在深度学习中学会探究

黄文亭

（广东省深圳市深圳外国语学校龙华学校初中部，广东 深圳 518000）

1 基于价值判断的教学分析

笔者认为铅直高水平宽专题教学的价值体现在以下两个方面：

1.1 在探究学习的过程中提升深度学习能力

在近几年全国各地中考试题中，经常出现与平面直角坐标系中三角形面积有关的问题，这类试题大多与一次函数、二次函数及反比例函数的图像相结合，形式灵活多样，具有一定的综合性。随着三角形面积问题的涌现，针对此问题的方法研究越来越多，其中铅直高水平宽就是一种方便快捷的求解方法。而对于此方法多数教师是粗略讲述原理便给出结论，通过一定量的习题教学生应用结论，但学生未必深刻理解方法的来龙去脉。笔者认为，深度学习其中的原理和这个面积求解方法的生成过程有助于加深学生对图形的理解，避免结论的生搬硬套而出现错误套用。选择在八年级上册学习完平面直角坐标系和一次函数后补充铅直高水平宽的内容，意在为后续使用铅直高水平宽解决坐标系中复杂的三角形面积问题做铺垫。更重要的是通过这个学习过程教会学生认识世界的一种方式——探究，让学生在学习中扮演探索者、发现者、研究者的角色，激活学生的观察意识和思考能力，提升深度学习能力。

1.2 深化几何性质学习的一般思路

本节课是三角形面积问题的拓展探究性内容，主要探究直角坐标系下三角形面积求解的新方法，在割补原理的基础上对发现的结论进行更深一步的探究，挖掘结论中两条线段的本质，总结提升为新的性质命题。在探究过程中贯穿几何性质教学的思路：观察分析—猜想—验证—归纳总结—应用，让学生充分领会几何学习的一般思路，体验用一脉相承、一以贯之、一如既往的思维方法去理解、学习、探究新的数学知识，提升学生的数学专业素养。

2 基于教学分析的目标制定

2.1 学情分析

学生在此之前刚学习了平面直角坐标系和一次函数，能够在平面直角坐标系当中用坐标表示线段长度以及求解一些基本图形的面积。对给定的一次函数能够求解点的坐标，也会根据已知点的坐标求解一次函数表达式。刚学完一次函数，学生在练习中获得了一些成功的体验，此阶段学生思维活跃，乐于挑战有难度的问题。

2.2 教学重点

通过探究坐标系下三角形面积求解的不同方法，最终得出三角形面积表示的新方法铅直高 水平宽。

2.3 教学难点

理解新方法是对割补法的升华，并掌握新方法中铅直高和水平宽的构建方法。

3 基于目标制订的教学实践

3.1 创设情境，揭示问题

师：如图1，你能表示图中线段的长度吗？

图1

生：平行于x轴的线段用两端点的横坐标之差的绝对值来表示，平行于y轴的线段用两端点的纵坐标之差的绝对值来表示。

师：很好，同学们会使用坐标来表示线段的长度，那么是否能够用坐标来表示图形的面积呢？

师：如图2，△AOB的面积怎么求？

图2

生1：二分之一的底乘以高。

师追问：请具体说明一下谁为底，谁为高，面积具体的表达式？

问题 1：如图3，如果将 B点做一个小小的变动，△AOB的面积怎么求？生：割补法！

图3

师追问1：到底是割还是补？割成什么样？补成什么样？

生2：补成正方形，三角形面积用大正方形面积减去旁边三个小三角形的面积。

生全体：不好算，底和高都不好求。

师追问3：什么样的底和高才叫“好求”？

生3：平行于坐标轴。

生4：水平或竖直的。

师：那我们做个约定便于沟通，把像图2这种有一组横平竖直的底和高的三角形称为“标准三角形”，图3这种三组底和高都是倾斜的三角形称为“非标准三角形”。

设计意图：由学生熟悉的面积问题入手，通过变式转换引导学生将坐标系下三角形分为两类──标准和非标准三角形，并认识到这两类图形的面积求解方式有区别，非标准三角形的面积问题要转化为标准三角形的面积问题。让学生感受化归与转化这一数学思想，学会将陌生难解的问题转化为熟悉会解的问题，揭示本节课探究性学习内容的问题来源。

3.2 观察分析，得出猜想

问题2：标准三角形的面积可以用面积公式，今天我们就以图3为例来探究平面直角坐标系中非标准三角形的面积有哪些求解方法。刚才大家都不约而同想到了割补法，实际上大家用的是割补中“补”的思想，补成长方形，把问题变成求长方形面积和标准三角形的面积。除此之外你能想想“割”的方法吗或者你有其他“补”的思路吗？

生4：如图4把三角形割成两个小的标准三角形，△AOB面积等于这两个小三角形的面积之和。

图4

师：还有其他方法吗？

生5：如图5，和刚才同学4的方法差不多，把横着割变成竖着割。

图5

生独立推导面积的表达式，得到

问题3：大家是否感觉这两种方法很相似，它们有什么共同特征吗？

生6：其实两个方法本质一样，面积都是二分之一公共底乘以高之和。

师：也就是说两个面积表达式中线段的几何意义是相同的，除此之外，观察图中面积表达式的这两条线段还有什么特征吗？

生交流探讨得出：①这两条线段互相垂直；②这两条线段都平行于坐标轴或者在坐标轴上。

师：能否直观描述一下这个公共底？

生：BC、AC就是公共底，就是从三角形一个顶点出发作的切割线。

师：这个高之和呢？它是求解三角形面积过程中推导出来的，也和这个三角形紧密联系，那能否用和这个三角形相关的元素来描述“高之和”？

生在描述高之和与三角形之间的关系时出现困难。

师：如图6，在坐标系当中我们常说的距离就是点和点之间的直线距离，其实在坐标系中两点之间有三种距离，一种是我们常说的直线距离，另外两种是这两个点在水平方向上和竖直方向上的距离，简称水平距离和铅直距离。有了这个定义，高之和OD你觉得可以怎么描述？

图6

生：三角形两个顶点的铅直距离或水平距离。

问题4：切割线和两个顶点之间的水平距离或铅直距离是随意搭配的吗？他们之间有没有什么对应关系？

师生共同探讨得出：①水平切割线配铅直距离，竖直切割线配水平距离。②三角形一个顶点做切割线，则剩余两个点取水平距离或铅直距离。

问题5：通过前面的探究，我们发现非标准三角形面积求解可以用割补法，且不同割补方式原理相同，得出的面积表达式也十分相似。那是否意味着我们可以找到更直观的规律可以跳过割补原理一步步的推导，直接找到相应的线段乘积，从而节省时间。对此，你是否有些想法或者猜想？与大家分享。

生7：非标准三角形AOB的面积可以用两条互相垂直的线段的乘积的一半来表示，其中一条线段是三角形一个顶点引出的切割线（公共底），另一条是三角形剩余两个顶点之间的水平距离或铅直距离（高之和）。

设计意图：让学生观察思考，对两种割补方法进行对比和总结，多法归一，探究得出两种方法的本质都是割补，面积表达式就是公共底和高的式子，培养学生的数学表述能力和思考总结能力。再引导学生思考结论中线段的几何特征，通过问题5，解答学生心中的困惑──“原理已经明晰，还要探究什么？”，让学生明白本节课的探究是对割补法的升华。

3.3 验证猜想，得出结论

问题6：刚才通过割补法我们找到图3面积可以用两种切割线来表示，从而得出的猜想，说明这两种都符合猜想，我们需要验证的是什么？

生8：验证图3如果取其他的切割线和对应的水平距离或铅直距离，是否也可以正确表示三角形的面积。

生9：验证其他的非标准三角形，该式子是否都成立。

师：刚才是从B点出发作水平切割线，A点出发作竖直切割线，那△AOB中还有哪些切割线？

生10：每个点出发可以作水平或者竖直的切割线，共三个顶点，所以还有4条切割线。分别是从B点出发作竖直切割线，A点出发作水平切割线，O点出发作水平或竖直的切割线

师：我们一起来验证一下猜想对于B点出发作竖直切割线的情况是否成立。

问题7：如图7，B点作竖直切割线，可这条线与三角形三边并无交点，是否意味着猜想失效？此时的切割线存在吗？存在的话在哪里？

图7

生：存在，如图8与OA延长线相交可得到另一个交点C，线段BC就是切割线。师：△AOB的面积怎么求解呢？

图8

生：大三角形减小三角形。

师：这个结果是否与我们的猜想一致？请同学分析一下

生：一致，BD是B点引出的竖直的切割线，此时OA两点的水平距离就是OF。

剩余还有三种情况，学生自己画图推导验证，进一步肯定猜想是正确的。

师：通过大家的严谨求证，现在我们可以很自信地说猜想是正确的，可以将它作为已知正确的结论加以使用。为了便于沟通交流，我们把发现的结论中涉及的线段取个专有名词，一般地，我们称非标准三角形中水平或竖直的切割线为“水平宽”，两点之间的水平或铅直距离为“铅直高”。

通过今天的探究，我们得出了非标准三角形面积求解的新方法：铅直高 水平宽。

其中铅直高是指由三角形某一顶点引出的水平/竖直的切割线，水平宽指剩余两点之间的竖直/水平距离。

设计意图：通过让学生尝试独立验证猜想，促使学生深度思考需要验证什么，如何验证。在验证过程中有的学生可能找不到其他切割线，促使学生更深层去分析切割线的本质——在内是割线，在外则是补线，割补统一，从而正确找到切割线。学生经历独立验证的过程，同时也在不断加深对结论的理解，反复推敲思考，不断自我质疑和完善，达到深度学习的目的。

3.4 应用新知

如图9，请同学们作出它的六组铅直高和水平宽，将面积用线段乘积来表示。

图9

4 基于教学实践的思考

笔者在课堂上根据预设和学生的生成进行了以上教学尝试，并结合实践有如下几点思考：

4.1 补充内容要充分考虑学情，教学设计遵循一般教学步骤

本节课是教材之外的补充内容，没有标准教学内容，笔者在教学过程中充分考虑学情，做好与已学知识的衔接，将所学知识与以往知识串联起来，形成完整的知识体系。在课堂开头由熟悉的三角形求面积引出本节课探究的非标准三角形面积问题，让学生清晰地知道这节课学什么，为什么学。铅直高水平宽的结论类似于几何定理，因此笔者设计的教学过程与课内几何定理教学的思路保持一致，让学生经历“观察—猜想—验证—归纳—应用”的过程，最终得出结论。一以贯之的教学方法能够让学生学会迁移理解，以后遇到类似的几何探究，学生能有方向、有顺序地进行探究。

4.2 几何定理教学中要渗透建模的基本思想

笔者在环节（二）中设计了问题串引导学生逐步发现结论以及结论中线段的几何本质，抽象出非标准三角形面积模型切割线 水平距离或铅直距离，这是第一次建模。在环节（三）中，通过验证结论的正确性，不断完善第一次建模的结果，得出铅直高 水平宽，这是第二次建模。探究过程中对面积表达式的化简整理以及对结论线段的再探究，多次体现简化、优化的思想，明晰本节课探究的目标是优化、简化割补法。

4.3 几何定理教学中要渗透推理的基本思想

笔者在教学过程中引导学生将非标准三角形面积问题转化为标准三角形的面积问题，渗透化归与转化的数学思想，紧接着探索不同割补法的结论本质，引导学生横向对比并归纳共同特征，体现数学的归纳思想，在验证猜想环节，应对学生找不到切割线的情况，引导学生仔细观察已找到的切割线，类比得出了新的切割线是在三角形外，最后以应用的形式让学生将结论应用于其他的非标准三角形。在整个教学过程中多次以问题串的方式调动学生的兴趣，激发学生深度思考的能力，发展学生深度学习能力，落实数学学科核心素养。