多元对称不等式新探

刘保乾

（西藏自治区组织编制信息管理中心，西藏 拉萨 850000）

0 引言

2004年前后，多元对称不等式研究取得了较大进展，其主要背景是，中国不等式研究小组网站论坛空前活跃，网上讨论日渐深入.尤其是3元schur分拆的雏形，即文献[1]已经出现，特别是之后发展形成的文献[2]，系统地提出了3元schur分拆理论，人们期盼多元schur分拆的心理和愿望日益迫切.同时由于增量代换（后改称为差分代换）在机器证明中的成功应用，大量的多元不等式被发现（参阅文献[3]）.文献[4]后来将增量代换方法发展成比较系统的差分代换理论，极大地促进了多元不等式的研究.其余可参考文献[5-14]，多元对称不等式研究进入了新的发展阶段.近日，笔者借助于不等式自动发现与判定程序agl2012[15-16]对多元不等式进行了新的研究，得到了若干新结果，本文对此进行介绍.

1 多项式完全对称求和

设 r1，r2，…，rn是 1，2，…，n 的排列，称集合

是多项式f（x1，x2，…，xn）的一个n元对称全集，记

其中符号（r1，r2，…，rn）表示要取 1，2，…，n 的所有排列，称为对多项式f（x1，x2，…，xn）取完全对称和，在不致误解的情况下可以简称为对称和，用sym标识.由于n个数字的所有排列共有n!个，所以n元对称和一般有n!项.当多项式f（x1，x2，…，xn）具有某种特殊的对称结构时全集Qn中会出现相同的项，这样对称和中的项数因为合并而会减少.3元多项式f（x，y，z）的完全对称和为

4元多项式f（x1，x2，x3，x4）的完全对称和为

例1求3元多项式x（xy＋z2）的完全对称和.

解由于3!＝6，故对称和应有6项.由公式（3）知，

例2求4元表达式x2x3的完全对称和.

解由于4!＝24，故对称和应有24项，但x2x3有特殊的对称结构，这样会出现许多相同的项，由公式（4）得到对称和是 4（x1x2＋x2x3＋x3x4＋x1x4＋x1x3＋x2x4），这个倍数 4没有意义，要约去，故完全对称和为

多项式完全对称求和公式在构造和发现对称不等式时有重要应用，因为研究对称不等式至为关键的环节是要能够即时把对称式书写出来，使验证和人的思路同步互动，发现形式新颖的不等式，因为在发现不等式的起始阶段理论上的一般式是没有用的，必须写成一个个具体的表达式进行验证.另一方面，只有当把表达式拼凑成完全对称式时构成的不等式才是成立的，而这又有普遍性.这两点决定了完全对称求和公式在对称不等式研究中的基础性和支撑性作用.

例3有4元不等式

从例3可以看出，不论是4元不等式，5元不等式，还是6元不等式，这些不等式的特点都是完全对称的，而要方便地写出这些具体的不等式，如果没有多项式完全对称求和公式是不可能的.

2 多项式的对称补

一个多项式的完全对称和与其自身的差称为这个多项式的对称补.多项式与其对称补具有相同的对称性.

例4对于4元多项式x1x2来说，其对称补为

3 多项式的对称结构

设{gi}（1≤i≤r）是 Qn的一个子集，Qn的含义同于（1）式，且是一个n元对称式，则集合{gi}称为一个n元r阶对称结构.

例5集合 {x3x4x1，x4x1x2，x1x2x3，x2x3x4}构成一个4元4阶对称结构.4元4阶对称结构求和公式是（9）式就是通常所说的轮换对称求和公式.

例 6 集合{x1x2，x2x3，x3x4，x1x4，x1x3，x2x4}构成一个4元6阶对称结构.4元6阶对称结构求和公式是

4元3阶对称结构是一个比较特殊的对称结构，因为它的阶数小于元数.请看例7.

例7集合

构成一个4元3阶对称结构.

4元3阶对称结构还有

对称结构有如下性质：设有r元对称式h（y1，y2，…，yr）及n元r阶对称结构{gi}，则h（g1，g2，…，gr）是一个 n 元对称式，称 h（g1，g2，…，gr）是对称结构{gi}的生成式，称h（y1，y2，…，yr）是生成函数.

4元3阶对称结构还有其特殊的性质：不仅可以将3元对称式直接变为4元对称式，而且生成式往往还是S1类多项式[11].

例8由对称结构（15）可发现优美不等式链

不等式（16）取等号的条件是a，b，c，d中有三个相等，即不等式（16）是一个S1类不等式.

则由对称结构（12）可得关于 a，b，c，d 的对称不等式

不等式（17）取等号的条件是a，b，c，d中有三个相等，即不等式（17）是一个S1类不等式.

例10有3元schur不等式∑x（x－y）（x－z）≥0，取生成函数为f（x，y，z）＝∑x（x－y）（x－z），将对称结构（12）作用于 f得 4 元 S1类对称不等式

其中σi（i＝1，2，3，4）是基本初等对称式，

注意对4元来说，由于S1类不等式是仅次于基本不等式的不等式，故很强，在加强不等式时有重要应用.

例11可以发现4元S1类不等式

为了加强不等式（19），根据“取等号条件的封闭性”，需要另一个S1类对称量，显然（17）式符合这个条件，由此可发现加强不等式

例12用判别式法易证3元对称不等式

将对称结构（12）作用于（21）式得4元S1类含参不等式

4 对称结构的补

对称结构对多项式对称全集的补构成新的对称结构，这个新的对称结构称为对称结构的补.对称结构与其补构成对偶关系.实际计算对称结构的补时，只需求出对称结构中每个表达式的对称补即可.

例 13 由例 6 知，集合{x1x2，x2x3，x3x4，x1x4，x1x3，x2x4}构成一个4元6阶对称结构，其补构成的集合

也构成一个4元6阶对称结构.

例14对称结构（12）的补为

取生成函数为 f（x，y，z）＝∑x（x－y）（x－z）≥0.将（12）式和（23）式分别作用于 f得 f1和f2，则f1≥0和f2≥0就是一对对偶的S1类不等式.经过验证知，有不等式f2－f1≥0成立，这个不等式等价于

试给出不等式（24）的一个非机器证明.

一个多元表达式，当变元全部取为1时表达式的取值称为这个表达式的规范值.经过验证发现，一个n元多项式与其补相除，其完全对称和不小于其规范值.根据这个规律可以发现大量的多元对称不等式.

例15对4元来说，x1的补为x2＋x3＋x4，两者相除为，取对称和为，令x1＝x2＝x3＝x4＝1，得这个表达式的规范值，则有不等式

不等式（25）由权方和不等式易证.

例16对4元来说，多项式x1x2＋x2x3与多项式x3x4＋x1x4＋x1x3＋x2x4之和为完全对称式，作商，取完全对称和，计算规范值得6，由此发现不等式

5 待解决的问题

问题1当元数大于4时，是否有阶数小于元数的对称结构？

问题 2 设 xi＞0（i＝1，2，…，n，n≥3），，猜有不等式

例如5元且r＝4，此时不等式（27）变为

问题 3 设 xi＞0（i＝1，2，…，n，n≥3），记，又记

且随着k值的增大不等式会越来越弱.在不等式（29）中，我们限制了分母的指数为固定的k.如果让指数变化，情况会如何呢？现记

则有不等式

例如对于5元，有不等式

问题 4 设 a，b，c，d，e，f＞0，则有不等式

问题 5 设 xi＞0（i＝1，2，…，n，n≥3），，则有不等式

例如对4元有不等式

问题 6 设 xi＞0（i＝1，2，…，n，n≥3），，则有不等式

下面的问题表面上与对称不等式无关，但本质上可转化为对称多项式不等式，而且涵义深刻而有趣.

问题7在ΔABC中，设A＝A1，B＝A2，C＝A3，n为自然数，则有不等式

受（45）式的启发，笔者用不等式自动发现与判定程序agl2012发现了许多类似于（45）式的三角形内角正弦不等式，通过对这些不等式的观察，最后发现了优美的不等式（44）.