解决平面向量问题的两大法宝

顾冬生

平面向量问题一般以基底法和坐标法为主，同学们灵活运用基底意识和坐标意识，针对不同的题型选择适当的方法，问题就会迎刃而解，下面我们就以几道考题为例，学习怎样灵活运用这两种方法，

例1 设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=1/2AB，BE=2/3BC，若DE=λ1AB +λ2 AC（λ1，2λ为实数），则λ1+λ2的值为____.

解析 由平面向量基本定理可知，平面内任意一个向量都可以用一组基底唯一表示，本题已经给出了两个不共线的向量AB，AC，因此我们可以用它作为基底把其他的向量表示出來，

反思 选取适当的基底，用它表示所涉及的其他向量，问题就转化为基底之间的一些表示和运算.

例2 如图2，在矩形ABCD中，AB=√2，BC =2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB.AF=√2，则AE.BF的值是_________.

解析 本题给出的向量较多，给我们寻找适当的基底带来了难度，经分析发现：AB，AD为正交基底，可以建立坐标系将向量用坐标表示进行计算，用坐标法解题，

以A为原点，AB为X轴，AD为y轴建立如图3所示平面直角坐标系XAy，则A（0，0），B（√2，0），C（√2，2），D（0，2），E（√2，1），设F（x，2），得到AB=（√2，o），AF=（X，2），则AB.AF=√2X=√2，故X=1.AE=（√2，1），BF=（l-√2，2），则AE.BF=√2（1 -√2）+l×2=√2.