重传承 显规范 消疑惑
——以“线段的长短比较”为例*
2022-08-19刘清清黄建福
刘清清 黄建福
(安徽省肥西县上派初级中学 231200)
1 问题提出
图1
AD
AD
AB
BD
AD
AC
CD
AD
AB
BD
AD
AC
CD
2 原生态课堂
该教师在讲解线段的比较、线段的和差、线段的倍分时，提出以下几个问题.
问题1 图2中两条线段AB
，CD
的大小关系怎样表示？
图2 图3
生1：根据叠合法可知AB
>CD
，或是CD
<AB.
问题2 图2中叠合后的图形如图3，则图3中有几条线段？它们之间有怎样的数量关系？
生2：共有三条线段，分别是AC
，BC
，AB.
它们三者之间满足AB
=AC
+BC
，AC
=AB
-BC
，BC
=AB
-AC.
问题3 点C
是线段AB
上的点，可能会出现一种特殊的位置，你知道是什么吗？生3：是线段AB
的中点.3 “痴傻”现象剖析
以下将从两个方面阐述“痴傻”问题产生的客观因素.
3.1 知识认知层面
本节课看似教师充当着引导者，所有的问题都具有引导性、启发性，但是从知识层面来看，这些问题跨度大、思维深，问题之间衔接不流畅、转折僵硬，没有体现出探究知识的逻辑性与必要性，导致学生出现心理和思想上的巨大分歧.
首先，本节课的难点之一就是要求学生会将图形语言转化成形如AD
=AB
-BD
的几何语言，而在此之前，学生对几何语言知之甚少，甚至对几何语言的认知是空缺的.在“线段的长短比较”之前，学生仅仅学习了点、线段、射线、直线的相关知识，从未涉及用几何语言表示线段的数量关系.因此，突兀地提问“线段的数量关系”已然超出学生理解和认知的范畴.在文[1]中，作者采用了“留白”的方式：先让学生自己解答，列出算式，通过活动学生会发现失去了几何语言的“帮助”，单纯的算式就变得死气沉沉、毫无意义.自然而然，学生会发觉几何语言的必要性.事后，笔者也故意“留白”，让学生大开脑洞，自由选择符号、字母等表示AB
，AC
，BC
三者长度之间的数量关系，学生会给出各种新奇的表示，如AB
=AC
⊕BC
，AB
=AC
vBC.
笔者认为，只要学生能够理解各自选择符号的含义、熟练地使用符号表达图形就是合情合理的.但是，为什么最终选择AB
=AC
+BC
的形式来表示图3的图形语言呢？因为在漫长的数学发展史中，数学家为了研究问题的方便，更是为了传播数学文化知识，统一使用了形如AB
=AC
+BC
的形式来表达图3，这体现了知识的继承性和传承性，对后人快速建立知识体系、继承与发扬数学知识起到了不可替代的作用.而学生具有个人特色的符号仅限于个体理解，不便于他人传阅，这就是为什么最终选用=、+、-等符号来表达AB
，AC
，BC
三者的数量关系.这种表示体现了继承与发展，有着严格的规范性，理应由教师作出示范性的解说，而非是由学生一说了之.教师是数学知识的传播者，亲自解说具有权威性与示范性，更具有说服力，可以减少学生的疑惑与质疑.3.2 课堂问题层面
除此之外，原生态课堂中教师提出的三个问题跳跃性很大，也是学生产生“痴傻”问题的一个原因.针对问题2，根据学生已有的知识，可以轻易获得图3有三条线段，但是三者的数量关系对学生来说却是质的转变.在问题1中，学生刚刚认知了线段长短比较的简记方法，但是问题2中，由两条线段飞跃成三条线段，由不等的数量关系生成相等的数量关系，不能生硬地、人为地“生成”，更不能由学生的回答草草收场，还需要巧妙的过渡与引导，问题3就是典型的人为(教师)“诱导”.从数学知识的逻辑性来看，问题1、问题2、问题3之间缺乏关联，存在着逻辑的断层，教师亦不能对这种断层给出合情合理的讲解，仅仅用学生的回答匆忙结束，难免让学生心生疑窦.
4 再生态课堂
以上简述了学生“痴傻”问题产生的原因，据此，在课堂上试图让学生与教师达到思想共鸣，这需要在原有的教学理念下“修复”原生态课堂，对接学生思想，让课堂问题做到最大限度的合情合理、自然连贯.
问题① 请用叠合法比较图2中线段的长短.哪条线段的长度较长，哪条线段的长度较短？
生4：根据叠合法可知，线段AB
的长度比较长，线段CD
的长度比较短.师：像线段AB
和CD
长度的长短关系，我们可以用AB
>CD
表示，它既表示线段AB
与线段CD
的长度比较的结果，又可以表示线段的长短关系.你还能写出类似的式子吗？生5：CD
<AB.
师：在问题1中，两条线段叠合的图形如图3，请你观察，图中有几条线段？
生6：共有三条线段，分别是线段AB
、线段AC
和线段BC.
问题② 线段AB
比线段AC
长了多少？生7：根据叠合法可知，线段AB
比线段AC
长了线段BC.
师：我们可以用BC
=AB
-AC
表示这种图形语言.你可以写出类似的式子吗？生8：AC
=AB
-BC
，AB
=AC
+BC.
问题③ 在图3中，若点C
是线段AB
上的动点，点C
从点A
向点B
运动的过程中，线段AC
，BC
，AB
三者的数量关系如何？线段AC
与线段BC
的大小关系又发生怎样的变化？生9：无论点C
如何运动，线段AC
，BC
，AB
始终满足AB
=AC
+BC
，AC
=AB
-BC
，BC
=AB
-AC.
但是线段AC
与线段BC
的大小关系随着点C
的运动而变化，先是AC
>BC
，接着AC
=BC
，最后AC
<BC.
师：点C
在线段AB
上自左向右运动的过程中，出现了AC
>BC
，AC
=BC
和AC
<BC
三种结果，哪种结果是等量关系？生(众)：AC
=BC.
师：像这样的点C
叫做线段AB
的中点.请你用自己的语言尝试描述中点的定义.5 原生态问题解决
5.1 再生问题1
在讲解“AB
>CD
”时，再生态课堂采用的问题是“哪条线段的长度较长，哪条线段的长度较短”，替代了“两条线段AB
，CD
大小关系怎样表示”，注重了学生的认知基础.在此问题的回答中，再生态课堂是教师首先示范了“线段AB
比线段CD
长”用“AB
>CD
”表示，再明晰AB
>CD
表示的两种含义：既表示线段长度比较的结果，又可以表示线段的长短关系.这里，不是借助学生的回答告知全体学生，而是教师本人直接讲授.学生可能会回答出“AB
>CD
”，但是对其蕴含的两种含义不能深入地领悟，这种深层次的理解与表达需要教师的讲解.5.2 再生问题2
学生在初学线段的和差关系时，仅仅知道线段AB
，AC
，BC
三者长度之间的数量关系，但是不知道如何用式子表示.在课堂上，我们不排除有学生会想到用“AB
=AC
+BC
”的形式表示，但是这只是一部分学生，并不能代表全部的学生均认可这种表示方法.若是在初学时，教师没有示范和规范图3的几何语言，就会导致学生心理上认同而思想上质疑的现象.因此在再生态课堂中，教师提问“线段AB
比线段AC
长了多少”，替换了原生态的问题2(它们之间有怎样的数量关系？)，将几何语言揉碎成学生能够理解的文字语句，接着教师再规范板书“线段AB
比线段AC
长了线段BC
”可以用式子“BC
=AB
-AC
”表示.教师在此处讲授的作用不仅仅是强调式子的规范性，更是用学生的认知语言解释了式子的书写，达到了获取新知与学生认知的统一.5.3 再生问题3
原生态的课堂中，问题3的提出略显生硬和刻意，线段上特殊位置或特殊点繁多，而本节课为什么要研究中点，中点的存在性和唯一性没有解释透彻，学生完美无瑕的回答是对教师违心地“迎合”.将问题3改换成问题③，利用“线段AC
与线段BC
的大小关系”让中点的存在性和唯一性曝光在点C
的运动过程中，通过运动的观点解释了中点的客观性、特殊性和学习的必要性.6 教学反思
6.1 对原生态的反思
在教学中，我们时常会遇到与学生不能达到感情与思想共鸣的情况，教师认为显而易见的问题，是容易理解或不需要解释的内容，偏偏学生就是不理解、不能领悟.这时，我们当以初学者的眼光阅读课本，去发现问题的根源.翻阅课本时便会发现，“线段的长短比较”一节中有一个词因反复出现而显得特别醒目.课本在讲解线段的长短比较时是这样描述的：当点D
在线段AB
内部时，线段AB
大于线段CD
，记作AB
>CD
；在讲解线段的和差时，表述如下：点D
在线段AB
上，那么线段AD
就是AB
与BD
的差，记作AD
=AB
-BD
.诸如此类的表述还有很多，这里“记作”二字意味着“约定俗成”，类似于“三角形ABC
”可以记作“△ABC
”.因此此处应该由教师规范书写，阐述知识的传承性与统一性，不能由学生替代教师的示范作用，以免引发不必要的误会，从而引发学生产生“痴傻”问题.6.2 对再生态的反思
透过“原生态问题解决”环节，可以探知“痴傻”问题产生的客观原因，因为教学过程中，教学问题跨度大、台阶高，教师过高地预估了学生的认知，过多依赖于看似能够自主学习的学生，没有正确认知教师的主导地位.在再生态课堂中，教师充分研读学情，准确评价学生的学情(问题①)，作出正确示范(问题②)，将本节课的难点转化为学生易于理解的方式表达(问题③)，探索了学习知识的必要性和特殊性(问题③)，从而引导认知与获取的和谐，避免学生产生思想质疑与心理认同的不协调，防止痴傻问题的产生.
数学知识的学习过程其实就是学生继承先人遗志并发扬光大，而先人遗志的播撒者就是教师.因此，我们倡导学生主体性并非是“一刀切”和盲目的，当遇到需要教师作出规范性讲解时，不能由学生代劳.教师应该将知识掰开了、揉碎了，使用学生的认知语言将知识讲解透彻，才能尽可能减少“痴傻”问题的提出.因为继承与发展对学生来说，不是一时的热情，而是持久的恒温，“痴傻”问题的背后是对约定俗成的未知以及教师规范性讲解的欠缺，恰恰这份“痴傻”是学生继续探究知识的不竭动力和永久“保鲜剂”.
