双曲广义四元数的表示矩阵的棣莫弗定理

孔 祥 强

(菏泽学院数学与统计学院， 山东 菏泽 274015)

四元数的概念首先由Hamilton提出，随着对四元数研究的深入，四元数在量子力学、几何学、计算机图形学、刚体运动学等学科中的应用越来越广泛.分裂四元数的概念由James Cockle提出，分裂四元数不是除环，且含有零因子、幂零元和幂等元[1-3].广义四元数的概念由Pierce提出，文献[4-9]研究了广义四元数及其应用，得到了广义四元数的棣莫弗定理和欧拉公式.文献[10]研究了双曲实分裂四元数，并给出了极表示形式.文献[11]对双曲型交换四元数的极表示进行了研究.文献[12-15]研究了分裂四元数和分裂半四元数的棣莫弗定理及应用.本文研究的对象是双曲广义四元数的表示矩阵.通过给出双曲广义四元数的表示矩阵的结构，得到不同情形下双曲广义四元数的表示矩阵的棣莫弗定理，讨论了双曲广义四元数表示矩阵的方幂之间的关系；同时，给出双曲广义四元数的表示矩阵方程的求根公式．

1 双曲广义四元数

设a=a0+a1i+a2j+a3k∈Hα β，a0，a1，a2，a3∈D，且i2=-α，j2=-β，k2=-αβ，ij=k=-ji，jk=βi=-kj，ki=αj=-ik，α，β∈R，则称a为广义四元数，记作a∈Hα β.当α=β=1时，a为一般实四元数；α=1，β=-1时，a为实分裂四元数；α=1，β=0时，a为实半四元数；α=0，β=0时，a为实拟四元数.广义四元数更多内容，详见[4-9]．

改写为矩阵形式

2 双曲广义四元数的表示矩阵

定理1任一双曲广义四元数均可表示为D上的4阶矩阵．

由此可定义双曲广义四元数集合为D上4阶双曲矩阵集合

M4×4(D)=

定义

3 双曲广义四元数的表示矩阵的棣莫弗定理

3.1 当α>0，β>0时，设

证明利用数学归纳法，设对任意的正整数n，有

故

又

则

故对任意整数n，结论成立．

其中k=0，1，2，…，n-1．

假设

……

3.2 当α>0，β<0时，设

证明设对于任意的正整数n，有

故

又

则

故对任意整数n，结论成立．

经验证，结论正确．

利用数学归纳法，易得结论成立．

……

当n为偶数时，

由数学归纳法，易证结论成立．

经验证，结论正确．

4 结语

本文重点研究了双曲广义四元数的表示矩阵，分情况探讨了双曲广义四元数的表示矩阵的棣莫弗定理，对棣莫弗定理进行了推广.文献[19]研究了八种四维代数，并给出了相关性质，如“油桃四元数”、“芋头四元数”等.以本文为基础，可展开对这些四维代数的进一步研究．