Sylvester矩阵方程组特殊解的H-表示解法

2022-08-22刘志红李莹丁文旭樊学玲

聊城大学学报（自然科学版） 2022年4期

关键词：基底方程组矩阵

刘志红李莹丁文旭樊学玲

(聊城大学数学科学学院，山东聊城 252059)

0 引言

本文使用的符号:C n为n阶复列向量集合，C m×n为m×n阶复矩阵集合，I n为n阶单位阵，A†为复矩阵A的MP逆，AT为复矩阵A的转置。K n为n阶Hankel矩阵集合，T n为n阶Toeplitz矩阵集合。

特殊矩阵的研究取得了一系列的成果，其中形如

的矩阵称为Hankel矩阵。近年来，Hankel矩阵受到越来越多学者的关注，例如，钱研究了基于Hankel矩阵的荧光油膜灰度与厚度预测模型改进[1]，郭提出在离线阶段使用能够有效去除噪声的Hankel矩阵，重构RSS指纹数据库将真实信号空间与噪声空间分离[2]，仇提出一种将Hankel矩阵奇异样本熵、奇异能量值和随机森林相结合的电机故障诊断方法[3]。

Toeplitz矩阵作为Hankel矩阵的一种特殊变形，即

在工业上具有广泛的应用，如吴研究了基于Toeplitz矩阵的MIMO 雷达DOA 估计[4]，梁通过对阵列接收的单次快拍数据进行相关处理后重构Toeplitz矩阵并证明该矩阵的秩不受信号相干性的影响，再通过特征值分解得到对应的信号子空间和噪声子空间，结合MUSIC，ESPRIT 等子空间类算法实现了对相干和非相干信号的DOA 估计[5]。

对给定的矩阵A，D∈C m×n，B，E∈C n×p，G∈C m×p，矩阵方程

被称为Sylvester方程。它在系统理论[6，7]、图像恢复[8]、目标跟踪[9，10]、农业工程[11]、模型降阶[12]等方面具有广泛的应用。许多学者利用不同方法研究了Sylvester方程的解，如袁研究了复矩阵方程(1)的极小范数最小二乘Hermitian解[13]，杨研究了矩阵方程(1)的Hermitian迭代解[14]，冯研究了矩阵方程(1)的极小范数最小二乘三对角Hermitian解[15]。本文将研究Sylvester方程组

的Hankel解及Toeplitz解。

问题1设矩阵A i，D i∈C m×n，B i，E i∈C n×p，G i∈C m×p，i＝1，2，求

并求极小范数最小二乘Hankel解X H∈S H，即

问题2设矩阵A i，D i∈C m×n，B i，E i∈C n×p，G i∈C m×p，i＝1，2，求

并求极小范数最小二乘Toeplitz解X T∈S T，即

求解矩阵方程的一种常用方法是直接利用vec算子将矩阵方程变为向量方程，该方法不考虑矩阵的结构特点，运算量较大。如果所求解具有某种结构特点，直接转化会造成计算上的浪费。H-表示方法给出了一种提取特殊结构矩阵独立元素的固定模式，利用H-表示，可以将矩阵方程转化为向量值方程，通过简化解的结构降低运算的复杂度[16]。目前，H-表示在随机系统[17-19]等方面具有广泛的应用。例如，Wang研究了具有多噪声的马尔科夫跳变随机系统的精确能观性[20]，Li研究了随机时滞系统的稳定性和镇定性[21]。本文将H-表示的方法应用于矩阵方程的计算中。

本文包括以下内容:第一节，介绍矩阵H-表示的方法并研究其性质；第二节，利用H-表示研究方程组(2)的极小范数最小二乘Hankel解和极小范数最小二乘Toeplitz解并给出有解的充要条件及通解表达式；第三节，给出数值算法，并通过数值实验检验算法的有效性；第四节，将此方法成功应用到一类离散周期耦合Sylvester矩阵方程组的计算中；第五节，对文章进行总结。

1 矩阵的H-表示

定义1[16]考虑一个p维复矩阵子空间P⊂C n×n，对每个矩阵X ＝x ij()n×n∈P，总存在一个映射ψ:X∈P↦V c(X)，其中V c为vec算子。如果dimP( )＝p，e1，e2，…，e p组成P的一组基，p≤n2，那么存在x1，x2，…，x p∈C，使得。定义H ＝(V c(e1) ，V c(e2) ，…，V c e(p)) ，那么对每个X∈P，我们都可以用一个p维向量将ψ(X)＝V c(X)表示成

这里(x1，x2，…，x p)T，那么就叫做ψ(X)的H-表示，H叫做ψ(X)的H-表示矩阵。

注任意X∈P，由于P的基底选择的不同，ψ(X)的H-表示是不同的，也就是说，矩阵H可能是不同的。显然，当P的基底固定时，H-表示矩阵H及向量是唯一确定的。

例1 设P ＝K3，X ＝x ij() ∈P，dimP( )＝5。

选择P的一组基底

容易计算出

式中，

例2设P ＝T3，X ＝x ij() ∈P，dimP( )＝5。

选择P的一组基底

容易计算出

式中

本文将对P＝K n以及P＝T n做H-表示如下，首先选取n阶Hankel矩阵与n阶Toeplitz矩阵的标准基底。

定理1若P ＝K n，选取一组标准基底

若P ＝T n，选取一组标准基底

显然，对上述给定的基底，若P ＝K n，那么对任意X k ＝x ij()n×n∈P，我们有

同样的，对P ＝T n，那么对任意X t ＝x ij()n×n∈P，我们有

为了方便，我们用H K表示对应于P ＝K n的H-表示矩阵，用H T表示中对应P ＝T n的H-表示矩阵。

2 Sylvester方程组的Hankel解和Toeplitz解

引理1[22]设A∈C m×n，b∈C m，则不相容线性方程组Ax ＝b的最小二乘解的通式为x ＝A†b＋(I n－A†A)y，其中y∈C n是任意的。

引理2[22]设A∈C m×n，b∈C m，则线性方程组Ax＝b有解的充分必要条件是AA†b＝b，这时，Ax＝b的通解是x ＝A†b＋(I n－A†A)y，其中y∈C n是任意的。

定理2设矩阵A i，D i∈C m×n，B i，E i∈C n×p，G i∈C m×p，i＝1，2，定义映射

这里由(4)定义，则矩阵方程组(2)的最小二乘Hankel解X表达式为

极小范数最小二乘Hankel解X H满足

证明设X为矩阵方程组(2)的最小二乘Hankel解，利用MP逆的性质得

因此

对于复矩阵方程Mφ(X)＝G，由引理1可以得到它的最小二乘解X满足

其极小范数最小二乘解X H满足φ X H()＝M†G。

推论1设矩阵A i，D i∈C m×n，B i，E i∈C n×p，G i∈C m×p，i＝1，2，矩阵方程组(2)有Hankel解的充要条件为

且其通解表达式满足φ(X)＝M†G ＋(I2n－1－M†M)y，∀y∈C2n－1，极小范数Hankel解X1满足

证明利用定理2的证明过程，可以得到

利用MP逆的性质得

从而

类似的，我们可以得到问题2的极小范数最小二乘Toeplitz解及推论2，证明过程略。

定理3设矩阵A i，D i∈C m×n，B i，E i∈C n×p，G i∈C m×p，i＝1，2，定义映射

这里由(5)定义，则矩阵方程组(2)的最小二乘Toeplitz解X表达式为

极小范数最小二乘Toeplitz解X T满足

推论2设矩阵A i，D i∈C m×n，B i，E i∈C n×p，G i∈C m×p，i＝1，2，矩阵方程组(2)有Toeplitz解的充要条件为

且其通解表达式满足χ(X)＝N†G ＋(I2n－1－N†N)y，∀y∈C2n－1，极小范数Toeplitz解X2满足

3 数值算例

在求解矩阵方程时，一种常用方法是利用vec算子转化为Ax ＝b的形式，然后利用广义逆进行求解。和求解矩阵方程的常用方法相比，H-表示方法在计算特殊解误差与求解时间方面有较明显优势。

算法

步骤1 输入A i，B i，D i，E i，G i∈C n×n，i＝1，2，H K，H T∈C n2×2n－1()。

步骤2 输出G，M，N。

步骤3 根据公式(6)和(7)，输出矩阵方程组(2)的极小范数Hankel解和极小范数Toeplitz解。

算例考虑Sylvester方程组，令n＝5k，k＝1:18，在Matlab中随机生成n阶矩阵A1，A2，B1，B2，D1，D2，E1，E2，具体如

生成n阶Hankel矩阵与Toeplitz矩阵

计算

用上述算法与矩阵方程的常用求解方法求Sylvester方程组的极小范数Hankel解与极小范数Toeplitz解，利用两种方法得到的极小范数Hankel解X1与真实解Xhh的误差数量级ε1＝log10(X1－X hh) 如图1所示，极小范数Toeplitz解X2与真实解X tt的误差的数量级ε2＝log10(X2－X tt) 如图2所示。利用两种方法计算极小范数Hankel解所需时间如图3所示，计算极小范数Toeplitz解所需时间如图4所示。

图1 问题1的误差比较

图2 问题2的误差比较

图3 问题1的时间比较

图4 问题2的时间比较

根据图1、图2，在求解同等规模的Sylvester方程组的极小范数Hankel解和极小范数Toeplitz解时，本文提出的H-表示的方法得到的误差明显小于常用解法。根据图3、图4，当矩阵维数大于50时，相比于常用方法，H-表示方法在求解时所需时间更短，且随维数增大，H-表示方法优势更大。因此可以得出H-表示方法在求解矩阵方程时更占优势。

4 应用

周期Sylvester矩阵方程组的求解是离散周期系统鲁棒极点配置、状态观测器设计、基于观测器的鲁棒控制和故障判断等控制领域问题研究的关键环节，本节我们研究在特征值收集的周期计算子空间计算中常用的一类离散周期耦合Sylvester矩阵方程组。一般意义下，周期耦合矩阵方程可以含有多个约束矩阵方程，但为方便讨论，我们设定其两个约束方程如