函数图像的对称性在高考中的应用

王发家 杨子林

(1.甘肃省民乐县第一中学 2.甘肃省张掖市第二中学)

函数的对称性是函数的一个基本性质,关于函数图像对称性的探究对象有两类:一类是一个函数自身的对称性,即函数的奇偶性；另一类是两个函数图像之间的对称性.函数的对称性既是高考的重点问题,又是高考的热点问题,在历届高考数学试卷中,考查函数对称性的压轴题层出不穷.

定理1f(x)的图像关于直线x＝a对称⇔

f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(2a－x)＝f(x).

证明 设P(x,y)是函数y＝f(x)图像上任意一点,则P(x,y)关于直线x＝a的对称点是P′(2a－x,y),又函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称,所以P′(2a－x,y)也在函数y＝f(x)图像上,故f(2a－x)＝f(x)恒成立,反之也成立.

定理2f(x)的图像关于点(a,b)对称⇔

f(2a－x)＝2b－f(x)⇔f(x)＋f(2a－x)＝2b.

特别地,f(x)的图像关于点(a,0)对称⇔f(2a

x)＝－f(x)⇔f(a－x)＝－f(a＋x).

证明 设P(x,y)是函数y＝f(x)图像上任意一点,则P(x,y)关于点M(a,b)对称的对称点是P′(2a－x,2b－y).又函数y＝f(x)的图像关于点M(a,b)成中心对称图形,所以P′(2a－x,2b－y)也在函数y＝f(x)图像上,即f(2a－x)＝2b－y,亦即f(2a－x)＝2b－f(x),故f(x)＋f(2a－x)＝2b,反之也成立.

1 利用对称性求函数值

解题时可利用函数的对称性找到坐标之间的关系,进而求出函数值,如互为反函数的图像关于直线y＝x对称,它们的横、纵坐标互换位置.关于直线y＝－x对称的点它们的横、纵坐标互换位置,并且都要换号等.

设(x,y)是函数y＝f(x)图像上的任意一点,它关于直线y＝－x的对称点为(－y,－x).由已知可得(－y,－x)在函数y＝2x＋a的图像上,则－x＝2－y＋a,解 得y＝－log2(－x)＋a,即f(x)＝－log2(－x)＋a,所以f(－2)＋f(－4)＝－log22＋a－log24＋a＝1,解得a＝2,故选C.

2 利用对称性求函数解析式

若两个函数图像关于直线对称(或点对称),则可以利用代入法、坐标转移法求出未知函数解析式.

3 利用对称性求零点之和、函数值之和

解题时要善于挖掘函数的奇偶性、对称性,关于原点对称的两点的纵坐标互为相反数,关于y轴对称的两点的纵坐标相等,关于点(a,b)对称的两点的纵坐标和为2b,体现了设而不求的整体思想.

4 与对称性有关的参数范围问题

函数f(x)与g(x)存在关于y轴对称的点(横坐标互为相反数,纵坐标相等)⇔方程f(－x)＝g(x)有解⇔函数f(x)关于y轴对称的图像与g(x)存在交点,即函数h(x)＝f(－x)－g(x)存在零点.

函数f(x)与g(x)存在关于x轴对称的点(纵坐标互为相反数,横坐标相等)⇔方程f(x)＋g(x)＝0有解⇔函数f(x)关于x轴对称的图像与g(x)存在交点,即函数h(x)＝f(x)＋g(x)存在零点.

5 利用对称性解决最值问题

图1