基于直觉模糊张量的决策方法及其应用

2022-08-18邓胜岳谭金桃宋玉琴

工程数学学报 2022年3期

邓胜岳，谭金桃，宋玉琴，申静

(1. 湖南工业大学理学院，株洲 412007; 2. 湖南工业大学经济与贸易学院，株洲 412007)

0 引言

多属性决策是在考虑多个属性的前提下，选择最优的备选方案或对备选方案进行排序的决策问题[1]。作为现代决策科学的一个重要组成部分，多属性决策的理论和方法广泛应用在工程技术、经济管理、控制和军事等诸多领域中。信息集成不仅是决策理论中的关键问题之一，而且也是目前处理多属性决策问题的主要方法之一。因此，针对多属性决策信息集成问题，国内外许多专家展开了系统深入的研究，取得了一系列的研究成果。自Atanassov[2]提出了直觉模糊集以来，基于直觉模糊集的多属性群决策受到了学术界广泛的关注，特别是对于直觉模糊多属性决策信息集成问题，Xu 等[1，3—10]先后定义了直觉模糊有序加权平均算子、模糊加权几何算子、直觉模糊有序加权算子、直觉模糊有序加权几何算子、直觉模糊混合算子和直觉模糊混合几何算子、直觉模糊集相似度并提出了对应的直觉模糊多属性决策方法；Li[11]提出了广义直觉模糊有序加权平均算子；Zhao 等[12]给出了广义直觉模糊混合平均算子和广义直觉模糊加权平均算子；Xia 和Xu[13]根据熵的概念及性质，提出了关于直觉模糊多属性决策熵和交叉熵的方法。然而，随着决策系统的日益复杂化，影响决策的因素越来越多，获取的决策数据的维数与量级越来越大，导致了原有基于矩阵理论的决策方法难以有效地处理具有高维数据特征的复杂决策系统问题。

随着Qi[14]和Lim[15]于2005 年分别独立提出了张量特征值和张量特征向量的概念，相关研究成果在国内外学术界引起热烈反响，吸引了一大批学者从事张量理论及其应用的研究[16—20]。目前，学术界对张量的研究主要集中在张量谱理论、张量计算、张量的分类以及应用等方向，仅有几篇文献涉及到模糊张量的概念、性质及其应用的研究，其中Chen 等[21—23]定义了模糊张量特殊形式(即维数相等)，并将3 阶模糊张量应用到普安古树茶的分类问题等；Deng 等[24—25]定义了模糊张量的一般形式(维数可以不相等，也可以相等)，并将模糊张量成功应用于决策理论与实践中。

由于具有高阶多维特征的模糊张量恰好能从理论上解决具有高维数据特征的复杂决策系统的建模、计算与综合集成问题。因此，针对直觉模糊环境下具有高维数据特征的复杂决策问题，在我们已有研究成果的基础上[24—25]，定义了直觉模糊张量的一般形式，建立了基于直觉模糊张量的广义直觉模糊加权平均算子，提出了基于直觉模糊张量的决策方法，设计了基于直觉模糊张量的算法，通过具有四维数据特征的动态多属性群决策算例，验证了本文所提模型及方法的有效性和可行性。

1 基础知识

本节简要介绍直觉模糊集和直觉模糊信息集成理论的基础知识，以及说明本文中所要涉及到的符号，具体如下。

则函数GIFWA 是广义直觉模糊加权平均算子。

2 基于直觉模糊张量的广义直觉模糊加权平均算子

由于直觉模糊信息集成理论有助于处理直觉模糊多属性决策问题，因此，本节将利用基于模糊张量的广义模糊综合评价方法[24]，推导出广义直觉模糊加权平均(GIFWA)算子，提出了基于直觉模糊张量的决策方法，为设计算法奠定理论基础。

定理1 设～AIF∈TIF(m，n1×n2×···×nm)是m阶直觉模糊张量，即～AIF=(ai1i2···im)n1×n2×···×nm，其中ai1i2···im= (μi1i2···im，νi1i2···im)，则等式(1)的集成值表达式为

可得

因此，定理1 的计算结果是n1维直觉模糊(IF)向量。

3 算法

4 应用

为了说明基于直觉模糊张量的决策方法能够解决具有高维数据特征的决策问题，本节将以动态多属性群决策问题为例。该算例是对文献[1]中的例题6.3.1，以及文献[7]中的案例做了适当的修改，具体如下。

算例1 考虑湖北省农业生态区排序问题。根据环境与自然资源的区别和差异，湖北省可大致划分为7 个农业生态区：Y1—武汉—鄂州—黄冈；Y2—湖北东北部；Y3—湖北东南部；Y4—江汉地区；Y5—湖北北部；Y6—湖北西北部；Y7—湖北西南部。为了考虑这些农业生态区Yi(i= 1，2，···，7)的综合功能，成立了一个由三位专家组成的委员会El(l= 1，2，3)，该委员会根据三个不同的属性Gj(j= 1，2，3)在2004 年至2006 年对7 个农业生态区Yi(i=1，2，···，7)进行评价。其中三个不同的属性分别是：

1)G1是生态效益； 2)G2是经济效益； 3)G3是社会效益。

令ω= (1/6，2/6，3/6)T是年份tlk(k= 1，2，3)的权重向量，λ= (0.5，0.2，0.3)T是决策者El(l= 1，2，3)的权重向量，ξ= (0.3，0.4，0.3)T是属性Gj(j= 1，2，3)的权重向量，并且R(tlk)(l，k= 1，2，3)是标准化个体直觉模糊决策矩阵(此处tl1表示“2004”年，tl2表示“2005”年，tl3表示“2006”年)，详见表1 至表9。

表1 直觉模糊决策矩阵R(t11)

表2 直觉模糊决策矩阵R(t21)

表3 直觉模糊决策矩阵R(t31)

表4 直觉模糊决策矩阵R(t12)

表5 直觉模糊决策矩阵R(t22)

表6 直觉模糊决策矩阵R(t32)

表9 直觉模糊决策矩阵R(t33)

表7 直觉模糊决策矩阵R(t13)

表8 直觉模糊决策矩阵R(t23)

即

步骤4根据得分函数s(Yi1)的结果，7 个农业区域的排序为Y1≻Y4≻Y2≻Y5≻Y3≻Y7≻Y6。因此，功能最全面的农业生态区是Y1—武汉—鄂州—黄冈。

与其他方法的比较：文献[1]中的例题6.3.1 以及文献[7]中的案例利用动态直觉模糊加权平均算子只能解决具有三维数据特征的动态多属性决策问题，并且本文提出的基于直觉模糊张量的广义直觉模糊加权平均算子是动态直觉模糊加权平均算子的一般形式。通过分析上述算例，本文提出的基于直觉模糊张量的决策方法不仅能够解决具有四维数据特征的动态多属性群决策问题，而且也可以处理具有三维数据特征的多属性群决策问题或者具有更高维数据的实际复杂决策问题。因此，与其他方法相比，本文所提出的方法具有广泛的适用性。