分离参数法求解函数常见题型的应用分析

晁普旗

(江苏省新沂市高级中学)

分离参数方法是高中数学中常见的一种解题方法,具体过程是指通过分离参数的形式,运用函数的观点讨论并确定参数的取值范围.分离参数法常用于解答函数的单调性问题、函数的零点问题以及与函数有关的不等式恒成立问题,运用该方法能避免一些复杂的分类讨论.本文结合具体例题分析,总结在常见函数问题中分离参数方法的解题思路,帮助学生深刻理解分离参数法,拓宽解题思维并提高解题效率.

1 函数单调性问题

运用分离参数法求解含参数的函数单调性问题的解题思路:

1)根据函数的单调性,列出导函数对应的不等式,如f(x)为增函数,则f′(x)≥0在定义域上成立；

2)分离f′(x)≥0中的参数,对不等号一边不含参数的解析式进行讨论,求其在定义域上的最值,如分离后得到m≤g(x),则求定义域内g(x)的最小值；

2 函数零点问题

运用参数分离法求解函数零点问题的解题思路:

1)对函数解析式f(x)＝a－g(x)进行变量分离,使其等价替换为a＝g(x)形式；

2)分别分析函数y＝a和y＝g(x),求出y＝g(x)的值域；

3)若函数无零点,则参数a不在函数g(x)的值域上；若函数给出零点个数,则需要结合具体图像进行分析.

图1

3 不等式成立问题

运用分离参数方法求解不等式恒成立问题的具体思路:

1)对问题中恒成立的不等式进行参数分离,使其等价为不等式a≥g(x)恒成立；

2)在定义域内,借助函数性质或导函数求解函数g(x)的最值；

3)结合最值,判断参数a的取值范围.

分离参数法是学生在学习和练习过程中应掌握的一种方法,求解不同的题型有着对应的解题思路.求解函数单调性问题应根据单调性列出对应不等式,进而分离参数求解；函数零点问题可以考虑分离参数,使其转化为求解函数的值域问题进行解答；不等式恒成立问题应将不等式进行参数分离,转化为求构造函数的最值,即可求得参数范围.只有熟练掌握常见的方法和解题思路,才能达到高效解题的目的.