非圆齿轮系齿廓曲线的优化设计计算方法研究

张秋菊，孙智甲，杨晰予，王柯翔

（河南理工大学，河南 焦作 454003）

0 引 言

非圆齿轮系液压马达是一种新兴的、综合性能优异的液压马达，能够被广泛应用在煤矿、建筑、船舶、航空航天等行业，具有很好的应用前景和较高的市场价值。非圆齿轮行星轮系是非圆齿轮液压马达的核心运动机构。在非圆齿轮系中，非圆齿轮的节曲线多采用高阶椭圆曲线，类型变化多样，沿节曲线均布的齿廓曲线每条都有不同的长度和形状，这些特点给马达虚拟样机的建立以及数控加工模型的建立带来了不小的困难。设计符合齿轮系运动关系的沿非圆形的节曲线均布的齿廓曲线，不仅是进行非圆齿轮系传动设计的核心内容，同时也是进行非圆齿轮系的运动学、动力学相关理论研究的基础。因此，开发一种能够快速生成非圆齿轮系齿廓曲线的数值算法是目前亟待解决的关键问题。

共轭啮合算法由于计算逻辑清晰，目前被广泛用于非圆齿轮系的齿廓坐标的计算。根据非圆齿轮系的啮合运动原理，共轭啮合法计算行星轮在任意运动时刻与非圆齿轮的啮合点的坐标，并利用多次坐标变换最终计算非圆齿轮的齿廓坐标。在理论上，计算获得的齿廓坐标的数量越多，由齿廓坐标所拟合的齿廓曲线就越精确。尽管现有的算法通过增加齿廓点的坐标计算，能够提高对齿廓曲线的设计计算精度，但这样会带来更多的数值计算量，进而提高设计计算的计算机硬件成本，尤其会降低设计计算的效率。

为了提高对非圆齿轮系的齿廓曲线的设计计算效率，基于共轭啮合算法，本文利用预存数据插值法代替目前算法中大量的对于内齿圈极角的微分方程的求解计算，进而提出一种针对非圆齿轮系的齿廓曲线设计的优化算法。本文利用非圆齿轮系的仿真传动试验，在理论设计层面对算法进行了验证；利用非圆齿轮的金属线切割加工和实际的齿轮传动试验，验证了算法的工程应用价值。

1 非圆齿轮的齿廓点坐标的数学计算模型

在非圆齿轮系的运动中，如果不考虑齿轮啮合所发生的滑移，则非圆齿轮的齿廓点是它们与行星轮齿廓曲线的瞬时重合点，即瞬时的啮合点。因此，本文建立如图1所示的数学模型，该模型利用坐标变换的方法计算非圆齿轮的齿廓啮合点的坐标，进而拟合出非圆齿轮的齿廓曲线。

图1 非圆齿轮齿廓点坐标的数学计算模型示意图

在内齿圈、行星轮、太阳轮的几何中心分别建立随之运动的极坐标系XOY、XOY、XOY，其中O和O重合。假设图1（a）所示的为齿轮系运动的初始时刻，在此刻，三个极坐标系的Y 轴的正方向重合。当太阳轮绕O点沿顺时针方向旋转，在齿轮传动的下一个任意时刻，如图1（b）所示，行星轮的节圆与内齿圈、太阳轮的节曲线分别相切于图示C 点和D 点，由三心定理证明，C、D 与O在一条直线上。图中C 点在内齿圈的随动坐标系XOY中所对应的极角为，D 点在太阳轮的随动坐标系XOY中所对应的极角为。

1.1 数学模型的基本方程

依据非圆齿轮系的运动学规律，在齿轮系的啮合运动中，内齿圈、太阳轮做同轴的自转运动，行星轮自转的同时绕太阳轮公转，并且行星轮的节圆与内齿圈和太阳轮的节曲线做相切的纯滚动，由此，太阳轮的节曲线是内齿圈的节曲线的共轭曲线。在坐标系XOY中，如果给定内齿圈的节曲线方程为：

其中，是的函数，其具体形式由设计确定。

由共轭啮合算法可以推导出太阳轮的参数方程：

1.2 非圆齿轮齿廓坐标点的数学计算

以行星轮的中心为原点，建立直角坐标系XOY和XOY，要求两个坐标系的Y 轴的正向分别为从O点指向C、D 的方向。如图2（a）所示，Y与Y的夹角为，Y与Y的夹角为。此刻，如果行星轮齿廓上一点S 与太阳轮齿廓啮合，假设它们的齿廓为理想曲线，那么S 点同样是太阳轮齿廓上的一点。

图2 齿廓点的坐标变换示意图

根据齿轮系中各齿轮的节曲线纯滚动的假设，Y与Y的夹角可以用下式计算：

与对应的是Y与Y的夹角，用下式计算：

在行星轮的传动过程中，()和()具有唯一的对应关系。

对于使用渐开线齿廓设计的行星轮，如图2（b）所示，在坐标系XOY中，S 点的坐标为：

其中，||和可以联立下列方程计算：

上述方程中，r是行星轮节圆半径，是行星轮的齿数，是分度圆压力角，是行星轮在Y和Y的负半轴之间的轮齿数。

利用坐标系XOY和XOY之间的坐标变换，最终能够计算出S 点在太阳轮随动坐标XOY中的坐标，即计算出来太阳轮齿廓上一点的坐标：

其中，（，）是行星轮中心在坐标系XOY中的坐标。

采用上述的计算方法，利用XOY与XOY之间的坐标变换，同样能够计算获得C点所对应的内齿圈齿廓点的坐标。

2 非圆齿轮齿廓点坐标的数值优化算法

非圆齿轮与行星轮的齿数比确定之后，需要计算的齿廓数量，即式（6）中的值的范围是确定的。从图2（b）可以看出，在齿轮的啮合过程中是单调变化的。

当值确定，即当行星轮的第个轮齿与太阳轮啮合，在该轮齿脱离啮合之前，∈(，)，其中对应于行星轮齿根啮合，对应于行星轮齿顶啮合。设数组：

其中，=t，=t，=+（t-t）/(-1)，≤。值设定越大，对齿廓点的计算数量越大，对齿廓曲线的拟合精度相对越高。

当设定了，容易根据()和()的对应关系计算()对应的数组。此时，现有的计算方法会将带入式（4），利用微分方程求解=[，，…，]。在获得数组之后，联立方程（5）（6）和（7）最终获得各齿廓点的坐标(，)。在每个齿廓点坐标的计算中，上述方法都要将带入式（4），求解一次复杂的微分方程。高精度的齿廓设计计算需要大量的齿廓点坐标，因此，上述方法会带来大量的数值计算量。为了减少数据计算量，提高对非圆齿轮的齿廓的设计计算效率，本文提出预存数据插值法解决上述问题。

本文首先建立数组=[，，…，]，利用方程（3）和（4）获取预存数据=[，，…，] 和=[，，…，]，则通过一次计算获得了内齿圈节曲线的极角与行星轮啮合转角以及的关系。在后续的计算中，可以根据设计需要确定和的值，然后利用对预存数据的插值快速计算出它们所对应的值。本文所提方法的具体步骤，参加图3所示的计算流程。

图3 齿廓点坐标的数值计算流程图

3 算法的试验验证与分析

3.1 行星轮齿廓与非圆齿轮齿廓的干涉验证

基于本文所提算法，以为驱动变量，编写内齿圈和太阳轮齿廓曲线的设计计算程序，并将每个计算位置的行星轮齿廓曲线与非圆齿轮齿廓的拟合曲线输出在非圆齿轮的随动坐标系中，如图4所示。

图4 利用计算程序生成的非圆齿轮的齿廓曲线

从图4可以看出，行星轮的齿廓在每个位置都与拟合所得非圆齿轮的齿廓曲线相切，并且没有发生齿廓的干涉问题，由此可以证明，本文所提算法能够正确计算非圆齿轮的齿廓点的坐标，所拟合的齿廓曲线在理论上能够实现非圆齿轮系的运动学原理，且不会发生轮齿干涉问题。

3.2 非圆齿轮系的传动试验

3.2.1 数值传动仿真试验

利用图4中所示的可视化界面对非圆齿轮系进行了静态干涉检查之后，还需要建立齿轮系的传动仿真模型，进而验证算法生成的齿廓在运行中是否发生“卡齿”问题。

将算法生成的齿廓导入CAD 软件，建立非圆齿轮系的三维数字模型，然后使用Adams 软件建立起齿轮机构的传动仿真模型。在仿真模型中，内齿圈被施加固定约束，太阳轮被施加与内齿圈轴线重合的旋转约束，行星轮被施加了与非圆齿轮的接触约束。在对非圆齿轮机构的传动仿真的过程中，太阳轮被施加匀速的定轴旋转动力，太阳轮在定轴旋转的同时，通过齿面接触力推动行星轮运动，从而模拟行星轮机构的实际的啮合运动。图5（a）所示为行星轮的仿真运动轨迹。

除了对齿轮机构的啮合运动进行可视化的仿真之外，传动仿真模型还实时采集齿轮机构的运动学和动力学的仿真实验数据，并将行星轮的仿真轨迹与理论轨迹进行对比，如图5（b）所示。上述的传动仿真试验的结果表明，使用本文算法所设计的非圆齿轮系传动结构，在运动中能够实现行星轮的预设传动轨迹，实现预期的啮合传动。本文利用非圆齿轮系的传动仿真模不仅验证了所提出的齿廓算法，而且获得了齿侧隙的设计范围。研究发现如果行星轮与非圆齿轮的齿侧隙如果超出了该设计范围，无论是侧隙过大，还是侧隙过小，非圆齿轮机构在传动过程中都会发生“卡齿”的问题。

图5 非圆齿轮结构的传动仿真模型和传动仿真数据

3.2.2 非圆齿轮系的加工和传动试验

参照仿真试验所确定的齿侧隙的设计范围，使用本文算法生成非圆齿轮的齿廓数据，将其导入金属线切割设备中，实际加工了液压马达的非圆齿轮传动机构，图6（a）所示。

图6 非圆齿轮的加工和传动试验

设计并加工专门的非圆齿轮系传动试验装置，使用齿轮传动试验台，进行了非圆齿轮系的传动试验，如图6（b）所示。试验结果表明，所加工的非圆齿轮系的传动机构，在太阳轮的转速低于800 r/min 的条件下，未出现齿轮卡死，未产生剧烈的机械振动。综上结果表明，本文所提的算法能够被用于非圆齿轮系的工程设计中，具有较好的工程应用价值。

图6 HMI 显示界面

4 结 论

（1）基于非圆齿轮系的共轭啮合算法，本文提出了一种非圆齿轮系齿廓曲线的优化设计算法，该算法利用对预存数据的插值算法，减少传统算法中大量的微分方程的求解计算，从而优化了算法的计算效率。

（2）本文建立了非圆齿轮系的传动仿真模型，通过传动仿真试验对算法生成的齿廓曲线进行了传动仿真验证。仿真结果表明，使用本文算法所生成的齿廓曲线能够实现行星轮的预设传动轨迹，不会发生“卡齿”问题。

（3）利用算法生成的齿廓数据，本文加工了非圆齿轮，并利用所加工的齿轮完成了非圆齿轮系的齿轮传动试验。试验结果表明，本文算法所设计的齿轮能够直接用于工程实际。

综上所述，本文提出了一种用于非圆齿轮系齿廓曲线设计的优化数值算法，该算法对于非圆齿轮系的优化设计理论的发展，以及工程应用的推广具有一定的价值。