活用思维导图 助力微课生长——以“二次函数的图象、性质与系数的关系”微专题教学设计为例

朱佳炜

(苏州大学实验学校 215131)

任宏章

(南京师范大学苏州实验学校 215133)

微专题课是教师根据学生的学习情况及作业反馈出来的突出问题而组织进行的课堂教学，通常是用一节课的时间解决一个重要知识点或一类题型.微专题课以“微”渐进，具有很强的针对性和可操作性，课堂指向知识点体系生成、数学思想方法生成，着力发展学生的数学思维能力.实际教学过程中，由于学生学习经验、知识储备不足等原因，一般很难在课堂上以思维导图的形式完全呈现学习内容；同时，受课堂学习时间的限制，也不会有充足的时间绘制“大”且“全”的思维导图.在此笔者提出在课堂教学过程中围绕一个知识点、一道题目或一种数学方法展开思维联想，绘制与此相关的微型思维导图.

下面以区级示范课“二次函数的图象、性质与系数的关系”中考复习微专题课为例，谈谈基于微型思维导图的初中数学微专题教学，以及兼具苏州特色的“问题导向、深度理解、高度参与、开放多元”的初中数学课堂教学要求.

1 教学分析

(1)教学内容分析

二次函数的图象与性质是本章节的重点知识.本节课是在学生对相关知识点的理解还不成体系的情况下组织教学的，特别是学生对解析式

y

=

ax

+

bx

+

c

(

a

≠0)中的系数

a

，

b

，

c

与二次函数图象之间的关系还不够清晰.

(2)教学目标确定

①绘制思维导图，梳理知识要点，建构二次函数图象、性质与系数关系的知识体系；

②编撰思维导图，通过典型例析，感悟解决二次函数图象、性质与系数关系问题的数学思想；

③活用思维导图，通过拓展延伸，变式运用，学会分析、解决二次函数图象、性质与系数关系的问题；

④创新思维导图，建立方法体系，形成解决二次函数图象、性质与系数关系问题的经验、方法和策略.

2 教学过程

2.1 凭借问题，绘制导图，梳理要点

问题1

根据

y

=

x

，

y

=2

x

，

y

=-2

x

，

y

=2

x

-3，

y

=2(

x

+4)，

y

=2(

x

+4)-3，

y

= -2(

x

+4)-3的图象，从开口方向、顶点坐标、对称轴、最值等方面试比较它们之间的异同点.追问：

y

=

a

(

x

+

h

)+

k

是什么式？二次函数还有哪些形式？

图1

教学意图

问题1教学时引导学生画思维导图(图1、图2)，动态呈现知识要点，准确表示二次函数相关性质.

图2

问题1有助于学生加深对“

a

定形定”的理解，通过改变

y

=

a

(

x

+

h

)+

k

中的

h

与

k

值实现图象平移，总结为“上加下减、左加右减”.通过追问帮助学生梳理一般式、顶点式、交点式之间的联系，发现三者“各有千秋、殊途同归”(图3).

图3

2.2 典型例析，编撰导图，感悟思想

问题2

将抛物线

y

=

x

-6

x

+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线解析式是什么？变式：若将抛物线

y

=(

x

-3)-4沿直线

y

=2

x

-10方向进行平移，且新抛物线经过点(0,-10)，求新抛物线的解析式.

教学意图

问题2是问题1基础上的知识应用.变式中，只需设平移后的函数解析式为

y

=(

x

+

h

)+

k

，平移前顶点(3,-4)在直线

y

=2

x

-10上，所以平移后的顶点坐标(-

h

,

k

)也在该直线上，易得方程组解方程即可.以上过程蕴含“设未知数-构建方程模型-解决问题”的数学建模思想(图4).

图4

问题3

抛物线

y

=

x

+

bx

+

c

与

x

轴只有一个交点，与

x

轴平行的直线

l

交抛物线于点

A

，

B

，交

y

轴于点

M

，若

AB

=4,试求

OM

的长.追问：什么时候抛物线与

x

轴有一个交点、两个交点、没有交点呢？这其中有什么规律吗？

教学意图

由关键条件“与

x

轴只有一个交点”得该交点即抛物线顶点，将

y

=

x

+

bx

+

c

左右平移得

y

=

x

，平移不改变线段

AB

与

OM

的长度，易得

OM

=4.以上过程体现数形结合、化归思想(图5).

图5

问题3以问题2为基础，通过对条件、结论以及表达形式等方面的形式演变，不断扩大问题的应用范围，翻新问题的应用形式，加深了对知识的内在本质、应用规律和解决方法的理解.在追问环节，有学生提出可通过开口方向、顶点位置直观判断抛物线与

x

轴交点个数，这与利用

Δ

=

b

-4

ac

的正负性进行判断是有区别的.学生作为独立的、有思想的个体，对课堂学习内容可以有他自己独特的看法，我们的数学课堂应包容、鼓励.

问题4

已知二次函数

y

=

ax

+

bx

+

c

的图象经过点(-3，0)，(1，0)，(0，-3)，请问

y

=(

a

-

b

)

x

+

c

的图象经过哪些象限？你能否不求函数解析式就回答这个问题？追问：

a

，

b

，

c

三个常数与图象之间的关系是什么？

教学意图

问题4引导学生绘制函数图象确定

a

，

b

，

c

的正负性，梳理了这三个常数与图象之间的关系(图6).

图6

问题4蕴含数形结合等数学思想，在把控好课堂节奏的前提下，应鼓励学生打开思维，通过交流探究自然生成新知识，培养理性思考、演绎推理的数学精神.

2.3 拓展延伸，活用导图，提高能力

问题5

已知抛物线解析式为

y

=-4

x

，当1<

x

<2时，求

y

的取值范围.变式：已知抛物线解析式为

y

=(

x

-

m

)+2

m

，若图象经过第一、二、三、四象限，求

m

的取值范围.

教学意图

问题5只需画出函数的大致图象即可解决(图7).

图7

变式中，

y

=(

x

-

m

)+2

m

的顶点坐标是(

m

，2

m

)，该点是直线

y

=2

x

上的动点，只需研究“当抛物线经过原点”的临界状态，此时

m

=0或

m

=-2.结合图象，当

m

<-2时、

m

=-2或0时、

m

>0时，均不符合要求；而当-2<

m

<0时，抛物线经过四个象限，符合要求.

2.4 课堂小结，创新导图，系统构建

本节课的课堂小结，先是各学习小组在组内讨论汇总，再以小组为单位进行成果展示，其余小组评价补充.在评价过程中生生互动、师生互动，让数学课堂成为思想碰撞的课堂.这节课从问题1到问题5，从特殊到一般，再从一般到特殊，类比寻找到问题解决的根本方法.思维转瞬即逝，图象却可以存留弥久，因此，图象的表达性是定格思维的“魔法”，是思维得以持久发展的支柱.这节课在系统思维和整体观念的引领下，生成性绘制思维导图，构建解决二次函数图象、性质与系数关系问题的方法框架.

3 设计反思

3.1 问题串联，导图助力建构体系

本节课通过五个问题串联，完成了“从1到

a

、复习旧知”“平移变换、

a

定形定”“观察图象、理解系数”“数形结合、留意顶点”“参数函数、能力提升”五个教学任务，帮助学生深度理解、高度参与、激发思维.根据实际情况，一节课可以绘制多张微型思维导图，帮助学生梳理解题思路，整合知识结构，取得了很好的课堂效果.

3.2 问题解决，导图助力感悟思想

复习课的设计要全面系统帮助学生构建知识网络，这节课通过绘制小而精致的微型思维导图，让学生能够参与、乐于参与，把知识、方法进行整合“聚焦”，引导学生透过数学问题感悟数学思想.

3.3 问题提炼，导图助力形成素养

初高中的数学思想是一脉相承的，通过典型例析帮助学生体会函数与方程思想、数形结合等思想，能够为学生将来高中学习函数内容埋下伏笔.当然，数学思想不是简单的灌输，要充分体现以生为本的原则，鼓励学生敢尝试、敢质疑、敢出错，畅所欲言.在交流中，多角度解决问题，实现数学知识、方法的巩固.在绘制微型思维导图过程中，形成思考的能力，最终我们要使学生获得良好的数学素养，深植必需的数学思想，树立强大的数学精神.