一道教材习题引发的教学思考*

唐 毅 刘晓丽

(江苏省镇江第一中学 212016)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》要求“提升学生的数学素养，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界．”“提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式．”“读-研-写”能够很好地让学生在用数学眼光观察世界的基础上，用数学思维思考并用数学语言表达，可以有效地丰富学生的学习活动，让深度学习发生，进而发展学生的核心素养．

解三角形是高考中的基本考点之一，难度适中，常与三角恒等变换、平面几何、向量、基本不等式等相关知识交汇与综合，能较好地考查学生的数学运算素养、建模求解能力和化归与转化思想．而破解三角形问题的关键是寻找切入点，借助已有知识、经验，激活思维，落实四基，培育素养．特别是高三备考阶段，对于难度系数不大的模块，如何改变“枯燥无味”的课堂环境？如何营造积极的课堂氛围？本文以一道教材习题的教学为例进行阐释．

1 习题呈现

图1

(苏教版《必修第二册》第11章“章末测试”第14题)如图1，在△

ABC

中，求

AD

的长．

此题三角形外形简洁，内涵丰富，思考空间大．

2 背景

高三备考中“回归教材”必不可少．上题出现在单元检测中，从学生的解答情况来看，大部分学生选择使用正、余弦定理的常规解法；从得分率来看，本班得分率只有89.93%，对于基础较好的班级来说，这样的基础题得分并不理想．究其原因是部分学生的方法过于单一，缺少对问题的追根溯源和对基本解题活动经验的积累．但此时如果教师继续讲解原题，大部分学生并不感兴趣，对于此题笔者的处理是“不详解”，但课堂上作变式训练，对解题视角进行多维度的探究与思考，以激发全体学生学习的积极性，营造良好的课堂氛围．从课堂效果来看，超出了笔者的预期，课堂上学生积极思考，认真倾听，追根溯源，详细记录．

3 变式探究

图2

如图2，在△

ABC

中，为

BC

中点，∠

CAD

=45°，∠

BAD

=30°，求

AD

的长．

本题考查解三角形问题，题目平和简洁，蕴含的数学知识、方法、技能丰富，是一道值得深入探究的题目，与上述教材习题相似度较高．课堂实践具体如下：

视角1——正、余弦定理

解法1

(大、小三角形结合)在△

ABC

中，由正弦定理，得即①．在△

ABD

中，由正弦定理，得即②．

将①代入②，得

图3

解法2

(利用互补角)设∠

ADC

=

α

，在△

ACD

中，由正弦定理，得即①．在△

ABD

中，由正弦定理，得即

BD

sin

α

=

AB

sin 30° ②．由①②及

CD

=

BD

，得

AB

=2．在△

ABC

中，由余弦定理，得在△

ABD

中，由余弦定理，得解得或(舍去)，故

评析

由于所给的已知条件是一些边角关系，大部分学生首选常规思路——正弦和余弦定理．解法1巧用中点，借助余弦定理实现转化与化归，求得

AD

的长．解法2巧用“互补角”，“互补角”在教材11.1节的例6证明角平分线定理时使用过．再结合正、余弦定理，解方程求得

AD

．但

AD

的两解需要综合三角形边角关系“大边对大角，小边对小角”的原理进行取舍，是学生的难点和易错点．利用正、余弦定理建立边角关系，有利于培育学生的逻辑推理和数学运算素养．

视角2——坐标化

解法3

(利用特殊角)以

AB

所在直线为

x

轴，点

A

为坐标原点，建立平面直角坐标系(图4)，则

图4 图5

解法4

(利用对称性)以

AD

所在直线为

x

轴，点

A

为坐标原点，建立平面直角坐标系 (图5)，则

C

(1,1)．由Rt△

CDE

≌Rt△

BDF

得又由得故

评析

建立平面直角坐标系，将“形”的位置关系转化为“数”的运算．解法3巧用特殊角，借助∠

BAD

=30°得

AD

=2

y

，再由中点得2

y

=

y

，轻松求解．解法4巧用三角形全等，易得

y

=-

y

，由向量共线求得点但若有学生以线段

AC

所在直线为

x

轴，建立平面直角坐标系，情况将变得复杂，求解困难．在此可以引导学生关注如何选择建系位置．用代数方法研究几何问题，这里坐标化的渗透有助于后续学习解析几何，强化四基四能的同时，有助于培育数学运算素养．

视角3——等面积

解法5

(利用算两次)由点

D

是

BC

中点，可得

S

△=

S

△，即即

评析

由于中点的出现，两个小三角形面积相等，利用斜三角形面积公式得

AB

=2，再结合大三角形面积，算两次，可以求得

AD

的长．这里有助于学生数学运算核心素养的发展．

视角4——平面向量

解法6

(向量数形结合)已知及与夹角为75°，只需要求得

AB

长度(见解法2或解法5等)．

评析

向量集“数”与“形”于一身，是沟通几何、三角、代数的天然桥梁．苏教版教材中余弦定理的获得也是基于平面向量的背景，这里可以将三角形中的边角关系还原到向量背景中探究，简化运算．将三角形问题转化为平面向量，能培育学生的数形结合思想，促进直观想象数学素养的发展．

视角5——平面几何

解法7

(利用倍长中线)如图6，延长

AD

到

T

，使得

DT

=

AD

，连结

BT

，则△

ACD

≌△

TBD

．在△

ABT

中，由正弦定理得

解法8

(利用斜化直)如图7，作

CE

⊥

AD

于

E

，

BF

⊥

AD

于

F

，则Rt△

CDE

≌Rt△

BDF

．在Rt△

ACE

中，

CE

=

AE

=1，在△

ABF

中，

图6 图7

评析

处理平面几何问题时经常要引入辅助线，这对学生逻辑推理和直观想象素养要求较高．倍长中线以及构造直角三角形，都是学生初中研究的重点内容．解法7倍长中线再结合正弦定理一步到位求得

AD

长．解法8通过平面几何知识构造直角三角形，借助三角形全等求得

AD

长；也可以分别过

B

和

D

作

AC

的垂线(或者分别过

C

和

D

作

AB

的垂线)，“斜化直”构造直角三角形．关注几何图形，可以避开复杂运算，有助于培育学生的逻辑推理、直观想象素养．

图8

一节课愉快且充实地度过，学生再次详细地经历了解三角形问题的常见突破视角(图8)的思考过程．下课时部分学生触类而通，兴奋地告诉笔者，对于教材的第14题他还有很多解法，如利用互补角、坐标化、平面几何等等，课堂效率明显提高．

4 几点思考

教学实践中，笔者经历了“青涩—成熟—骨干”的成长过程，也遇见过“迷茫”，迷茫于面对高考的重压，学生总想着“节约”时间多做题，“节约”甚至到了课堂，主要体现在：老师讲评作业(或练习)，学生不想“浪费”时间听，特别是自己做对的题目．面对这样一种“课堂现象”，笔者反复思考，如何改变学生“不听讲”的状态？如何让学生主动思考？通过数学课堂学生到底获得了什么？如何让学生自然生成解法？

(1)多倾听，再激活

解题不仅仅要“解答正确”，还要追求思路清晰、推理严谨、表达流畅、过程简捷．适当优化课堂教学活动，从不同角度审视题目，多视角、多层面地思考与探究，激活旧知，开拓思路，掌握规律，积累解题经验，完善数学学习过程．解题切入口也要适合学情，顺应学生的思维自然地开展，让学生感受到自己的思考是有效的，增强学生学习数学的自信心．从学生的已有知识积累和解题经验出发，从“浅层次”着手，层层递进，不断“唤醒”学生，不断地把数学知识与技能转化为分析问题、解决问题的能力，提升数学素养．

(2)常反思，勤总结

高三学生对解三角形题目往往不屑于深究，但从整体来看，并没有达到应有的学习结果．试想，如果本节课笔者仍在原题上切入互补角、坐标化、平面几何、向量等解三角形的常用方法，大部分学生会觉得自己已经做对了，不需要再继续研究了，可能一节课下来学生的知识增长几乎为零．数学知识的内部纵横交错，即使问题成功解决也需要反思回顾，加强对问题的深层研究，为数学思维和数学交流创造机会．

(3)重过程，育素养

本文的例题解答方法较多，但不同方法之间所用的思维、运算、表述、时间、书写等成本大不相同．对比不同的解决方案，能优化解题思路、提高解题效率，同时发展核心素养．当然，核心素养的发展不是一蹴而就的，它贯穿于每一个教学环节之中，教师的每一次教学活动都应该为发展学生的核心素养做出应有的贡献．我们要学习课程标准，研读教材，揭示数学知识内部规律、联系，明晰训练方向，研究学生得失，提升学生能力；调整课堂教学策略，优化课堂教学环节.

数学教学“读-研-写”在行动，具体地说就是：引领学生学会主动思考，学会倾听和阅读老师或同伴的想法及过程，并以此为契机深入研究，将数学理解、解题回顾和方法反思等用自己的语言形成文字表达，及时总结研究成果．后期学生通过阅读自己的写作内容，能很快地进行思维上的衔接和联系，有助于延续性学习，促进深度学习．本文提及的问题不难，但仍需我们从中反思，希望能为数学教学提供一点借鉴．