炭疽和狂犬病相互作用模型的稳定性分析

2022-05-11韩梦洁刘俊利

西安工程大学学报 2022年2期

韩梦洁，刘俊利

(西安工程大学理学院，陕西西安 710048)

0 引言

炭疽是由炭疽芽孢杆菌引起的人畜共患病，主要感染斑马、跳羚等有蹄类动物[1-3]。全球牲畜和野生动物的死亡主要是由炭疽引起的[4]。斑马尸体是胡狼的主要食物来源，在尸体的吸引下胡狼不断聚集，使得狂犬病能够在胡狼中传播。狂犬病是一种引起重大公共健康关注的疾病[5]，能够在全球范围内感染野生食肉动物和家犬[6-7]，对野生动物，特别是濒危物种造成威胁[8]。由于胡狼有相对较高的密度、广泛的地理范围和较长的传播距离[9]，胡狼能够与领地之外的其他胡狼接触，从而将疾病传播给另一群胡狼，同时能够影响斑马数量。在研究炭疽和狂犬病对斑马和胡狼的影响时，通常仅考虑一般情况下狂犬病在胡狼之间的传染。然而，由于胡狼对食物的需求，随着斑马尸体数量的变化，斑马尸体附近胡狼之间的传染率不可忽视。

最近几年，世界多地出现了动物种群的炭疽大爆发，引起了学者们广泛关注[10-11]。SAAD-ROY等通过建立一个确定性的数学模型研究动物群体中炭疽的传播[12]。研究结果表明，炭疽孢子病毒的生长会影响动物种群数量，且感染炭疽的动物总数与炭疽孢子病毒增加的情况大致相同。BELLAN等研究了食腐动物对食草动物尸体中炭疽芽孢杆菌孢子形成、存活和分布的影响[13]；CARRASCO-GARCIA等研究了食腐动物通过消灭动物尸体对病原体的影响[14]。研究结果均表明，食腐动物可以帮助消除由食草动物尸体产生的炭疽孢子病毒，并且食腐动物可能是限制炭疽传播速度的主要因素。文献[15-17]研究了炭疽孢子病毒在食腐动物消化道中的存活情况。结果表明，如果食腐动物在炭疽孢子病毒形成之前发现染病尸体，食腐动物可以帮助消除炭疽在野生动物中的传播。2021年，MACKEY等以胡狼为例，研究了食腐动物对斑马的影响，并且仅考虑健康胡狼[18]。结果表明，当食腐动物以感染炭疽的斑马尸体为食时，食腐动物可以通过消灭染病斑马尸体降低斑马感染炭疽的风险。2021年，在文献[18]的基础上，文献[19]将胡狼分为健康胡狼与感染狂犬病的胡狼，研究了2种疾病在斑马和胡狼之间的相互作用。结果表明，小规模的炭疽爆发有助于狂犬病入侵，但大规模的炭疽爆发反而有利于预防狂犬病。不过，文献[19]仅考虑了一般情况下胡狼之间的狂犬病的传染，忽略了在斑马尸体附近相遇时狂犬病在胡狼之间的传染。

本文在文献[19]的基础之上，假设胡狼不攻击活的斑马且仅以斑马尸体为食物来源，同时考虑胡狼之间一般的传染率和在斑马尸体附近胡狼之间的传染率，建立了一类具有2个种群和2种疾病的数学模型，描述炭疽与狂犬病之间的相互关系。

1 模型的建立

本文中的模型考虑了5个仓室，即活的斑马(z)、自然死亡的斑马尸体(u)、感染炭疽死亡的斑马尸体(c)、健康胡狼(jS)和患有狂犬病的胡狼(jI)。假设：A为斑马的输入率；μ为斑马的自然死亡率；a为染病尸体对斑马的传染率；ρ为尸体自然分解速率；斑马尸体以速率r被胡狼吃掉；b为胡狼吃斑马尸体时的能量获取率，其中b=kr，0

假设胡狼不攻击活着的斑马，只吃斑马的尸体，且不考虑斑马尸体的感染状况如何。当胡狼寻找食物时，健康胡狼与染病胡狼可以在斑马尸体附近相遇，此时其传染率记为β2(x)，x=u+c，即β2(x)取决于斑马尸体的数量。设

β2(x)=mxexp(-nx)

式中：m为单位时间内每个尸体吸引胡狼时，胡狼之间的最大传染率；n为尸体密度依赖强度。β2(x)的图形见图1。

图 1 β2(x)的图形(m=0.2,n=0.1)Fig.1 The graph of β2(x)(m=0.2,n=0.1)

由图1可知，当斑马尸体数量小于1/n时，由于斑马尸体数量稀少，胡狼很大几率检测到同一具尸体，出现多只胡狼共同享用同一具斑马尸体的情况，此时胡狼之间的遇见率增大，传染率也相对增加；当斑马尸体数量等于1/n时，胡狼的传染率达到最大值；当斑马尸体数量大于1/n时，此时斑马尸体数量充足，胡狼可以检测到更多食物，每只胡狼基本上都有自己的食物，胡狼之间的传染率随着斑马尸体数量的增加而逐渐降低。

根据以上假设，得到如下模型：

(1)

模型(1)的初始条件为

(2)

假设所有的参数都是正常数。下面证明模型(1)的非负有界性。

证明将模型(1)表示成向量形式，令

X=(z,u,c,jS,jI)T∈R5

(3)

(4)

其中F:R5→R5且F∈C∞(R5)，则式(4)变为