高中数学教材“拓展栏目”的分布及功能分析

吕增锋

（浙江省象山县第二中学，浙江 宁波 315731）

数学教材是在充分考虑学生生理心理特征、教育教学原理、数学学科特点等诸多因素的基础上精心编写而成的，教材中不仅包含了正文、例题、习题、小结等主体内容，而且还设置了丰富的“拓展栏目”。这些“拓展栏目”融知识性、科学性、趣味性和教育性于一体，是教材不可或缺的组成部分，其广泛的客观基础决定了它具有独特的教育价值。但在实际教学中，由于受到教师课程意识薄弱、教材素养欠缺、应试教育等因素的制约，“拓展栏目”并没有引起足够的关注与重视。“拓展栏目”被置于遗忘的角落，对广大教师而言，失去的不仅是一个丰富的资源宝藏，还有使自己从教书匠向研究者转型的机会。

一、拓展栏目的分布与分类

以人教A 版（2019）为例，教材中的拓展栏目主要由“阅读与思考”“探究与发现”“信息技术应用”“文献阅读与数学写作”等四个子栏目组成，具体如表1：

表1 拓展栏目的主要内容

续表

根据“拓展栏目”的内容特点，可以将其分为四大类：数学史拓展栏目，例如，函数概念的发展历程、对数的发明、笛卡尔与解析几何等；数学知识拓展栏目，例如，向量概念的推广与应用、方向向量与直线的参数方程、组合数的两个性质等；科学方法拓展栏目，例如，用计算机绘制函数图象、统计软件的应用、图形技术与函数性质等；数学应用拓展栏目，例如，坐标法与数学机械化、如何得到敏感性问题的诚实反应、贝叶斯公式与人工智能等。

由此可见，“拓展栏目”并不是教材内容的简单重复，而是拓展延伸与深入探究；“拓展栏目”中蕴含着丰富的数学思想方法、数学史知识、探究性知识，是数学教学的重要资源，还是传播人文精神、前沿理论、信息技术的重要载体，它与教材中的其他内容共同组成了完整的高中数学知识网络。

二、拓展栏目的教育功能分析

虽然“拓展栏目”的总体功能定位是为师生提供更多的资源，更好地服务于教师的教与学生的学，但四大子栏目也各自具有独特的功能与使命。

（一）阅读与思考：通过阅读拓展知识视野

“阅读与思考”中的内容基本上是高中数学知识拓展延伸，例如，“中外历史上的方程求解”“中国古代数学家求数列和的方法”“欧几里得《几何原本》与公理化方法”等，这些内容虽然考试基本不作要求，但凝聚着丰富数学思想方法与数学活动经验，对于拓展学生的知识视野，丰富学生的数学文化素养具有不可替代的作用。不过，这些额外的知识需要以“阅读”的方式来获取。一是阅读教材本身所提供的材料，但由于篇幅的限制，教材所提供信息往往不够翔实，因此，还需要“阅读”课外材料。至于阅读哪些课外材料，栏目最后往往会以问题的形式提示学生：比如，“你能设计一种比较这两个（无穷）集合中元素个数多少的方法吗？”学生只有阅读了有关“康托尔创建集合论”的文章，才能找到问题的答案。又比如，“你能通过上网查询，给出一个倍增的指数函数模型实例吗？”直接提醒学生到网上去查找相关的阅读材料。

（二）探究与发现：为实施“数学探究活动”积累经验

“探究与发现”中的很多内容针对的都是高中数学的重点与难点，例如，“互为反函数的两个函数图 象 的 关 系”“ 为 什 么是双曲线的渐近线”“函数及函的周期”等。教材不主张将这些知识直接告诉学生，而是希望教师组织学生进行“探究与发现”。我们知道“数学探究活动”是高中数学课程中引入的一种新的学习方式，它是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程。“数学探究活动”对师生的知识储备、思维水平要求较高，实施面临较大的现实困难。如果说“数学探究活动”是对数学问题的一次“大探究”“大发现”，那么“探究与发现”就是一次“微探究”“小发现”。“探究与发现”的大量开展可以为“数学探究活动”的实施积累宝贵的经验，其教学套路经过迁移完全可以为“数学探究活动”所用，从而产生以“微探究”撬动“大探究”的实践效果。

（三）信息技术应用：促进信息技术与数学课程的深度融合

“信息技术应用”一方面介绍如何借助信息技术直观呈现以往教学中难以呈现的课程内容，揭示数学的本质，例如“用计算机绘制函数图象”“利用信息技术制作三角函数表”“概率分布图及概率计算”等；另一方面向广大师生推介一些功能强大的数学软件，从常用的“几何画板”，到最近流行的动态几何软件“GeoGebra”，再到专业的统计软件“R软件”、数学实验软件“MATLAB”等。信息技术给予教学的支持是全方位的，不仅可以为学生的探究活动提供强大的技术支持，而且为不同认知风格、不同表达习惯的学生提供数学理解的机会。教师和学生可以利用技术的强大功能，做过去课堂中完全做不到的事情［1］。本栏目的出现使得“技术不仅是工具，也是数学的一部分”理念成为广大一线教师的共识，从而促进了信息技术与数学课程的深度融合。

（四）文献阅读与数学写作：发展学生用数学语言表达世界的能力

“文献阅读与数学写作”在拓展学生数学文化视野的同时，其实也在发展学生的用数学语言表达世界的能力［2］。数学语言具有科学性、简洁性、准确性的特点，它是人类表达世界最高效的语言之一。维果茨基认为数学能力的提高和数学语言的掌握有相互促进的作用［3］，很多学困生的错误也主要产生于在使用和理解数学语言的过程中［4］，因此，斯托利亚尔认为“数学教学也就是数学语言的教学”。“文献阅读与数学写作”为学生理解和运用数学语言提供了全新的训练平台，学生通过文献阅读积累写作素材，根据写作的主题把素材按照一定逻辑进行组织，然后运用数学语言进行合理表达，展现自己的研究成果与数学观点。在提升写作能力的同时，有助于知识纳入其已有的认知图式，促进学习的纵深发展。

三、“拓展栏目”促使教师向“研究者”转型

（一）教师的研究是实现“拓展栏目”教育功能的前提

“拓展栏目”是课程开发的显性文本成果，凝聚着课程开发者的智慧，虽然具有重要的教育价值，但这些价值能否得到兑现，在很大程度上则取决于教师能否依据“拓展栏目”本身的特性，准确地阐释“拓展栏目”的内涵，并结合学生的认知水平，进行合理甄选与改造，使“拓展栏目”中的教学资源从学术形态转化为易于学生理解的教育形态。换言之，如果没有教师自身的深入研究与再创造，“拓展栏目”难以发挥其固有的价值。

例如，“阅读与思考”中的“中国古代数学家求数列和的方法”，这则材料包含了“古代数列名题”“沈括、杨辉、刘徽等古代数学家的故事”“隙积术、垛积术等数列求和的方法”，不仅涉及的知识面非常广泛，而且还蕴含着丰富的数学文化元素，但遗憾的是教材只提供了不到两页的篇幅来呈现上述内容，“蜻蜓点水”式行文表达导致学生即使“阅读”了材料，也无法理解“我国古代数列求和”到底是怎么一回事。这就要教师去研究与材料相关的文献资料，厘清古代数列求和的来龙去脉，揭示隙积术、垛积术、招差术的原理及联系。当然，这只是第一步，接下去更为重要的是还要研究如何把材料中的内容以适合学生认知逻辑顺序进行整合，从而能够让学生读懂材料所表达的意思，体会所蕴含的数学文化与数学原理。

教师是课程的直接实施者，理论与实践的落差使得课程与教学理论常常难以预测高度复杂的课堂情境中所出现的问题。这便要求教师在已有的专业知识的基础上不断进行创造性的探索，将研究融合于实践，以应对教学实践中的具体问题［5］。

（二）“拓展栏目”为教师提供了研究的方向

满足教学常规，信奉“经验主义”是制约教师成为研究者的一个重要因素。一方面受传统“教教材”理念的影响，导致教师认为自己没有成为研究者的必要；另一方面，虽然数学教材也在更新换代，但知识结构、核心内容没有发生根本改变，对于具备了一定从教经验的教师来说，教材的主体知识早已了然于胸，甚至“闭着眼睛也能教”，从而产生了“已经没有什么可以研究”的错觉。而“拓展栏目”由于长期处在遗忘的角落，长期被人无视，这反而使它成为教材的“神秘之境”，成为值得研究的领域与对象。比如，对于“祖暅原理与柱体、锥体的体积”“牛顿法——用导数方法求方程近似解”这两个材料，教师能够解释其中的数学原理，但缺乏对原理产生的历史背景的了解，所以需要研究数学史；又比如，“孟德尔遗传规律”“贝叶斯公式与人工智能”这两个材料，教师对概率论尽管非常熟悉，但对于生物遗传学与人工智能却知之甚少，所以需要进行跨学科研究。

（三）“拓展栏目”进课堂驱动教师的研究行为

教师研究动力一部分源于自我发展的愿景，即教师要坚信：只有通过研究，才能发现学科的思想与价值，引导学生利用知识的有意义建构而产生智慧，还有一部分就是源于外部力量的驱使。实践性是教师研究的本质特征，教师研究就是要解决教学中遇到的实际问题，以解决实际问题、改进教学实践、提高教学质量为价值取向［6］。尽管“拓展栏目”具有很高的研究价值，但如果仅仅停留在教师自我赏析的阶段而没有进入课堂，就无法真正发挥“拓展栏目”的教学价值，形成课堂效益，就没有足够的动力驱动教师的研究行为。因此，如何以“拓展材料”为素材打造出精彩的数学课才是研究的目标。

例如，“中国古代数学家求数列和的方法”，涉及了三种求高阶等差数列和的“术”，一节课时间是很难让学生理解全部“术”的文化精髓的。经过分析，发现“隙积术”与“招差术”不适合在课堂中详细展开，只有“垛积术”，往上可追溯到等差数列求和公式，往下可以迁移拓展为“裂项求和法”，跟学生的已有经验联系紧密，具有较大的教学价值。教师以“垛积术”为研究对象，在明确“垛积术”来龙去脉的基础上，可以按照“认识‘垛’—计算‘垛’—优化‘垛’的算法”的逻辑顺序展开教学。教师不仅为学生带来了一场数学文化盛宴，而且也让自己的研究成果转化为课堂的效果，在实现了研究的价值的同时也进一步激励教师的研究行为。

教师研究的领域与对象当然不止是教材，但不可否认作为知识浓缩、智慧结晶的教材理应成为教师的研究重点，尤其是“拓展栏目”更是有待开发的“宝藏”，对于教师教材观念的形成、教材理解能力与用教材水平的提升具有不可估量的作用。对“拓展栏目”的研究可以促使教师从单一的教书匠、课程的传递者、知识的消费者，转变为教学教育的研究者。▲