人造霍尔管中的基态手性流*

关欣 陈刚 潘婧 游秀芬 桂志国

1)(太原学院材料与化学工程系,太原 030032)

2)(山西大学激光光谱研究所,量子光学与光量子器件国家重点实验室,太原 030006)

3)(山西大学极端光学协同创新中心,太原 030006)

4)(山东师范大学物理与电子科学学院,光场调控及应用中心,济南 250358)

霍尔管是模拟量子霍尔效应的重要模型,却至今没有在超导量子电路中实现过.超导量子电路是宏观调控量子效应的优秀平台.本文利用超导量子电路系统的高度可调性,在超导量子电路系统中设计出了具有周期性边界条件的三条超导比特链.之后利用交流微波对每个比特分别进行驱动,构造出人造霍尔管.人造霍尔管中的人造规范场可以通过选择合适的微波相位来进行独立调控.发现了人造霍尔管中存在不同特征的手性流,分别为Meissner 流和不同面上的涡旋流.为了判别这些流的存在,定义了四个序参量,并在参数空间中画出了不同流之间量子相变的完整相图.最后,提出了制备人造霍尔管基态以及探测基态手性流的可行性实验方案.这一研究丰富了霍尔管的量子流,并且在已有的实验系统中能够很快实现,为探索新的量子相提供了新的途径.

1 引言

系统的不同几何结构总是会诱导出不同的物理特征.例如对于有磁场的两链晶格系统,如果粒子按照正方形两两正对耦合,晶格链上会出现手性流[1,2],当改变耦合形式,使粒子之间交错耦合形成Creutz ladder 时,除了手性流,在晶格链的边缘还会诱导出孤立的电子态[3,4].对于有磁场的三链晶格系统,如果粒子按照正方形两两正对耦合,晶格链上会出现局域在链边界的手性流[5,6],而粒子按照菱形结构耦合时,系统的能量会局域在两条边界链的菱形顶点,形成著名的平带结构[7].值得强调的是,周期性边界条件是链状晶格的一个重要几何结构,能够诱导出丰富的物理现象,如周期性边界条件会诱导霍尔晶格出现单粒子分数能谱,也就是著名的Hofstadter 蝴蝶能谱[8]、环面几何结构的晶格中能够实现Laughlin 泵浦,用来刻画量子化的霍尔电导[9-11].最近的冷原子实验在周期性边界条件下,利用中性费米子的三个自旋态实现了人造霍尔管,并通过淬火动力学测量了该系统的能带,发现了能够预测拓扑相变的能带闭合点[12].作为模拟二维量子霍尔效应的重要模型,霍尔管的实现引起了广泛关注,如在霍尔管中实现可调磁通并利用这一磁通实现拓扑电荷泵浦[13]、刻画出费米子霍尔管的多体相图并发现了拓扑非平庸的磁性相[14].然而手性作为霍尔效应中的重要物理特征,在霍尔管中并没有进行研究.本文就来探索这一问题.

另一方面,相比于光晶格和冷原子系统,超导量子电路作为全固态器件,在扩展性、集成性、调控性上都有更大的优势[15-18].近年来,基于超导量子电路系统进行量子模拟在很多领域都受到了广泛关注,如动力学量子相变[19]、多体局域化[20]、磁性[21,22]、拓扑磁子绝缘体[23]、拓扑半金属材料[24]、强关联量子行走[25]以及耗散稳定的Mott 绝缘体[26]等.最近,中国科技大学的朱晓波团队[27]成功研制出了二维链状的 62 比特可编程超导量子计算处理器,并完成了可编码的量子行走.这一突破性的实验实现了大尺寸耦合的超导量子比特,降低了尺寸效应对观测多体量子效应的影响,为探索多体物理提供了新的途径.另外,我们注意到,实验上已经实现了超导比特的次近邻耦合[28,29],因此对于一个三链的超导比特系统,链间比特两两耦合就会实现一个具有周期性边界条件的管状结构.相比于光晶格冷原子实验中的人造维度,在真实空间中实现霍尔管更加容易调控和观测.

本文提出了利用超导量子电路实现人造霍尔管的可行性实验方案,首先设计出具有周期性边界条件的三链比特模型,然后用交流微波驱动每一个超导比特实现霍尔管所需要的人造规范场,值得强调的是,相比于光晶格冷原子,本文所设计的人造霍尔管具有独立可调的人造规范场.接下来探索了人造霍尔管的基态手性流,发现了Meissner 流和不同面上的涡旋流及其量子相变,并且定义了四个序参量来判别这些流的存在及相变的发生.最后在参数空间中画出了不同手性流之间量子相变的完整相图.另外,提出了制备系统基态以及探测这些基态手性流的实验方案.本文的工作为在超导量子电路中探索量子霍尔效应、量子流以及量子相变提供了新的途径.

2 理论模型

如图1 所示,本文用transmon 比特[30]设计了一个三链结构的超导量子电路来实现人造霍尔管.沿着每条链,transmon 比特都与其最近邻比特耦合.在每个元胞中,三条链上的比特之间两两耦合.这里,比特之间均通过电容进行耦合.能够看到,这个系统中不仅存在比特间的最近邻耦合,还存在次近邻耦合.超导比特系统中这种次近邻的比特耦合在实验上已经实现[28,29].基于图1(a)的超导电路,能够写出相应的拉氏量:

为了实现图1(b)所示的人造霍尔管,我们利用交流微波对每个transmon 比特进行驱动.实验上[32],每个微波驱动都可以通过磁通偏置线来实现.如图1(a)所示,transmon 比特的约瑟夫森结是由超导量子干涉仪(SQUID)形成的等效约瑟夫森结.考虑SQUID 的两个约瑟夫森结具有相同的能量则等效约瑟夫森能之后给每个比特外加一个磁通偏置Φνj(t),这时同一个SQUID 的两个约瑟夫森结之间会产生Φνj(t)/ϕ0的相位差,每个比特的势能变为

其中,

3 基态手性流

手性是霍尔效应中十分重要的物理特征.基于手性,Meissner 到涡旋流的相变[33-35]、相互作用诱导的动力学手性流[36]、手性自旋束[37]、光子分数拓扑绝缘体[38]、拓扑超流[39]以及拓扑超导体[40]等物理现象都被观测到.作为一个模拟整数量子霍尔效应的最小模型,霍尔管的手性是一个值得关注的问题.为了研究本文中人造霍尔管的手性,需要先给出流的概念和定义.首先,沿着A链、B链以及C链,第j和第j+1 个比特之间的流可以定义为

另外,还需要考虑沿着链之间的的流,A链和B链、B链和C链以及C链和A链上第j个比特之间的流可以定义为

基于以上流的定义,图2 给出了在不同的参数下比特链上局域的基态手性流以及比特的基态态密度分布.从图2 可以看到,这里一共有四种流,图2(a)和图2(b)中的流只在xy平面中,并且图2(a)中为xy平面上的Meissner 流(下文简称xy-M),图2(b)中为xy平面上的涡旋流(下文简称xy-V).图2(c)中的流不仅在xy面上有涡旋流在xz面上也有涡旋流,本文称其为双面涡旋流(下文简称DV),图2(d)中只有xz面上有涡旋流,xy面上没有流(下文简称xz-V).由此可以看到,不同参数下,系统会出现不同的手性流,也就是说这里存在不同流之间的量子相变.接下来在参数空间中讨论这一量子相变.

图2 霍尔管上的流以及比特的态密度分布.箭头的粗细表示流的强弱,红色、蓝色和黑色实心小球的大小分别表示A 链、B 链和C 链上比特态密度分布的多少.参数选择分别为 (a)=1.1 和tCA=4.5;(b)=0.4 和tCA=1.8;(c)=4和tCA=4.4;(d)=2 和tCA=2 .这四个图共同的参数是φ0=2π/3,并且所有参数均以 t0 为单位Fig.2.Currents and densities distributions on the Hall tube with (a)=1.1 and tCA=4.5;(b)=0.4 and tCA=1.8;(c)=4 and tCA=4.4;(d)=2 and tCA=2.The thicknesses of the arrow denote the currents strength.The size of the red,black,and blue filled circles indicate the densities on the A,B,and C legs respectively.Here t0 is used as the unit.The common parameter is φ0=2π/3.

首先,通过计算发现,B链上的流总是0,因此不再对B链上的流进行讨论.那么,为了进一步分析流在参数空间中的变化,需定义几个物理量,分别为

其中〈·〉G表示的是物理量的基态值.JC//表示的是系统处于基态时,A链和C链上流的差值,因此JC//的值可以用来判断xy平面中手性流的存在,当JC//=0 时,xy平面没有手性流,反之JC//=0时,xy平面内有手性流.JAB,JBC,JCA分别表示系统处于基态时,所有元胞中A链和B链间、B链和C链间、C链和A链间流的总和.它们的值可以用来判断xz平面内涡旋流的存在,即当JAB,JBC,JCA不等于0 且具有相同的正负号时,xz平面存在涡旋流,否则xz平面不存在涡旋流.另外,在JC//0的情况中,如果JCA=0,xy平面的手性流是Meissner 流,如果JCA0,xy平面的手性流是涡旋流.另外,通过计算发现,在整个参数空间中,JAB和JBC的值始 终相 等,并 且JAB和JBC以及JCA的正负号始终相同.综上,把系统中四种流的判别条件总结在表1 中.

表1 不同手性流的判别Table 1.Discriminant of the chiral currents.

图3 参数空间中的相图 (a)JC//;(b)JCA;(c)JAB和JBC;(d)参数空间中 -tCA 不同的相.这四个图共同的参数是φ0=2π/3,并且所有参数均以 t0 为单位Fig.3.Phase diagram of (a)JC//,(b)JCA,(c)JABand JBCas functions of and tCA .Different phases are indicated in (d).Here t0 is used as the unit.The common parameter is φ0=2π/3 .

综上,本文在人造霍尔管中发现了xy-M相、xy-V相、xz-V相和DV相以及它们之间的相变.

在真实的实验中,往往无法将耦合强度的值调节到非常精确,考虑到这种情况的随机影响,首先给出系统受到随机影响的哈密顿量:

其中,δ ˆtνj和δ ˆtνν′j等于Wδ.W是随机强度,δ∈[-0.5,0.5]是随机数.图4 给出了考虑随机影响后,xy-M 相(图4(a))、xy-V相(图4(b))、DV相(图4(c))和xz-V相(图4(d))中序参量JC//,JAB,JBC和JCA的值.从图4 可以发现,随着 l gW的增加,这些序参量一开始变化很小,直到lgW＞-1时,这些序参量才会发生大幅的增加或减小.这说明,在一定程度的随机误差下,序参量的值几乎不会受到影响,图3 中所展示的结果依然存在.

图4 不同参数取值下序参 量 JC//,JAB,JBC和JCA随 l g W的变化 (a)=1 和tCA=4;(b)=0.5 和tCA=2.5;(c)=2.5和tCA=3;(d)=2 和tCA=2 .这四个图共同的参数是φ0=2π/3,并且所有参数均以 t0 为单位Fig.4.JC//,JAB,JBC,and JCAas functions of l g Wwith (a)=1 and tCA=4,(b)=0.5 and tCA=2.5),(c)=2.5 and tCA=3,(d)=2 and tCA=2 .The common parameter is φ0=2π/3.Here t0 is used as the unit.

4 实验观测方案

图5 第ν 条链的第j 个比特的态|ψ〉νj 在布洛赫球上的表 示.θνj和χνj分别表 示|ψ〉νj 在布洛赫球上与z 轴和x 轴的夹角Fig.5.The jth qubit located on the ν leg described in Bloch sphere.θνj (χνj)is the angle between the state|ψ〉νj and z (x)axis in the Bloch sphere.

5 结论

本文提出了在超导量子电路系统中实现人造霍尔管的可行性实验方案,发现了人造霍尔管的基态存在不同的手性流,分别为xy-M,xy-V,xz-V 以及DV.定义了四个序参量JC//,JAB(JBC)以及JCA来判别这些流的存在.之后在参数空间t˜-tCA中给出了不同流之间发生量子相变的完整相图,并阐述了由于耦合强度和tCA竞争诱导的不同量子手性流之间的相变.人造霍尔管的基态中存在的Meissner 流和涡旋流都存在于第二类超导体中,能够抵抗外磁场,因此Meissner 流和涡旋流的出现使人造霍尔管能够成为很好的抗磁体.最后,提出了实验探测基态手性流的可行性方案,具体为,利用微波脉冲对比特进行旋转首先制备出基态,之后可以直接探测比特的态密度并利用量子态层析技术得到系统密度算符,进一步通过求迹得到比特之间的基态流以及序参量的值.本文的结果给出了霍尔管的基态手性行为,填补了霍尔管研究中手性物理的空白,同时为实验实现霍尔管提供了新的方案,为量子相的探索提供了新的途径.