“不学也会”的问题如何教——对一节微专题复习课的教学实践与思考

江苏省苏州高新区景山实验初级中学校(215129) 黄贤明 徐敬元

1 问题提出

笔者曾在七年级上学期的校级测试中设置了如下问题:

用若干个棱长为1cm 的正方体组成如图1 所示的几何体.

图1

(1)该几何体的体积是____cm3, 表面积是____cm2(包括底面积);

(2)请在方格纸中用实线画出它的三个视图.

本题主要考察的是苏科版七年级数学第五章内容. 测试结果显示: 本题难度为0.84,区分度为0.44,属于一道基础题.该类题型学生在小学中也接触过一些,但实际得分情况并不理想.

本题满分5 分,平均分仅有3.99 分(共统计247 人),其中有146 人未得满分,占总人数的59.11%;在这146 人中,有128 人在表面积一空丢分,占出错人数的87.67%,也就是说求堆叠立方体(将若干个立方体有序堆叠形成的几何体)的表面积是该题的难点. 图2 是表面积一空的错误回答情况,可以看出,错误答案五花八门,从10 到30 之间的数几乎都有涉及,其中有67.19%的学生是漏数了几何体的表面积,且21和18 这两个答案出现频率较高. 个别谈话后发现,大部分错因都是采用了一个个面数的方式,导致了部分面漏数或重复数的情况,当他们再次尝试,部分同学也能够数出正确答案.

图2

针对上述现象,不妨思考以下两个问题,其一,为何学生时而数对时而数错;其二,有无解决此类问题的更好方法. 针对第一个问题,学生将其归咎于“粗心”、“没看到”等原因上,究其本质就是该阶段的学生的空间想象能力还处于较低的水平,使平面图形的立体化的能力较弱,因而常常会忽视平面上未呈现的图形或表面,这就导致了漏数的情况;而学生利用做标记的方式数表面,由于部分面被挡住,这就使学生在能看到的面上重复标记,导致了图上标记混乱,学生看得一头雾水,最终漏数或多数. 针对第二个问题,数表面积可以利用以下两个方法. 方法一,从每个小正方体出发,依次看各个小正方体的表面积,而后全部加起来即可,但这种方法也存在明显缺点,如: 容易漏数那些被挡住的小正方体的表面积等等. 方法二,利用三视图求表面积. 三视图是立体图形从三个视角下在平面上的正投影图,若试题中小正方体的摆放呈凸字型,那么此立体图形的表面正投影就是该图形的三视图,所以其表面积就是三视图面积和的两倍;若试题中小正方体的摆放呈凹字型,那就会存在三视图无法表示出来的面,其表面积就要原先三视图面积和的两倍的基础上加上被挡住的面的面积.

在教学中,教师常会认为此类问题小学讲过,学生“不学也会”,但其恰恰忽视了学生知识水平和能力水平的差异,没有捋清学生“会什么”与“不会什么”的关系; 进而淡化初小重叠内容的讲授,失去了培养学生数学核心素养、积累数学活动经验的契机. 基于此,笔者及时“亡羊补牢”,开设了一节“数堆叠立方体表面积问题”的微专题复习课.

2 微专题复习课的设计与实践

2.1 情景创设

图3 是由数学家皮亚特·海恩(Piet Hein)发明的索玛立方体,也被称为立体七巧板,它是由七块形状不同的几何体组成,其变化多端,就连最简单的大正方体拼搭都有240 种.

图3

活动1 尝试从1～7 号组块中任意选择两块画出它的三视图.

学生独立完成,教师挑选部分作品展示.

活动2 若每个小正方体的棱长都为1cm,请分别计算出刚选择的两个组块的表面积(包括底面积).

学生独立思考,并说出数表面积的方法. 由于这七个组块都是由4 块及以内的小正方体拼搭而成,因此学生可以采用一个个面数的方法,也能够给出正确答案. 若对于部分有困难的同学,教师可以为其提供相关教具,让他们通过直观看、动手摸等形式感受几何体的表面积,从而获得正确答案.最后,学生小结解决问题的方法.

设计意图从索玛立方体出发,渗透数学文化,激发了学生兴趣,同时也给出具体的观察素材. 以最简单的几何体来引出本课主要探究的问题,让学生通过最原始的方式解决问题,并让学生有意识地总结解决问题的方法,初步调动学生的直观想象能力.

2.2 探究思考

问题1 数表面积的方法最基本的就是一个个面数,这个方法有什么缺点?

缺点是容易漏数或多数.

追问: 如何弥补这些缺点?

按照一定的顺序来数,如: 依次从每个小正方体的表面积去数、依次从上下前后左右六个方向去数等.

思路1 从每个小正方体出发.

以5 号组块为例, 给四个小正方体分别标上序号①～ ④, 便于讲解. 如图4 所示, 小正方体①的表面积是5cm2,在其上方标记5;小正方体②的表面积是4cm2,在其上方标记4,同理,小正方体③和④上依次标记5 和4,得到如图5 所示的效果图. 最后将各个正方体表面积相加得到该几何体表面积是18cm2.

图4

图5

思路2 从三视图出发.

问题2 如果依次从上下前后左右六个方向看立体图形,得到的表面积与它的三视图有什么关系?

学生先独立思考,再小组讨论,得到: 从前后两个方向看到的表面积都是主视图的面积,从左右两个方向看到的表面积都是左视图的面积,从上下两个方向看到的表面积都是俯视图的面积,几何体的表面积就是三视图面积和的两倍.

追问: 这个规律一定成立吗?

设计意图随着学生认知水平的不断提升,仅停留于现实生活原型和数学表象是远远不够的. 通过问题1 指出学生方法的缺陷,并引导学生有条理、有方法、有逻辑地分析、思考、解决问题,促进学生形成借助图形解决问题的习惯. 思路1 从单个正方体依次出发,让学生视角从整体转向个体,促使学生按照一定顺序解决问题,减少出错. 思路2 从三视图出发,进一步揭示三视图的本质,引导学生建立三视图与几何体表面积的关系,归纳出解决问题的方法,但此思路受限于几何体的形状,还需通过实例进一步补充与完善.

2.3 例题讲解

例1 一个由棱长为1cm 的小立方体搭成的几何体如图6 所示,请画出它的三视图并求出它的表面积(包括底面积).

图6

学生自主探究,此时大部分同学更青睐于思路2,直接计算三视图面积和的两倍,得到了24cm2的错误答案,而少部分同学由思路1 出发,得到了26cm2的正确答案.

问题3 按照思路1,分别在小正方体上标记它们的表面积(如图7),那么立体图形的表面积是26cm2. 按照思路2,三视图的面积分别5 cm2、3cm2、4cm2,那么立体图形的表面积是24cm2. 为何在两个思路下得到了不同的答案? 问题的本质在哪?

图7

学生小组讨论,教师请小组代表发言.

小结使用三视图的本质是从三个角度出发观察物体,如果几何体是凸字型,如组块1～7 号,三视图中不存在看不到的面,则表面积的计算按照原先的思路2 即可. 但如果几何体是凹字型,这就会存在着三个方向都看不到的面,即内对面,它们相互遮挡. 因此,对于凹字型的几何体,我们要在三视图的基础上,再加上内对面的表面积.

设计意图对于所给的两个思路,最简便的就是从三视图出发,这里通过例1 给出凹字型几何体,让学生在原先不完善的思路2 下发现问题、分析问题,让数学表象在现实生活原型的基础上进行第二次直观,形成数学想象,进一步丰富与完善解决此类问题的方法网络.

例2 一个几何体由一些棱长为1cm 的小正方体搭成从上面看到的几何体形状如图8 所示,其中小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数,请分别画出该几何体的主视图和左视图, 并求出它的表面积(包括底面积).

图8

学生先自主探究,再小组讨论思考. 教师借助GeoGebra软件将几何体还原,而后根据两个思路分别解决此问题.

设计意图通过学生自主探究中,发现部分学生在绘制出三视图后直接计算了三视图面积和的两倍,进而导致表面积漏算. 此时教师需引导学生思考“这个几何体是什么形状的,你能尝试还原一下吗? ”、“这个几何体是凸字型还是凹字型? ”等问题,让其有意识地将数学信息具象化,同时借助GeoGebra 软件还原几何体,放大问题中的“陷阱”,培养学生的理性精神.

2.4 小结归纳

(1)归纳思维导图(如图9).

图9

(2)课堂检测反馈.

3 教学反思

3.1 摸清能力基础,关注内容深度

由于数学教材的编写是遵循逐级递进、螺旋上升的原则[1]. 在七年级阶段,教学内容会存在许多与小学内容重叠的部分,尤其是作为小学与初中几何内容衔接的第五章“走进图形世界”,在本章中有着大量“不学也会”的内容,如: 绘制三视图、展开与折叠等,这些内容教师教起来轻松,学生学起来也轻松. 然而这就会导致教师教学中片面地认为学生“什么都会”,进而忽略教学内容的深度,忽视学生能力素养的培养.

在实际教学中,学生的认知水平参差不齐,作为教师更应关注学生整体情况,摸清学生的能力基础,了解学生“会什么”,真正做到“有的放矢”. 就数堆积正方体的表面积问题来说,学生会一个个面来数表面积,这是他们“不学也会”的基本方法,但受限于其空间想象能力,并不一定能数对. 而大部分学生不会的是几何体表面积与三视图的关系,或有规律、条理地数几何体表面积的方法,这就会造成他们遇到类似问题就会时不时出错. 因此,教师抓住此类问题的根本,让学生通过数学问题、数学活动、归纳总结来得到解决问题的“法宝”,并使学生在获得“法宝”的过程中,积累数学活动经验,发展数学核心素养[2].

3.2 重视探索过程,发展能力素养

在讲评测试题时,有学生说:“这表面积就是三视图面积乘二. ”当追问其原因时,该学生却说不出来,只表示小学讲过. 这个现象反映着两个问题,一是学生的回答是不全面的,这既有可能是学生记忆模糊,也有可能是小学阶段教师讲解不透彻;二是学生只知结论,不探原由. 因此,教师应重视问题的探索过程,例如在本课中,先通过具体事物出发,让学生获得“真感受”,鼓励学生借助具体实物图形来解决问题,发展几何直观意识. 随后,通过一系列问题提出,并结合自主探究和小组讨论,引导学生发现并完善三视图与几何体表面积的关系,促使学生数学交流、合作学习等能力的提升. 从结果看, 学生获得了数学知识、问题解决方法, 形成了思维导图.更重要的是,在探索的过程中,学生的综合能力、数学素养在不知不觉地提升,这更有利于学生未来的学习与发展.

3.3 借助信息技术,击破问题难点

《义务教育数学课程标准(2011 年版)》中指出: 数学课程的设计与实施应合理地运用现代信息技术,把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具[2]. GeoGebra 作为一款自由且跨平台的动态数学软件,在数学几何的教学中拥有着广泛的运用. 在例2 的讲解中,对于一部分空间想象能力较差的学生是无法直接还原几何体全貌,只能通过具体实物来构建条件与问题的桥梁. 教师利用GeoGebra 软件动态还原搭几何体的过程,使得结果可视化,促使学生发现问题中的“陷阱”,击破问题难点. 总之,现代信息技术的融入让数学教学变得动态化、可视化,教师在教学中适当运用信息技术,使之成为学生击破数学问题难点的“秘密武器”.