基于倒向随机微分方程理论的可分离债券定价

苗 杰

(广东第二师范学院数学学院，广州 510303)

0 引言

可分离债券的全称叫做认股权和债券分离交易的可转换公司债券，它是指上市公司在发行公司债券的同时附有认股权证，是公司债券加上认股权证的组合产品，但同时具有债券和认股权证可分离交易的特性。2006 年11 月13 日，马钢股份公司发行了我国第一只可分离债券，随后，武钢、唐钢等几十家上市公司纷纷发行了可分离债券。因此，可分离债券成为时下“有实力”上市公司重要的再融资方式之一，这充分表明了可分离债券是金融市场中不容忽视的一种新型金融工具。对于发行者和投资者来说，最关心的是可分离债券的定价问题。国内很多学者对可分离债券的定价进行了研究，例如：鲁欣[1]、朱丹[2]、苗杰和师恪[3]用Black-Scholes(B-S)期权定价加债券的方式得到了可分离债券的定价模型。随后，考虑到可分离债券上市后被分为认股权证和债券，对股权具有稀释作用，李少华等[4]用稀释效应的B-S 模型对可分离债券进行了定价。由于非系统风险的影响，股价会发生不平常的跳跃。于是，苗杰等[5–6]研究了跳扩散模型下的可分离债券的定价。为了捕捉资产价格的长期相关、尖峰后尾等性质，陈飞跃[7–8]分别在分数布朗运动和双分数布朗运动下得到了可分离债券更一般的定价公式。考虑到股价的不连续波动性及长期依赖性，戴海望[9]在分数扩散模型和Ornstein-Uhlenback 过程模型下研究了可分离债券的定价。由于国内市场长期以来存在着不同程度的投资组合约束，使得可分离债券与可转债在价格差异上更明显。因此，胡昌生等[10]在投资组合约束下，从结构化模型角度对可分离债券进行定价。上述这些方法都是以随机分析中的鞅表示定理和Gisanov 定理作为研究工具，利用到期现金流折现的方法来实现的，尽管它们有着很多的优点，然而模型的缺陷也是众所周知的。近年来，随着倒向随机微分方程理论的迅速发展，Pardoux 和Peng[11]首先研究了倒向随机微分方程的适应解。Peng[12]通过倒向随机微分方程得到了非线性Feynman-Kac 公式。接着，Karoui 等[13]研究了倒向随机微分方程的各种性质，并把它们用到金融中，从而为金融产品的定价开辟了一条新的途径[14–15]。因此，本文从一个全新的角度出发，用倒向随机微分方程的理论来研究可分离债券的定价，并得到可分离债券的定价模型。

1 基本假设

2 定价模型

我们把(16)式带入(15)式，得到(14)式，由倒向随机微分方程的唯一性可得Vt=u(St，t)，于是可分离债券在0 时刻的价格V0=u(S0，0)。

N(·)表示一维标准正态分布函数，具体证明参见文献[3]。

3 实证分析

在定理4 中，我们得到了可分离债券的定价模型。为了验证此模型的优越性，我们以马钢可分离债券为例进行实证分析，基本信息如表1 所示。

表1 马钢可分离债券的基本信息

从表1 得到模型(23)中的部分参数值分别为S0=3.32，a=23，b=1，T1=2，T2=5，K= 3.4，h= 0.014。由于认股权证和债券的期限不同，所以我们分别采用2006 年银行两年期定期存款利率r1= 0.030 6，和五年期定期存款利率r2= 0.041 4。为了估计模型(23)中的股票波动率，我们采用从2004 年11 月1 日至2006 年11 月12 日马钢股票每个交易日的收盘价格，共448 个数据(数据来源于国泰安数据中心)，计算其历史波动率。方法如下，设

从表2 可以看出，模型(23)得到的可分离债券的理论价值比文献[1，3]得到的更接近于实际价值。因此，本文得到的可分离债券的定价模型(23)更合理。

表2 马钢可分离债券的价值

4 结论

倒向随机微分方程在金融市场上具有很重要的价值，它为金融产品的定价开辟了一条新的路径。以往的文献对可分离债券的定价都是以随机分析中的鞅表示定理和Gisanov 定理作为研究工具，利用到期现金流折现的方法来实现的。而本文用倒向随机微分方程理论研究了可分离债券的定价，利用Feynman-Kac 公式，得到了可分离债券在当前时刻的价格就是所满足的倒向随机微分方程的解。