期权模糊定价研究

于 涛，韦才敏，，李傲霜，范 衠

（1.汕头大学数学系，广东 汕头 515063；2.汕头大学数字信号与图像处理技术重点实验室，广东 汕头 515063）

1 引言

期权作为金融衍生品市场上最重要的衍生品之一，对其建立合理准确的定价模型具有重要的理论和现实意义.自从Black和Scholes[1]提出了经典的B-S定价模型后，有关期权定价理论和应用得到了迅速发展，相关学者在此基础上得到了一系列丰富的成果.虽然欧式期权是相对较为成熟的期权，且更容易得到它的解析解，但是由于亚式期权具有风险小、价格便宜、不易被人为操作等优势，得到了越来越多的研究.Stuart和Lee[2]通过对标的资产算术平均价格的概率分布进行Edgeworth展开，提出了一种新的欧式平均期权定价算法，但是该方法得到的亚式期权价格并不精确.Levy[3]在此基础上，提出了另一种算术平均价格近似模型，也使得到的结果更为精确.Vecer[4]用随机分析的方法得到亚式期权价格的统一算法.姜礼尚[5]采用偏微分方程的方法，在无风险利率、红利率、波动率均为常数的前提下，给出了B-S模型下欧式几何平均亚式期权的定价公式.Park等[6]计算了跳跃扩散CIR过程下亚式期权定价的解析公式，并通过数值实验证实了比完全蒙特卡罗方法计算时间快得多，提供了稳定和准确的期权价格.杨月等[7]研究次分数布朗运动环境下带跳跃的几何亚式期权定价问题，并给出了标的资产遵循次分数跳-扩散过程下的几何平均亚式期权的定价公式.Hozman和Tichý[8]研究了一个欧式和美式两种行权特征下的离散观测算术亚式期权定价模型，提出了形成和改进估价过程的综合方法论概念.

但是经过大量的研究都表明：在实际的金融市场中金融资产的对数收益率并不服从正态分布，而是服从一种“尖峰厚尾”的分布，并且金融市场存在显著的长记忆性特征.Mandelbrot[9]和Peters[10]以分形理论为基础，将Hurst指数H作为度量长记忆性强度的指标，对市场收益率的时间序列进行了研究.Necula[11]推导出了在分数布朗运动环境下任意时刻欧式期权的定价公式.孙玉东等[12]考虑了分数布朗运动下具有固定敲定价格的亚式期权的定价问题，给出了几何平均亚式期权的定价公式.沈明轩[13]则给出了在分数布朗运动下具有浮动敲定价格的几何平均亚式期权的定价公式.

然而由于金融市场具有波动性，即使考虑到金融市场具有长记忆性和“尖峰厚尾”的特征，确定性的期权定价模型也不能适应当今金融市场的发展，这就需要在同时考虑随机性和模糊性的基础上建立新的定价模型.模糊性与随机性不同，模糊性是指由于投资者不知道股票收益率的确切分布，从而对是否进行投资产生一定的不确定性.Zadeh[14]提出的模糊集理论很好地解决了这类问题.近年来，模糊集理论作为一种有用的工具在金融衍生产品定价中得到了广泛的应用.Wu[15]的研究表明了在B-S模型下研究模糊性的必要性；在模糊环境下为了取得股票的收益，人们往往更注重对“最坏”情况的考虑[16].Carlsson等[17]和Collan等[18]分别研究了模糊环境下的实物期权定价问题.秦学志等[19]研究了分数布朗运动下欧式期权的模糊定价问题，证实了在不确定环境下充分考虑长记忆性特征得到的欧式期权定价模型更符合金融市场.但是单一的三角模糊数仅能表示投资者是否进行投资，不能表示投资者在面对模糊性时的犹豫程度，张茂军等[20]首次把三角直觉模糊数引入到离散情况下的欧式期权定价问题的研究；明雷等[21]则在此基础上研究了Black-Scholes模型下的欧式期权定价问题.

综上，需要同时考虑随机性和模糊性两个方面才能全面地刻画标的股票价格的演化过程.本文首先采用三角直觉模糊数的方法对分数布朗运动下的亚式期权进行研究，利用了Yoshida[22]简化股价模糊区间的方法对具有固定敲定价格和浮动敲定价格的亚式期权进行了讨论，给出了股价的三角模糊区间，并分别得出了两种期权价格的三角直觉模糊区间等.其次分析了金融市场长记忆性指标Hurst指数H对定价模型的影响，并通过数值实验发现了行权时间T会对其单调性产生影响.最后运用控制变量法研究了三角直觉模糊数下不同因素对于期权价格的影响.主要创新点为：一、为了刻画金融市场的长记忆性和“尖峰厚尾”的特征，采用了分数布朗运动去描述股票价格的变化，并分析了Hurst指数H对定价模型的影响；二、将标的股票价格当作模糊随机过程，利用模糊随机变量期望的定义和模糊数的运算推导出欧式几何平均亚式期权模糊价格的任意水平截集的端点；三、将三角直觉模糊数首次引入到亚式期权中，用三角直觉模糊数刻画了投资者的犹豫程度，弥补了现有模糊环境下欧式几何亚式期权定价相关文献均没有考虑投资者犹豫程度的不足.所得结果与直接给出期权的价格公式相比，本文所给的定价模型更符合金融市场.

2 预备知识

2.1 分数布朗运动下的亚式期权定价

在这一小节中将引入分数布朗运动下的亚式期权定价公式，由于仅有欧式几何平均亚式期权存在解析解，所以本文所讨论的期权均为该类型的亚式期权.以看涨几何平均亚式期权为例，分别给出了具有固定敲定价格的亚式期权和具有浮动敲定价格的亚式期权，看跌期权可由平价公式推导得到.

2.1.1 具有固定敲定价格的亚式期权[12]

现在考虑分数B-S市场有两种资产.设无风险资产（债券）价格Bt满足方程dBt＝rBtdt，0≤t≤T，而风险资产（股票）价格St满足下列随机微分方程

其中期望收益率μ、波动率σ都为常数，{WtH，t≥0}为完备概率空间（Ω，F，Ft，P）上的分数布朗运动，且 Ft＝σ（WsH，0≤s≤t）＝σ（Ss，0≤s≤t）.

作变量代换

那么在风险中性测度下，可以得到

引理2.1若股票价格过程满足方程（1），则具有固定敲定价格的几何平均亚式看涨期权价格为[12]：

引理 2.2 用 C（S，J，t），P（S，J，t）分别表示看涨、看跌期权，则具有固定敲定价格的几何平均亚式期权的平价公式为[5]：

2.1.2 具有浮动敲定价格的亚式期权[13]

引理2.3若股票价格过程满足方程（1），则具有浮动敲定价格的几何平均亚式看涨期权价格为[13]：

引理 2.4 用 C（S，J，t），P（S，J，t）分别表示看涨、看跌期权，则具有浮动敲定价格的几何平均亚式期权的平价公式为[5]：

2.2 三角直觉模糊数[23]

以下引入三角模糊数的概念：

其非隶属度定义为：

图1 三角直觉模糊数

3 分数布朗运动下欧式几何平均亚式期权的三角直觉模糊价格

在确定模糊变量时，应考虑是否能判断期权价格关于该模糊变量的单调性，以便得出期权价格的上下界.不同于欧式期权，由于亚式期权价格公式和三角直觉模糊数的复杂性，在判断期权价格对模糊变量的单调性时会更加复杂，甚至对某些变量并不保持单调性.

定理3.3可以证明：在保证期权模糊价格非负的条件下，期权模糊价格是股票模糊初始价格的单调递增函数.

假设at＝cSt，c被称为散度因子，也即模糊指标，它反映了以股价价格S为中心的模糊股价价格的散度大小，c越大，说明模糊股价价格的距离股价中心S的散度越大，模糊程度越大.

在选定模糊变量之后，可以得到期权模糊价格的表达式，以具有固定价格的亚式看涨期权为例：

定理3.1具有固定价格的亚式看涨期权的模糊价格为：

其中 d1，d2，r*，σ*2，Xt由式（3）给出.

由定义2.2知，股票价格对应的隶属度越大时，其满足条件的模糊数越少，而S为区间[S1，S2]中最有可能取到的值，其最大隶属度为，最小非隶属度为，因此可以通过S来判定αβ，由此可以得到定理3.2.

定理3.3期权价格对模糊变量的单调性判断：在保证期权价格非负的条件下，欧式几何平均看涨亚式期权的模糊价格对股票的初始模糊价格为单调递增函数.

因为 d1＜d2，Φ（d1）＜Φ（d2），结合t的实际意义有t＞0，对比t与的后两项可得，在的情况下，的后两项之和大于0，同时第一项大于0，则大于0成立，即此时t是关于的单调递增函数.

下一节在运用控制变量法分析模型的敏感性和稳健性时，为了计算的简洁和保持期权的单调性可令t＝0.

定理3.4欧式几何平均看涨亚式期权的模糊价格截集：对于具有固定敲定价格的亚式期权：

证明：由定理3.1及定理3.2，3.3可得.

推论3.1：对于具有浮动敲定价格的看涨亚式期权，在满足期权价格非负的条件下，同理得到期权价格关于股票初始价格为单调递增函数，故其价格截集可表示如下：

该推论同样可以由定理3.1与定理3.2，3.3得到.

同时，由第二节的平价公式可以得到在几何平均看跌亚式期权的价格截集.但由于第四部分主要研究具有固定敲定价格的几何平均看涨亚式期权，故省去了该情况下的表述.

金融市场的长记忆性可以用Hurst指数H来度量，下面的定理表示了Hurst指数对具有固定敲定价格的欧式几何平均看涨亚式期权模糊价格t的影响.

证明：以上可通过求导公式得到.

推论3.2 Hurst指数对两类具有固定敲定价格的亚式看涨期权价格截集的影响如下：

接下来通过数值实验分析，重点讨论具有固定敲定价格的亚式看涨期权，对其将通过控制变量法分析各个变量及H对价格截集的影响；且由于具有浮动敲定价格的亚式看涨期权本身的解析式及求导公式过于复杂，不便进行数值实验，所以这里略去了H对其价格截集的影响.

4 数值实验

本节主要研究的是具有固定敲定价格的几何平均看涨亚式期权，对其通过控制变量法分别讨论了各个变量对期权上下限价格的影响.由于亚式期权价格公式的复杂性，为了方便研究不同变量对于期权价格的影响，故对模型中的某些参数进行了简化.

4.1 基准模型的参数数据

下面给出基准数据，取初始股价为S＝25期权期限t＝0，T＝5，Hurst指数H＝0.6，α－截集α＝0.75，最大隶属度w＝0.9，股票波动率σ＝0.25，敲定价格K＝20，无风险利率r＝0.07，β－截集β＝0.2，最小非隶属度u＝0.05，模糊指标c＝0.05.易知：当Δ＞0 时，有 C1＝5.458，C2＝5.787.

4.2 灵敏性和稳健性分析

首先需给出Hurst指数对亚式期权模糊价格的影响，与欧式期权不同，由于在分数布朗运动下具有固定敲定价格的欧式几何平均看涨亚式期权的模糊价格公式十分复杂，很难准确地判断出关于H的单调性.但是同样可以得出对于不同的T，期权价格关于H的单调性会不同.在经过多次对T取值后，分别列举了T＝0.5和T＝5两种情况下期权关于H的变化.如图2和3所示：当T＝0.5时，期权的三角直觉模糊价格关于参数H是单调递增的.但是当T＝5时，期权的上限价格则先随着H的增大而略有增加，随后缓慢下降，最后当H＝0.858 6时期权上限价格迅速递减至0；期权的下限价格则在H＝0.858 6前呈现缓慢下降的趋势，同样在到达该点后迅速递减至0.以上两种情况表征了不同的T会对期权的单调性产生不同的影响.

图2 T＝0.5时Hurst指数对期权价格的影响

图3 T＝5时Hurst指数对期权价格的影响

图4和5分别表示的是股票的初始价格S和无风险利率r对期权上下限价格的影响，容易得出：在保证期权价格始终非负的条件下，期权的上下限价格关于两者均为单调递增的函数.但当超出该范围，如股票的初始价格过小时，期权的上下限价格应该为0，因为此时行权者通常不会执行该权利，同时这也是符合金融市场的常识.

图4 股票初始价格S对期权价格的影响

图5 无风险利率r对期权价格的影响

图6所示，与欧式期权或欧式回望期权不同，随着波动率σ的增大，期权的上下限价格均呈现单调递减的趋势，甚至当波动率足够大时，期权价格将趋于0.而这与亚式期权的定义紧密相关，亚式期权的收益是依赖于在整个期权有效期内原生资产所经历的价格平均值，故波动率变大不利于该期权的收益.同样，期权的行权时间T对期权的上下限价格也不总是正相关的.在图7中，期权的上下限价格函数均为上凸函数，即随着时间的增加，期权价格先增加后减少.

图6 波动率σ对期权价格的影响

图7 行权时间T对期权价格的影响

随着敲定价格K的增大，期权价格会逐渐变小.在图8中，当期权的敲定价格过大时，期权的上下限价格会单调递减至0甚至负数，但是这在实际的金融市场中是不可能发生的，因为当敲定价格过高时，期权持有人可选择不行权，此时期权的价格为0.同样的，最大隶属度的选择也应该符合实际情况，在图9中当最大隶属度过小时就会出现期权的下限价格大于上限价格的情况.在合理的最大隶属度内，随着最大隶属度的增大，期权的上限价格会单增，下限价格会单减.

图8 敲定价格K对期权价格的影响

图9 最大隶属度w对期权价格的影响

图10中表明了：模糊指标c越大，由于上限价格单增、下限价格单减，从而使得期权的模糊定价区间（上下限价格构成的区间）就会越大.在实际的金融市场中，应该选择合理的模糊指标c，这样既可以对期权的价格进行较为准确地描述，又考虑到了投资者的犹豫度.在图11中，随着α－截集的增大，期权的上限价格递减，上限价格递增.同时，α－截集的值不应过大，这样会导致上限价格高于下限价格，没有实际意义.

图10 模糊指标c对期权价格的影响

图11 α－截集对期权价格的影响

图12和13分别描述了最小非隶属度u和β－截集对期权价格的影响：随着最小非隶属度u的增大，期权的上限价格单调递减，下限价格单调递增.即期权的定价区间单调递减，并且在最小非隶属度u＝0.2时，期权的上下限价格相等.故而对最小非隶属度的选取应该符合金融市场，不然可能会出现期权上限价格低于下限价格的情况.β－截集对期权价格的影响则相反，随着β值的增大，期权的上限价格线性增大，下限价格线性减小.即期权的定价区间单调递增，且当β＝0.05时期权的上下限价格相等，同时这与欧式期权的结论相类似.

图12 最小非隶属u度对期权价格的影响

图13 β－截集对期权价格的影响

5 结论

本文研究了基于模糊环境下金融市场长记忆性特征的欧式几何平均亚式期权的定价问题.亚式期权一直都是金融市场上最活跃的奇异期权之一，与已有的研究不同，本文是在模糊环境下运用三角直觉模糊数的理论对欧式几何平均亚式期权定价问题进行了研究，并考虑了金融市场的长记忆性特征.在长期的市场验证及大量的实证研究发现股票市场的价格变化的经验分布具有“尖峰厚尾”的特征，而且股价之间存在着长期相关性，因此将分数布朗运动引入到模糊环境下亚式期权的定价中更具有普遍意义，也更符合金融市场.所得的结论如下：

（1）将股票的初始价格设为三角直觉模糊变量，运用随机分析，模糊集理论等构建了模糊环境下金融市场长记忆性特征的几何亚式期权定价模型，分别得出了具有固定敲定价格的欧式几何平均亚式期权和浮动执行价格的欧式几何平均亚式期权的模糊价格公式和价格截集；

（2）对具有固定敲定价格的欧式几何平均亚式期权进行了重点研究，分析了金融市场长记忆性的度量指标Hurst指数对其定价模型的影响，得出行权时间T将会改变其单调性等特征；

（3）运用控制变量法对具有固定敲定价格的亚式期权定价模型进行了敏感性和稳健性检验，并得出了与欧式期权不同的结论，如：波动率越大，期权价格越低；期权价格和行权时间并不总是正相关的，而是关于T的一个上凸函数.同时得出对于模糊指标c、α－截集、β－截集等变量的选取应当符合理论分析和金融市场的现实意义.通过最后的数值分析发现，相比于直接给出期权价格的解析解，引入分数布朗运动和三角直觉模糊数将更有利于投资者在面对投资时做出判断，具有很好的经济学意义.