含两时滞企业竞争与合作模型的全局吸引性

艾合麦提·麦麦提阿吉

(新疆大学数学与系统科学学院，乌鲁木齐 830017)

0 引言

值得注意的是，种群在生物系统中的生存是生物数学中最基本、最重要的问题之一，而共存是实现物种生存的一个重要途径。然而，在现实世界中共存不仅存在于生物种群中，而且存在于企业集群中。因此，成为我们社会中最普遍的现象之一。近年来，国内外一些学者提出了基于生态学理论的各种类型企业集群模型[1–15]，这引起了许多学者对应用生态学和动力系统理论方法研究企业集群的兴趣。例如，田秀华等[3]研究了以下无时滞自治两企业竞争动力学模型

应用重合度理论和微分不等式理论，徐昌进[8]得到了一组系统(4)周期解存在的充分条件。随后，艾合麦提·麦麦提阿吉和穆沙江·努热吉[9]考虑了系统(4)，利用微分方程比较原理和构造Lyapunov 泛函，得到了系统(4)的有界性、持久性、灭绝性和全局吸引性的一些新的充分条件。

此外，在自然界中，种群的栖息地环境会随着时间而变化，这会导致这些种群的生长特征发生变化。同样，企业集群里的各个因素也会随着时间而变化。然而，自治系统(1)～(3)中作者不考虑这随着时间而变化的变化，且自治系统(1)～(3)在数学建模方面存在一定的局限性。因此，我们研究两个企业竞争与合作模型时，应该考虑这种随着时间而变化的情况。基于上述的研究工作[1–9]，分析和原因，本文考虑以下的两时滞非自治企业竞争与合作模型

据我们所知，企业集群的一个重要问题是企业集群的共存性和共存的稳定性。而更好地解决这个问题的方法就是研究企业集群模型的全局吸引性。因此，本文的主要目的是建立系统(5)的最终有界性和全局吸引性的一些新的充分条件。另外，作为本文主要结果的应用，我们还研究系统(1)～(3)的上述动力学行为。

在系统(5)中，xi(t)(i= 1，2)分别表示企业A和企业B在t时刻的产量；ri(t)(i=1，2)表示企业A和企业B在t时刻的产出内在增长率；τi ＞0(i=1，2)分别是常数。在本文中，需要以下基本假设：

(H1)ri(t)(i=1，2)、ai(t)(i=1，2)、bi(t)(i=1，2)和ci(t)(i=1，2)在区间[0，+∞)上有界、连续的正函数；

1 主要结果

注3 由于模型(1)～(4)可看作模型(5)的特殊情况。因此，本文建立的模型和研究得到的结论补充和推广了目前已有的关于两企业竞争与合作动力学模型方面的工作[1–9]。

2 数值实例

图1 系统(16)的全局吸引性

显然，定理2 的条件不成立。从图2 可以看出，系统(17)非全局吸引的.

图2 系统(17)的非全局吸引性

注4 从以上两个例子中，可以看到时滞τ1、τ2对系统全局吸引性的影响。本文的结果表明，时滞的大小会影响系统的全局吸引性，在某些情况下，对于本时滞系统而言，比较小的时滞可以保持模型的全局吸引性，但比较大的时滞会破坏模型的全局吸引性。

3 总结

在前人工作的基础上，研究了一类具有两离散时滞的非自治两企业竞争与合作模型。利用不等式技巧和构造多重Lyapunov 泛函，得到了模型(5)最终有界性和全局吸引性的充分条件。此外，还建立了模型(1)～(3)的有界性和全局吸引性的充分条件。从定理1、定理2 和上述两个数值实例可以得到，离散时滞τ1和τ2影响模型全局吸引性的结论。